rutrvar42

Критерии оценивания выполнения задания С3

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Верно решены оба неравенства системы, но не найдено или найдено неверно

решение системы

ИЛИ

2

Решение доведено до конца, но получен неверный ответ в результате

ОДНОЙ арифметической ошибки (описки)

Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

а) Пусть луч BO пересекает сторону AC в точке D. Введем следующие

B

обозначения: BCO DCO ,

COP x .

Тогда OPQ x ,

поскольку прямые OC и QP параллельны, а углы COP и OPQ ―

Q

накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP.

Далее,

из прямоугольного треугольника OPC находим x

O

2 x P

2 , а из

x

C

равнобедренного треугольника OPQ находим

POQ 2x 2 .

A

Таким образом, треугольники BOP и BCD подобны,

и, значит,

D

биссектриса BD треугольника ABC является его высотой, откуда следует, что треугольник

ABC ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать

б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD,

следовательно, DC : BC OD : OB 1: 3 ,

откуда

BC 3DC 3a . Далее:

CP DC a ,

откуда

BP 2a

и,

следовательно,

S

BPO

2S

CPO

S

CPOD

. откуда S

BOP

1

S

BCD

1

S

ABC

. Далее,

поскольку BQ

2

BO , то

3

2

4

S

BQP

2

S

BOP

1

S

ABC

. По формуле

Герона

находим S

ABC

4a 2a a a 2a2

2 ,

3

6

откуда S

OBC

a2

2

.

3

Ответ:

a2

2

.

3

Критерии оценивания выполнения задания С4

Баллы

Имеется

верное

доказательство утверждения

пункта а) и

обоснованно

3

получен верный ответ в пункте б)

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном

решении пункта б) получен неверный ответ в результате арифметической

ошибки (описки)

2

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), получен верный

ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо

обоснования содержат неточности.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ в результате

арифметической ошибки (описки)

ИЛИ

1

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием

утверждения пункта а), при этом пункт не выполнен или выполнен неверно

ИЛИ

получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно,

либо обоснования содержат неточности

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

3 2x4

5 4x

4

1

С5. Найдите все значения a , при которых неравенство loga 1 x4

loga 1 x4

выполняется для всех действительных значений x .

Решение.

1 2(1 x4 )

Заметим, что

3 2x4

1

2 и, аналогично,

5 4x4

1

4 .

1 x4

1 x4

1 x4

1 x4

1 x4

Положим t

1

2 . Поскольку 1 1 x4 множеством значений выражения

1

2

1 x4

1 x4

loga

3 2x4

loga

5 4x

4

1

при x является промежуток (2; 3]. Значит, неравенство

1 x4

1 x4

выполняется

для

всех действительных значений x

тогда

и

только

тогда,

когда

на

промежутке (2; 3] выполняется неравенство loga t loga (t 2) 1 .

(*)

Далее имеем:

2) если a 1, то неравенство (*) равносильно неравенству

t2 2t a 0 .

y f (t)

Функция

f (t) t2 2t a

должна

быть

положительна

на

промежутке (2; 3],

значит,

ее график

должен

быть

расположен

1

2

3 t

выше интервала (2; 3] оси

абсцисс,

т.е., должно

выполняться

условие

f (2) 0

(см.рисунок). Решая неравенство

8 a 0

с

t 1

учетом условия a 1, окончательно получаем 1 a 8 .

Ответ:

1 a 8 .

Замечание. Пункт 2) можно выполнить иначе с помощью следующих рассуждений:

Поскольку вершина параболы y t2 2t имеет координаты ( 1; y ) , функция

y t2

2t

0

Критерии оценивания выполнения задания С5

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

4

Обосновано получен ответ отличающийся от верного только исключением

и/или включением ГРАНИЧНЫХ точек

3

ИЛИ

Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не

повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу

С помощью верного рассуждения получены искомые значения a,

2

возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной t

Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика

функции и отрезка (2; 3] или (при аналитическом решении) найдено

1

множество значений функции y t2 2t , но дальнейшие рассуждения

неверны или отсутствуют

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

С1. а) Решите уравнение 4sin

2

x

8sin

3

x 1 0 .

2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

3 ;

3

.

2

2

3

2

Решение. а) 4sin

x 8sin

x 1 0

4(1 cos

x) 8cos x 1 0

2

cos x

1

,

4cos

2

x 8cos x 5 0

2

x

2 k, k .

5

3

cos x

2

Ответ: а) x 2 k, k

; б)

5

.

3

3

Критерии оценивания выполнения задания С1

Баллы

Обоснованно получен верный ответ в пункте а) и верно отобраны корни в

2

пункте б)

Верно выполнен пункт а)

ИЛИ

Полученный в пунктах а) и б) ответ неверен в результате ОДНОЙ

допущенной арифметической ошибки (описки), не повлиявшей

принципиально на ход решения и не упростившей задачу

1

ИЛИ

Пункт а) доведен до верных простейших уравнений, которые решены с

ошибкой. При этом конкретные решения простейших уравнений,

необходимые для пункта б), отобраны верно, и, следовательно, ответ в

пункте б) верен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

3) из прямоугольного треугольника AKO:

AO2 AK 2 KO2 9R2

R2

8 ;

4) из прямоугольного треугольника ABO:

а) AB

OB2

AO2

34

:

2

б) OC

OB OA

2 2 2 2

4

.

34

AB

2 34

Ответ:

4

.

34

Критерии оценивания выполнения задания С2

Баллы

В результате использования верных

утверждений

и

формул

получен

2

верный ответ. Обоснование не содержит неверных утверждений

В результате использования верных утверждений и формул задача

доведена до ответа, но получен неверный ответ в результате допущенной

вычислительной ошибки или описки. Обоснование не содержит

1

неверных утверждений *)

Все промежуточные вычисления и полученный ответ верны, но

обоснование отсутствует или содержит неверные утверждения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

*) Критерии распространяются и на случай использования координатного метода

С3. Решите систему неравенств

3

3

logx (x

8)

logx (x

2x

13),

7 3x 1 10 3x 10.

2 9x

x3 8 x3

2x 13,

2x 5,

x 2,5 .

logx (x3 8) logx (x3 2x 13)

2

x 2

2,5; .

x

Множество решений первого неравенства системы:

Решим теперь второе неравенство системы.

Пусть 3x t 0

( ) , тогда данное неравенство принимает вид

2t2 21t 10 t 10 .

Область определения этого неравенства задается условием 2t2 21t 10 0 ,

откуда t

1

t 1 левая часть неравенства неотрицательна,

2

или

t 10 . При

а правая отрицательна,

2

1 .

следовательно, неравенство выполняется при всех

t

Далее имеем:

2

2

(t 10)(2t 1) (t 10)

2

,

(t 10)(t 9) 0,

2t 21t 10

t 10 .

t 10,

10

t 10

t 10

t

3x 2 1

,

x log3 2,

10.

3x 10

x log3

Критерии оценивания выполнения задания С3

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Верно решены оба неравенства системы, но не найдено или найдено неверно

решение системы

2

ИЛИ

Решение доведено до конца, но получен неверный ответ в результате

ОДНОЙ арифметической ошибки (описки)

Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

а) Пусть отрезок BD ― высота данного треугольника. Тогда O BD

, так

B

как ABC ― равнобедренный треугольник. Введем следующие

обозначения: BCO DCO ,

COP x ,

OPQ y .

Поскольку

прямоугольные треугольники BOP и BCD подобны, BOP 2 . Из

Q

прямоугольного треугольника

OPC

находим

x

,

а

из

2 y

P

2

O

равнобедренного

треугольника

OPQ

находим

y 2

.

x

2

2

Поскольку углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении

A

C

D

прямых PQ и OC секущей OP, то отрезки PQ и OC параллельны, что

и требовалось доказать.

б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD, следовательно,

DC : BC OD : OB 1: 3 ,

откуда

BC 3DC 3m .

Далее:

CP DC m , откуда

BP 2m

и,

следовательно,

S

BPO

2S

CPO

2S

CDO

,

откуда

S

OBC

3

S

BCD

3

S

ABC

. По формуле Герона находим

4

8

S

ABC

4m 2m m m 2m2 2 , откуда S

OBC

3m2

2

.

4

Ответ:

3m2

2

.

4

Критерии оценивания выполнения задания С4

Баллы

Имеется верное

доказательство

утверждения

пункта

а)

и

обоснованно

3

получен верный ответ в пункте б)

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном

решении пункта б) получен неверный ответ в результате арифметической

2

ошибки (описки)

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), получен верный

ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо

обоснования содержат неточности.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ в результате

арифметической ошибки (описки)

ИЛИ

1

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием

утверждения пункта а), при этом пункт не выполнен или выполнен неверно

ИЛИ

получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно,

либо обоснования содержат неточности

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

3x2 8

loga

2x2 6

1 не

С5. Найдите все значения a , при которых неравенство loga x2

2

x2 2

имеет решений.

Решение.

2 3(x2 2)

Заметим, что

3x2 8

2

3 и, аналогично,

2x2 6

2

2 .

x2 2

x2 2

x2

2

x2 2

x2 2

2

Положим t

2

2 . Поскольку

2 x2 2 множеством значений выражения

2

x2 2

x2 2

при x

является промежуток (2; 3] . Значит, неравенство loga

3x2 8

loga

2x2 6

1 не

x2 2

x2 2

имеет решений тогда и только тогда, когда на промежутке

(2; 3]

не имеет

решений

неравенство

loga (t 1) loga t) 1.

(*)

Далее имеем:

Функция

f (t) t2 t a должна

быть неположительна на

y f (t)

промежутке (2; 3], значит, ее график должен быть расположен не

выше интервала (2; 3] оси абсцисс, т.е., должно выполняться

0,5

2

t

3

условие

f (3) 0 . Решая неравенство 12 a 0 , получаем a 12 .

Ответ:

0 a 1 , a 12 .

Замечание. Пункт 2) можно выполнить иначе с помощью

t 0,5

следующих рассуждений:

Поскольку вершина параболы y t2

t имеет координаты ( 0,5; y ) , функция

y t2

t

0

является

промежуток

y(2); y(3) , т.е. промежуток (6; 12]. Таким образом, неравенство

t2 t a

неверно для

всех t из промежутка (2; 3] в том и только в том случае, когда

выполняется условие a 12 .

Ответ: 0 a 1 ,

a 12 .

Критерии оценивания выполнения задания С5

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

4

Обосновано получен ответ отличающийся от верного только исключением

и/или включением ГРАНИЧНЫХ точек

3

ИЛИ

Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не

повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу

С помощью верного рассуждения получены искомые значения a,

2

возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной t

Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика

функции и отрезка (2; 3] или (при аналитическом решении) найдено

1

множество значений функции y t2 t , но дальнейшие рассуждения

неверны или отсутствуют

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4