Praktika_neopredel_integral_1_5

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 x 1 1 x равна заданной функции.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

§1. Первообразная.

Определение 1.1 Функция F(x), определенная на множестве X, называется первообразной функцией (или первообразной) (для) функции f(x), определенной на этом же множестве X, если в каждой точке x, принадлежащей

множеству X,	функция F(x)		имеет конечную производную F / (x) ,		значение
которой в точке x равно значению функции f(x) в этой точке, т.е.
	F x f x			х X .	(1.1)
Пример 1.1 Пусть f ( x) x .
Функция	F ( x)	x 1	является первообразной для этой функции, потому
Функция	F ( x)	1	является первообразной для этой функции, потому
		1

что ее производная, вычисленная по правилу дифференцирования степенной

Здесь 1 0 , т.е. 1, так как делить на нуль нельзя.

Замечание 1.1 Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то

функция

F ax b есть первообразная для функции

f ax b .

F ax b

t x ax b, t x a

F t t x

f t a f ax b ,

так как F t f t Здесь мы применили правило нахождения производной от сложной функции.

Пример 1.2 Найти первообразную для функции sin 3x 2 .

Решение. Здесь ax b 3x 2 , f x sin x , F x cos x , поэтому

§2. Понятие неопределенного интеграла

Определение 2.1 Совокупность всех первообразных (для) данной функции f(x), определенной на конечном или бесконечном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f ( x)dх .

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, символом неопределенного интеграла, х – переменной интегрирования. Из определения следует равенство

f ( x)dx F x C

(1.2)

Свойства неопределенного интеграла

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

												(2.6)
				аf		x dx а				f	x dx
Пример.		5	dx		5			1	dx 5arcsin x C ,



	1	x 2					1	x 2

Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от

этих функций, т. е.

f x g x dx

f (x)dx g(x)dx

(2.7)

Пример.

23 x

x3 dx

23 x dx

8x C

ln 8

Заметим, что свойство 6 очевидным образом распространяется на сумму (разность) конечного числа функций.

§3. Непосредственное интегрирование.

Пример 3.1 Вычислить неопределенный интеграл х3dx.

Решение. Подынтегральная функция является степенной функцией, поэтому применяем табличный интеграл 3. Здесь 3 , подставляем 3 вместо в

табличный

интеграл

получаем

значение

интеграла

х3dx =

x3 1

C .

3 1

4x4 1

Проверка:

x4 C

х3 . Интеграл

найден

верно, так как производная результата равна подынтегральной функции.

	3		2
Пример 3.2 Вычислить неопределенный интеграл	4dx			.


	x	x

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду степенной функции х , удобному для применения табличного интеграла 3:

1					1				1				5
											x				3 .			Здесь			мы			применили следующие																		свойства
				x 1 x 2					x 5
	x 3 x 2						3			3
	x 3 x 2						3			3
																	m	, an am an m ,										1
					функции: n							am		a															a n
степенной																	n																		.	Вынося						за знак
степенной																	n											n							.	Вынося						за знак
																												a
интеграла							4		и				применяя							табличный								интеграл											3,			имеем:
								5 3dx 4										5						2
		4dx	4 x										1					3 1 C 6x									C					6			C .
		4dx											1				x								3							6										Результат
													5
		x 3 x 2											5																	3 x 2
		x 3 x 2											3 1																	3 x 2
													3 1
					6											2			2				2	1				5						4					4
верен: (					6			C ) / ( 6x										/ 6(	2					1		4x		5						4					4
															3 )					3	)x	3						3
																						3						3											3

			3		x	2																										3		x	5			x		x	2
					x																													x				x		x
																															6		x	2		4
Пример 3.3 Вычислить неопределенный интеграл x3																															6		x			4	5 dx.


																																	x3			x

Решение. Используем свойства неопределенного интеграла и таблицу основных неопределенных интегралов. В нашем случае получаем:

5 dx

x3dx

5dx

x3dx 6

5 dx

x3 2

xdx 4

4ln

5x C

x4 4x x 4ln x 5x C. 4

Пример 3.4. Вычислить 3e2 dx.

Решение. Интегрирование показательных функций проводится также с

использованием свойств				неопределенного интеграла и таблицы простейших
	x		1	1		x		x
интегралов 3e

	2	dx 3			e2		C 6e	2	C.

			2

Пример 3.4. Вычислить cos 4x cos 7xdx.

Решение. Для приведения этого и подобных ему интегралов к табличным используются тригонометрические формулы. В нашем случае удобно применить формулу преобразования произведения косинусов в сумму:

cos 4x cos7x 12 cos3x cos11x .

Тогда: cos 4x cos7xdx 12 cos3x cos11x dx 12 cos3xdx

12 cos11xdx 16 sin 3x 221 sin11x C. Ответ: 16 sin 3x 221 sin11x C.

Пример 3.5. Найти интеграл 53x dx .

Решение. Этот интеграл напоминает табличный интеграл 6 от показательной функции. Чтобы им воспользоваться, преобразуем подынтегральную функцию,

a x

1х

применяя формулу

Затем выносим множитель 3 за

знак интеграла и подставляем в табличный интеграл 6 вместо а число

3dx

С .

5x ln 5

Проверка.

23 х 1 5x

Пример 3.6. Вычислить интеграл

dx .

3 x

Решение.

Преобразуем

подынтегральную

функцию,

применяя

формулы

x y

23 х 1 5

23 х 2 15х

1 8 5 х

40 х

, a

x 1

3 3

2 3

40 х

3 х 1

1 40

Значит,

С .

x 1

6 ln

40 3

§4. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Пример 4.1. Вычислить		x3dx	.


	1 x8

Решение. Для вычисления данного интеграла удобно ввести подстановку:

tx4 , dt d (x4 ) (x4 ) dx 4x3dx, x3dx 14 dt, x8 (x4 )2 t 2.

Врезультате этой подстановки интеграл преобразуется к табличному:

	x3dx	1		dt
					1		dt	1
			4						arcsin t C.
								4
1 x8			1 t2		4	1 t 2

Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем:

x3dx

arcsin x4 C.

1 x8

Этот же интеграл может быть вычислен методом подведения под знак

дифференциала:

x3dx

dx4

arcsin t C

(arcsin x4

arcsin x4

1 x8

1 (x4 )2

1 t2

Пример 4.2. Вычислить

ln x

dx.

Решение. Заметим, что

ln x , а значит,

dx d ln x .

Тогда

ln x

dx ln xd ln x

ln2 x

Пример 4.3. Вычислить tgxdx.

Решение. tgxdx

sin x

cos x

d cos x

cos x

Пример 4.4. Вычислить

Решение. Осуществим подстановку x t 2 , X [0, ), T [0, ).

Здесь t

d(t 2 )

t dt

(1 t) 1

Имеем:

dt 2 dt

1 t

2t 2 ln 1 t C 2x 2 ln(1 x ) C.

§5. Интегрирование по частям

u(x) v / (x) dx u(x)v(x) u/ (x)v(x) dx u dv uv v du

(5.1)

Пример 5.1. Вычислить х ln xdx dx.

Решение. Пусть

u ln x, dv хdx.

Тогда

du (ln x) /dx

х . Значит,

v х dx v

х2

С . В качестве v(x) берем функцию v

х2

. По формуле

(5.1) получаем х ln x dx=

х2

ln x

х2

ln x

хdx

х2

ln x

х2

С .

Пример 5.2. Вычислить x2 sin xdx .

Решение: x2 sin x dx [u x2 , du 2x dx; dv sin x dx,

sin x, v cosx]

x2 cosx 2x( cosx)dx x2 cosx 2 x cosx dx. Для

вычисления

последнего

интеграла еще раз применим формулу интегрирования по частям:

x cosx dx [u x, du dx;dv cos xdx,v sin x] xsin x sin xdx

xsinx cosx C.

Следовательно, исходный интеграл равен:

x2 sin x dx x2 cosx 2x sin x 2 cosx C.

Пример 5.3. Вычислить

xarctgx

dx.

1 x2

Решение.

xdx

d 1 x2

u arctgx,

1 x2 .

; dv

;

1 x2

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

xarctgx

1 x2 arctgx

1 x2

1 x2 arctgx

1 x2 arctgx ln

1 x2

§6. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Определение 6.1. Простейшими рациональными дробями называются:

1)		A	,

		ax b
		ax b
2)		k			, n			2,

		(ax b)n
		(ax b)n
3)		k x d					,

		ax2 bx c
4)		k x d							, n N.

		ax2 bx c n
Вычисление интегралов от дробей 1), 2):
Пример 6.1. 1)								5		dx				5			1				d (3x 2)		5	ln	3x 2		C.
								5						5			1						5
						3x 2							3				3x			2			3
						3x 2							3				3x			2			3		3 (2x 5)1 4
Пример 6.2.								3					3			(2x 5) 4 d(2x									3 (2x 5)1 4
												dx											5)					C
				(2x 5)4								dx			2								5)		2	1 4		C
		3				C							1					C.

	2 3 (2x 5)3										2 (2x 5)3
Для		вычисления							интеграла												k x d			преобразуем				правильную
																						dx
																			ax2 bx c			dx

рациональную дробь, выделяя квадрат суммы (разности) в знаменателе

подынтегральной функции:

Пример 6.3. Вычислить неопределенный интеграл

4x 5

Решение

arctg x

2 C.

x 2 2

4x 5

Пример 6.4. Вычислить

3x 1

dx.

x 1

1 2

Решение. Поскольку x

1 x

3x 1

то

dx.

x2 x 1

1 2

Далее выполним подстановку х

, х t

, dх dt , тогда

																		1																																																						2				3
	3x 1											3 t										1														t												1 dt												3						d t																1		dt
												3 t										1																																												d t										4
																		2																																																										4
						dx																				dt 3															dt
	x2 x 1					dx									t2						3													t2				3			dt							2			t2					3				2								t 2						3								2		t 2	3
															t2				4															t2				4										2			t2					4												t 2						4										t 2	4
																			4																			4																		4																		4											4
			3								3						1															2t			C							3					x2 x 1																	1											2x 1								C.
				ln	t2																		arctg																				ln																									arctg
				ln	t2																		arctg																				ln																									arctg
			2								4					2			3														3									2																							3													3

																			2
Пример. 6.5. Вычислить интеграл																																								х 1												dx .

																																				x2		2x 3 2
Решение. Учитывая,																	что х2											2x 3 х 1 2 2, выполним подстановку х 1 t ,
х t 1, dx dt , тогда
																	х 1												dx									t								dt 2													dt

													x2 2x 3															2								t	2					2		2											t 2				2					2
													x2 2x 3																							t	2					2													t 2				2
						1	t 2 2 2 d t 2 2																									2						dt																		1							2											dt							.
					2		t 2 2 2 d t 2 2																									2				t	2					2		2									t 2 2								2		2								t 2				2					2	.
					2																															t	2					2					2						t 2 2																		t 2				2
											dt									1 2 t2 t2																		1									1															1											t2
																																				dt																					dt																						dt
								t2 2 2												2				t2 2 2																2					t2 (									)2								2						t2 2 2
								t2 2 2												2				t2 2 2																2					t2 (								2	)2								2						t2 2 2
																																			t2
									1					arctg								t					1								t2				dt										2	arctg								t 2									1		I.
																																t2 2						2
																																						2
									2 2										2									2																			4												2								2
Таким образом,																			х 1												dx

															x2			2x									3			2
															x2			2x									3

				1						2					2										t 2								1														1												2											t 2							I .
																	arctg																		I																										arctg
		2 t2 2 2													4		arctg										2						2		I									t2 2 2															2		arctg												2
		2 t2 2 2													4												2						2									2		t2 2 2															2														2

Вычислим

																							u t, dv t (t 2 2)2 dt
																						du dt, v t (t 2 2)2 dt
I				t2	dt t t (t 2 2)2 dt																				1	(t2 2)2 d (t2 2)
				(t2 2)2																					1
				(t2 2)2
																							2
																			1 (t2 2)1 2											C			1					(C 0)
																			2				1 2							C			2(t2			2)		(C 0)
																			2				1 2										2(t2			2)

				t		1			1								t		2									t		2
													dt										arctg								C.
			2(t2 2)			2					t2 2		dt			2(t2	2)				4		arctg							2	C.
				х 1
				х 1			dx							1						2		arctg					t		2			t					2		arctg		t	2		C
	x2 2x 3				2		dx							2 t2 2				2				arctg										2							arctg					C
	x2 2x 3													2 t2 2					2				2								2(t	2)				4						2

				t 1				2		arctg		t 2			C		t x 1											x 2						2	arctg					2(x 1)			C.
				t 1				2				t 2																x 2						2						2(x 1)
		2(t2 2)																						2((x 1)2							2)
						4			2																								4					2
						4			2																								4					2

§7. Интегрирование рациональных дробей.

P x

Для нахождения интеграла от рациональной дроби следует, прежде

Q x

всего, выделить из нее целую часть (если дробь неправильная), т. е. представить ее в виде

P x

M x

R x

Q x

где M x –

многочлен,

R x

– правильная рациональная дробь. После этого

Q x

полученную

дробь

R x

следует

разложить на простейшие дроби и

Q x

R x

проинтегрировать в отдельности каждое слагаемое. При разложении дроби

Q x

обычно используется метод неопределенных коэффициентов. Для этого знаменатель Q x записывают в виде произведения сомножителей, каждый из которых является либо степенью линейных функций x a , либо степенью квадратичной функции х2 px q , не имеющей действительных корней. После этого приступают к нахождению простейших дробей, составляющих в сумме

данную дробь P x . Каждому сомножителю x a k разложения Q x отвечает в

Q x

P x

разложении дроби выражение вида

Q x

...

x a

x a 2

x a k

а каждому сомножителю х2

px q l – выражение вида

B1 x C1

B2 x C2

...

Bl x Cl

x2 px q

x2 px q 2

x2 px q

где A1 , A2 , ..., B1 , C1 , ... – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Для вычисления коэффициентов A1 ,

A2 , ...,

B1 , C1 , ..., Bl

Cl все простейшие

дроби в правой части равенства

P x

...

Q x

x a

x a 2

x a k

(3.2)

B1 x C1

B2 x C2

Bl x Cl

...

x2 px q

x2 px q 2

px q

приводят к общему знаменателю Q x и приравнивают числители обеих частей равенства (2). Затем сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х

(первый способ).

Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве (2), или ему эквивалентном, х равным подходяще подобранным числам (второй способ).

Пример 7.1. Представить рациональную дробь

x 4 1

в виде суммы многочлена

x 2

и элементарных дробей.

Решение.

x 4

неправильная

рациональная

дробь.

x 2

Представим ее в виде суммы многочлена и правильной

рациональной дроби.

Для этого выполним деление двух

= х2

многочленов. Значит,

x 2 1

х2

= х2 1

, так как

х2

х 1

Пример. 7.2. Найти интеграл I

x4 1

dx.

Решение. Их предыдущего примера имеем:

х2 1

х 1

Отсюда

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.08.2019296.96 Кб3posobie_po_napisaniyu_kursovykh_rabot_dlya_2_ku...doc
#
09.09.2019143.87 Кб1posobie_po_Sistematika_bespozvonochnykh.doc
#
09.09.2019165.89 Кб6Prakticheskoe_zanyatie_8_Khozyaystvennyy_protse...doc
#
22.09.2019124.42 Кб4Praktika_4_kurs.doc
#
18.03.201571.68 Кб21PRAKTIKa_4_kurs_dlya_rassylki (1).doc
#
18.03.20151.22 Mб7Praktika_neopredel_integral_1_5.pdf
#
18.08.2019290.82 Кб19praktika_novaya_ped_3-4_kurs_redaktsia_28_02_11...doc
#
22.08.2019238.28 Кб10Praktyka_filfak_4_kurs_2012_Tushynski (1).docx
#
16.04.2019174.59 Кб2preddiplomnaya_dokumenty.doc
#
16.04.201924.38 Кб7prepead talking.doc
#
18.03.201514.6 Кб11Present Simple.docx