Новая папка / № 10

№10 Приложение интеграла:

Вычисление площадей: предварительно у учеников должно быть создано правильное представление о криволинейной трапеции как о фигуре ограниченной графиком непрерывной функции осью X и прямыми параллельной оси Y.

Теорема: пусть f(x)- непрерывная функция, неотрицательная на отрезке [а,b], S- площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F(x)- первообразная для f(x) на отрезке [а,b], то S=F(b)-F(a).

Таким образом сначала предлагается пользоваться для решения задач на вычисление площадей формулой выражающей площадь как разность значений первообразной. Только когда учащиеся усвоили формулу предлагается перейти к использованию символа определенного интеграла.

Вычисление объемов: Задачи на вычисление объемов обычно более громоздки чем задачи на вычисление площадей, но в основе их решения лежит та же идея. Поставим задачу вычислить объем тела, у которого известна площадь любого сечения, перпендикулярного некоторой оси X. Пусть тело располагается при этом между плоскостями, перпендикулярными оси и проведенными через точки a и b на ней. Обозначим площадь сечения S и будем рассматривать только случай когда функция S(x) ( площадь сечения проведенного через точку х) непрерывна на [а,b]. Наряду с этой функцией будем рассматривать функцию V=V(x)- объем части тела отсекаемой плоскостью, проведенной через точку х на оси Х.Пусть сечения тела таковы, что из любых двух сечений тела плоскостью, перпендикулярной оси Х, одно проектируется внутрь другого или с ним совпадает. При этих условиях при . Формулу можно применять для вычисления объемов большинства тел, которые изучаются в курсе геометрии и для решения задач на вычисление объемов тел, полученных вращением вокруг оси Х графика функции y=f(x).