Новая папка / № 6

№6 Методика изучения показательной и логарифмической функции в средней школе.

Изучение темы «Показательная функция» целесообразно начать с пункта «Степень с иррациональным показателем»: зафиксировать некоторое положительное число и поставив в соответствие каждому числу число и получить числовую функцию , определенную на множестве Q. При а=1 функция постоянна при любом рациональном .

Далее следует построить график частного случая, например, на каком-либо отрезке - с определенным шагом - . Уменьшать шаг и привести учащихся к мысли, что получившиеся точки можно соединить плавной кривой и считать ее графиком функции. Следующим шагом будет построение графика функции и убеждение учащихся в том, что она обладает теми же свойствами, что и . Учащиеся должны заметить, что функция - возрастает, а - убывает.

Нужно показать учащимся как определяется функция при a>1 показав, что чем ближе некоторые числа и к , тем меньше отличаются и . По аналогии рассмотреть случай: .

Рассмотреть свойства показательной функции (без доказательства или с доказательством – в зависимости от подготовленности учащихся), начав с ее математического определения.

Определение. Функция, заданная формулой , где и , называется показательной функцией с основанием .

Свойства:

1. 

2. 

3. При функция возрастает на R, при - убывает.

4. При любых : , , , , .

Типовые задания:

1. Перечислите свойства функции и постройте ее график: .

2. Найдите область значения функций: .

3. Сравните числа: .

4. Вычислите: .

5. Упростите выражение: .

6. Определите, является ли функция возрастающей (убывающей): .

7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на R:

8. Решите графически уравнение:

Решение показательных уравнений и неравенств.

Решение показательных уравнений и неравенств основывается на свойствах показательной функции, поэтому при решении упражнений по данной теме систематически проверяются эти свойства.

Для решения систем, содержащих одно или два показательных уравнения, применяются методы подстановки и замены переменных.

Изучение начинается с рассмотрения простейшего уравнения , , . Т. к. имеем: если , то уравнение не имеет решений; в случае если (), то функция возрастает(убывает) на области определения и принимает положительные значения. По теореме о корне имеет единственный корень. Для того чтобы его найти, надо представить в виде . - является решением уравнения.

Разобрать примеры: ; .

Решение заданий, аналогичных разобранным.

Логарифмы и их свойства

Необходимо вернуться к решению уравнения , , и сказать, что при единственный корень называют логарифмом числа по основанию , который обозначают .

То есть: .

Определение. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

Формулу называют основным логарифмическим тождеством.

Отработать понимание учащимися определения логарифма.

Типовые задания:

1. Найдите .

2. Найдите логарифм числа по основанию .

3. Найдите такое, что .

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Для доказательства (3) и (4) пользуются основным логарифмическим тождеством , :

3: Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

и по определению логарифма .

4: Логарифм частного равен разности логарифмов.

, следовательно по определению логарифма .

5: Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

. Значит по определению логарифма .

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Далее целесообразно доказать формулу перехода от одного основания логарифма к другому: . По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получим: . Разделим обе части полученного равенства на , приходим к нужной формуле.

Важно отметить, что логарифмы с основаниями 10 и e называют десятичными натуральными соответственно и обозначают .

Отработать понимание основных свойств логарифмов.

Типовые задания:

1. Известно, что . Выразите через .

2. Найдите , если .

3. Найдите значение выражения .

Логарифмическая функция

Пусть a – положительное число, не равное 1.

Определение. Функцию. Заданную формулой , называют логарифмической функцией с основанием a.

Свойства.

1. 

2. 

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>0 и убывает при 0<a<1.

Докажем, что при a>0 функция возрастает. Пусть - произвольные положительные числа и . Надо доказать, что . Допустим противное . Так как функция при a>1 взрастает, то . Но , т. е. - что противоречит условию.

Для построения графика необходимо заметить:

1. Значение 0 логарифмическая функция принимает точке 1; при любом , так как

2. Вследствие возрастания функции при получаем, что при логарифмическая функция принимает положительные значения, а при - отрицательные.

3. Если , то убывает на , поэтому при и при

Графики показательной и логарифмической функции, имеющих одинаковое основание. Симметричны относительно прямо y=x. Отработать свойства, графики и определение логарифмической функции.

Типовые задания:

1. Найдите область определения функции .

2. Сравните числа: и .

3. Перечислите основные свойства и постройте график функции , .

Решение показательных и логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений появляется настоятельная необходимость формирования понятий следствия и равносильности.

Изучение пункта начинается с рассмотрения простейшего логарифмического уравнения . Логарифмическая функция возрастает (или убывает) не и принимает на этом промежутке се действительные значения. По теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет одно и притом только одно решение. Из определения логарифма следует, что является таким решением.

Рассмотреть примеры и отработать решение логарифмических уравнений.

Типовые задания:

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

4. ..

5. Аналогичные неравенства.

Понятие об обратной функции.

В ходе исследования различны функций, учащиеся неоднократно встречались с задачами:

1. Вычислить значение функции по данному значению аргумента.

2. Найти значения аргумента, при которых функция принимает данное значение .

Разобрать пример: Пусть . Чтобы найти значения аргумента , при которых . Надо решить уравнение , т. е. уравнение . Решая его, находим, что при любом оно имеет, и при том только одно, решение .

Важно отметить, что функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения, называют обратимой. Функция обратима, а функция не является обратимой (При : ).

Пусть - произвольная обратимая функция. Для любого числа имеется в точности одно значение , такое, что . Поставим в соответствие каждому значение , тогда получим новую функцию с областью определения и областью значения .

Пример: Докажем, что функция обратима, и выведем формулу, задающую функцию , обратную к .

1. Уравнение имеет единственное решение .

2. Функция обратима и обратной к ней является функция .

Свойство обратных функций: Графики функции и обратной к ней функции симметричны относительно прямой .

Доказательство. Заметим, что по графику функции можно найти числовое значение обратной к ней функции в произвольной точке . Для этого нужно взять точку с координатой на вертикальной оси. Из определения обратной функции следует, что значение равно .

Для того, чтобы изобразить график надо отразить график относительно прямой .

Если функция - обратная к функции . То функция обратима и обратной к ней является функция . Поэтому говорят, что функции взаимно обратные.

Теорема(об обратной функции). Если функция возрастает (или убывает)на промежутке , то она обратима. Обратная к функция , определенная в области значений , также является возрастающей.

Доказательство. Положим для определенности, что функция возрастающая. Обратимость функции - очевидное следствие из теоремы о корне. Поэтому остается доказать. Что функция возрастает на множестве .

Пусть - произвольные значения из , такие, что , и пусть . По определению обратной функции .

Воспользовавшись условием. Что - возрастающая функция находим, что допущение приводит к выводу , т. е. . Это противоречит условию Поэтому , т. е. из условия следует, что .

Типовые задания:

1. Выведите формулу, задающую функцию , обратную к заданной функции . Укажите : .

2. Постройте график функции, обратной к : .

3. Докажите, что функция имеет обратную функцию на указанном промежутке: .