ГОС / MODUL_10_diskretka

даМ11 - 1. Комбинаторика. Рекуррентные соотношения.

Основные правила комбинаторики:

Правило суммы. Если объект а можно выбрать m способами, а объект b - n способами, причём любой выбор объекта а отличен от любого выбора объекта b, то выбор «а или b » можно сделать m + n способами.

Правило произведения. Если объект а можно выбрать m способами и вместе с каждым из этих выборов объект b может быть выбран n способами, то выбор а и b в указанном порядке, то есть выбор упорядоченной пары (а,b) может быть произведён m • n способами.

ПЕРЕСТАНОВКИ

В перестановках, сочетаниях и размещениях элементы не повторяются.

Опр.Упорядоченный набор, составленный из данных n элементов, называется перестановкой из n элементов.Например, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3,2,1) - все перестановки, составленные из трёх элементов: 1,2,3.

Теорему. Число всех перестановок из n (nN) элементов равно n!

Доказательство. Число перестановок из n элементов обозначается Р_n. Докажем, что Р_n = n! Применим метод математической индукции.

Пусть n = 1. Тогда Р₁ = 1 и 1! = 1. При n = 1 теорема верна.

Допустим, что при n = k теорема верна, то есть Р_k = k!. Докажем, что

P_k+1 = (k+1)!.

Рассмотрим перестановки элементов . Если в каждой такой перестановке зафиксировать , то остальные элементы образуют перестановку из k элементов. Число перестановок, в которых зафиксировано на определённом месте, будет k!. А число мест в перестановке из k+1 элементов, которые может занимать |, равно k+1. Значит, число всех перестановок из k+1 элементов будет равно (k+1) •k!, то есть Р_к+1 = (k+1) •k! = (k+1)!

Индукция проведена, значит, Р_n =n! при любом натуральном n. Чтд.

РАЗМЕЩЕНИЯ И СОЧЕТАНИЯ

Опр.Размещением из n элементов по к называется упорядоченный набор к элементов данного множества, состоящего из n элементов.Например, (1,2,3), (3,2,1), (5,2,1) - различные размещения по 3, составленные из элементов множества {1,2,3,4,5,6}.

Теорема. Число размещений из n элементов по k равно произведению n(n - 1 )(n - 2) ... (n - k +1), где k и n- натуральные числа, k n.

Доказательство. Число размещений из n элементов по k обозначается A. Посчитаем, сколькими способами можно выбрать из n-элементного множества размещение, состоящее из k элементов.

Первый элемент размещения можно выбрать n способами, так как всего элементов n. После того как первый элемент выбран, второй элемент можно выбрать лишь n-1 способами, так как он выбирается из оставшихся n-1 элементов. После выбора первого и второго элементов остаётся п-2 способа выбора третьего элемента. Продолжая, таким образом, получим, что k-й элемент можно выбрать n-k+1 способом. По правилу произведения получаем, что число размещений из n элементов по k будет равно произведению

n (n - 1)(n - 2) ... (n-k+1), то есть A = n(n - 1)(n - 2) ... (n-k+1),

где k и n- натуральные числа, kn. Чтд.

Опр.Сочетанием из n элементов по k называется любое k-элементное подмножество данного множества, состоящего из n элементов.Например. Из элементов множества {1,2,3,4,5} можно, например, составить такие сочетания по 3: {1,2,3}, {1,4,5}, {3,4,5}. Сочетание {1,2,3} будет совпадать с сочетанием {1,3,2}. Два сочетания из n no k будут различными, если они отличаются хотя бы одним элементом. В отличие от размещений порядок элементов в сочетаниях не важен.

Теорема. Число сочетаний из n элементов по k равно , где k и n - натуральные числа и kn.

Доказательство. Число сочетаний из n элементов по k обозначается С Найдём С. Рассмотрим все размещения из n элементов по k. Разобьём их на группы так, чтобы в одну группу входили все те и только те размещения, которые состоят из одних и тех же k элементов. Тогда каждое размещение из одной группы можно считать перестановкой из k элементов. Всего размещений в одной группе будет k!, то есть Р_k. А групп получится столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k, так как выбранное подмножество любых k элементов представляет собою сочетание. Поэтому A = С • Р_k . Отсюда получим: что и требовалось доказать.

Свойства сочетаний. Пусть nN, , kZ, тогда:

1. ; .

2. .

3. . Другими словами: Число всех подмножеств n-элементного множества равно 2ⁿ.

4. .

Схема решения комбинаторных задач:

1.Данная комбинация элементов будет перестановкой, если все элементы множества входят в каждую такую комбинацию.

2.Если комбинация состоит не из всех элементов данного множества, то обратите внимание на порядок расположения элементов в комбинации: если порядок элементов в комбинации не важен, то это сочетание; если изменение порядка элементов даёт новую комбинацию, то это размещение.

БИНОМ НЬЮТОНА

Опр. Формула (a + b)ⁿ = ,

где n - натуральное число, называется формулой бинома Ньютона.

Числа в формуле бинома Ньютона называются биномиальными коэффициентами, слагаемые в правой части формулы бинома называются членами бинома.

Утверждение. Член бинома (а + b)ⁿ с номером k +1 находится по формуле: , nN, k - целое неотрицательное число, не превосходящее n.

При применении формулы бинома полезно помнить, что сумма показателей степени а и b в каждом члене бинома равна n.

РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Задачи, основанные на идеи возвратности (рекуррентности), т.е. решение всей задачи зависит от решения той же самой задачи меньших размеров.

Задача о ханойской башне.

Башня представляет собой 8 дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков.

Задача состоит в том, чтобы переместить всю башню на один из других колышков, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший.

Вопрос: какое количество перемещений дисков является необходимым и достаточны для выполнения поставленной задачи?

Пусть Т_n есть min число перекладываний, необх для перекладывания n дисков с одного колышка на другой. Тогда Т₁, очевидно равно 1, а Т₂ -3. Причём Т₀ =0, поскольку для перемещения башни из n=0 дисков вообще не требуется ни одного перекладывания.

Сначала перемещаем n-1 меньших дисков на любой из колышков (что требует Т_n-1 перекладываний), затем перекладываем самый большой диск (одно перекладывание) и наконец, помещаем n-1 меньших дисков обратно на самый большой диск (еще Т_n-1 перекладываний).Таким образом, n дисков (при n>0) можно переместить за 2Т_n-1+1перекладываний. Итак, Т₀ =0, Т_n=2Т_n-1+1 при n>0. (1)

Совокупность типа (1) называется рекуррентностью. Она задается начальным значением и зависимостью общего члена от предыдущего.

1