2.3. Метод Рота

Выражение векторного потенциала для всего поля находится с помощью метода Рота. Это выражение является решением уравнения Лапласа в пространстве, свободном от тока, и Пуассона для области, занятой проводником. Векторный потенциал магнитного поля – функция координат ,и выражается в виде двойного ряда Фурье. Векторный потенциал должен удовлетворять начальным условиям, присущим данной задаче.

На примере расчета поля рассеяния стержневого трансформатора рассмотрим метод Рота. Чтобы сделать задачу двухмерной, предполагаем, что сердечник имеет весьма большой диаметр. Катушки обмоток трансформатора заменим прямоугольными шинами с высотой итого же сечения. Решение, полученное при этих условиях, будет соответствовать полю внутри окна трансформатора (рис. 2.4).

Рис. 2.4. К расчету электромагнитного поля в окне трансформатора

Пусть железо имеет бесконечно большую магнитную проницаемость, линии магнитного поля входят в ярмо и сердечник нормально к их поверхностям. Поскольку оба стержня имеют совершенно одинаковую обмотку, плоскость является плоскостью симметрии, поэтому достаточно рассмотреть поле в одной половине окна. По обе стороны плоскости симметрии расположены катушки с одним и тем же направлением тока, поэтому линии поля пересекают плоскость симметрии под прямым углом. Решение уравнения Пуассона и Лапласа определяется в виде функций двойного ряда Фурье:

(2.32)

Так как ферромагнитные поверхности имеют бесконечно большую магнитную проницаемость, то запишем следующие три граничные условия:

(2.33)

Так как линии поля перпендикулярны плоскости симметрии, запишем четвертое граничное условие:

. (2.34)

Выражение (2.32) векторного потенциала удовлетворяет первым двум уравнениям (2.33). Чтобы выполнить третье и четвертое граничные условия, необходимо для всех значений исоответственно иметь

Эти равенства выполняются при ;.

Постоянный коэффициент определяется из условия, функцияудовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках области, свободной от проводников, и уравнению Пуассона в пределах поперечного сечения проводников. В соответствии с этими требованиями вторые производныеи, тогда соответственно для областей с током и свободных от тока получим:

(2.35)

(2.36)

Помножим обе части (2.35) и (2.36) на и проинтегрируем первое выражение в пределах

; ;;(2.37)

Просуммируем результаты интегрирования левых и правых частей этих уравнений:

(2.38)

(2.39)

Приравнивая (2.38) и (2.39), определим

Коэффициент рассчитывают в зависимости от значенийиВозможны следующие варианты:

1) ;, т.е.;тогда

(2.41)

2) ;, т.е.;тогда

3) ;, т.е.;тогда, тогда коэффициентрассчитывается согласно (2.40);

4) ;, т.е.;, тогда векторный потенциал магнитного поля равен:для всей области окна трансформатора. Поскольку нас интересует всегда производные векторного потенциала (т.е. индукциии, которые приравны нулю), этот случай практического значения не имеет.

Задаваясь значениями , строим линии поля в окне трансформатора (рис.2.5).

Рис.2.5.Картина поля в окне трансформатора

Из выражения для потенциала магнитного поля легко получить составляющие магнитной индукции ии, зная их, определить механические усилия, действующие в обмотках. Например, определим силы, действующие на первичную обмотку трансформатора. Силы, действующие на единицу длины проводника вдоль оси,

; .

Взяв производные (2.32) и проинтегрировав в заданных пределах, получим

;

.

В этих выражениях все величины известны и определяются размерами обмоток и окна трансформатора. Однако арифметические вычисления сил занимают значительное время, так как ряды сходятся очень медленно.