2.2. Метод Роговского

Точность расчета магнитных полей рассеяния в пазах ЭМП практически полностью определяет точность расчета реактивностей рассеяния. Даже при достаточно простой прямоугольной форме паза получаются довольно сложные и громоздкие выражения, неудобные для практического применения. Поэтому в задачу исследования часто вводятся вопросы нахождения упрощенной методики расчета для чего, отыскав точное решение, упрощают его, а затем сравнивают результаты упрощенных решений с точными, определяя по их расхождению границы применимости упрощенных формул.

В настоящее время при прямоугольных границах, в которых исследуется магнитное поле, широко применяется метод Роговского, заключающийся в том, что решение ищется в виде ряда Фурье и распространяется на поля распределенных токов, находящихся в прямоугольных границах. Метод позволяет определить поля в равномерном зазоре машины при наличии в нем обмотки с током, распределенной в окнах трансформаторов и магнитных системах электрических аппаратов, в пазах электрических машин и т.д.

Принимая допущение о бесконечной магнитной проницаемости дна и стенок прямоугольного открытого паза бесконечной длины (рис.1), можно проводник с равномерно распределенным по высоте паза током заменить системой бесконечного ряда отображений токов, т.е. ток в пазу разложить в ряд Фурье.

(2.18)

где 3, 5,

где и– ширина и высота паза;– плотность тока в стержне.

Это позволяет не рассматривать поле в ферромагнитной среде, а ограничится только областями: 1 – между ферромагнитной поверхностью и поверхностью меди; 2 – по высоте меди стержня; 3 – над стержнем.

Рис.2.1. Прямоугольный открытый паз бесконечной длины

Наиболее рациональное решение задачи по определению магнитного поля в пазу машины с помощью векторного потенциала магнитного поля , для которого принятые допущения позволяют записать для соответствующих зон следующие дифференциальные уравнения: для зон 1 и 3 (рис.2.1.) уравнения Лапласа

; (2.18)

для зоны 2 с током, полагая магнитную проницаемость проводника равной , уравнение Пуассона

. (2.19)

Поскольку распределение плотности тока представлено в виде ряда Фурье, то решение для векторного потенциала магнитного поля целесообразно искать в следующем виде:

для зоны 1

; (2.20)

для зоны 2

(2.21)

для зоны 3

, (2.22)

где D – постоянные интегрирования; C – коэффициенты при периодических составляющих.

Составляющие вектора магнитной индукции определяются так:

; (2.23)

. (2.24)

С учетом уравнений для составляющие вектора магнитной индукции по зонам соответственно:

Постоянные интегрирования могут быть определены из следующих граничных условий:

при ;;;;;;;;;.

При можно принять, что имеется только одна составляющая магнитного поля, определяемая полным током паза

, а .

Постоянную можно принять равной 0, так как она не оказывает влияния на магнитное поле.

Приравнивая в соответствии с граничными условиями уравнения отдельно для периодических и непериодических составляющих векторного потенциала магнитного поля и индукции, можно получить следующие уравнения:

Эти уравнения позволяют определить все постоянные интегрирования:

(2.27)

Коэффициенты при периодических составляющих

;

(2.28)

;

.

После постановки постоянных интегрирования в уравнения для магнитной индукции и несложных преобразований можно получить:

(2.29)

При и малых, пренебрегая величинами второго порядка малости, выражения для индукции;;приводятся к простому, удобному для инженерных расчетов, виду:

;

; (2.30)

.

С помощью выражений для индукции можно рассчитать зависимость , одна из которых для примера дана на рис.2.2, и произвести сравнения с результатами расчета по приближенным формулам, а так же определить проводимость рассеяния паза и индуктивное сопротивление рассеяния паза.

Рис.2.2. Распределение индукции по высоте паза

Приближенные формулы могут быть получены как из выражений для , так и в результате анализа при допущении, что длина магнитных силовых линий по всей высоте паза равна его ширине, и они перпендикулярны к стенкам паза. При этом допущении поток на единицу длины паза (рис.2.3):

.

Рис.2.3. К расчету потока на единицу длины паза

Потокосцепление, обусловленное этим потоком, если принять, что число проводников в пазу равно N:

(2.31)

Согласно закону полного тока

,

где i – ток в проводнике.

Учитывая, что магнитные силовые линии перпендикулярны стенкам паза и магнитная проницаемость стали , можно получить

и .

Теперь

.

Подстановка выражения для дает

;

.

В зоне :

и .

Индуктивность на единицу длины паза может быть найдена в виде

.

Расхождение расчетных данных для проводимости пазового рассеяния, полученных по точным (11 – 13) и приближенным (14 – 16) формулам при , не превышает 1.5%. Таким образом, упрощенные выражения могут быть использованы для инженерных расчетов с известной степенью точности. Метод Роговского позволяет определить магнитные поля в окне трансформатора при применении принципа наложения. При этом на границеи,.