Глава 2. Методы решения дифференциальных уравнений
2.1. Метод Фурье
Дифференциальные
уравнения соответственно для напряженности
магнитного и электрического полей,
плотности тока и векторного магнитного
потенциала являются функциями нескольких
переменных; одним из широко применяемых
для их решения методов является метод
разделения переменных Фурье, заключающийся
в представлении искомой функции в виде
произведения или суммы произведений
двух, трех или четырех функций, каждая
из которых является функцией только
одной координаты. Например, для компоненты
напряженности магнитного поля
[13]
. (2.1)
При определении общего решения уравнения принимают
Подставляя в это уравнение (2.1), можно получить
(2.2)
или
После деления на
,
,
,
получается
(2.3)
Поскольку каждый
член уравнения (2.3) связан только с одной
независимой переменной, то все члены
вместе будут удовлетворять условию
(2.3) только тогда, когда они будут
постоянными, т.е. не будут зависеть
соответственно от координат
,
,
,
.
Таких постоянных может быть бесконечно большое количество:
(2.4)
Если электромагнитное
поле меняется во времени по гармоническому
закону, то, подставляя
при комплексной форме
,
можно получить
. (2.5)
Это позволяет при соответствующей подставке (2.4) в уравнение (2.3) получить
, (2.6)
откуда, если,
например, задавать
и
,
. (2.7)
Теперь с учетом (2.5) и (2.7) можно уравнение (2.4) представить в виде:
(2.8)
(2.9)
. (2.10)
Если положить
,
,
то решение уравнений с учетом выражения
(2.7) можно записать как
; (2.11)
; (2.12)
. (2.13)
Если положить, что
,
,
то
; (2.14)
; (2.15)
(2.16)
при
и
(2.17)
при
.
После постановки решений соответственно (2.11), (2.12), (2.13) или (2.14), (2.15), (2.16), (2.17), в исходную функцию (2.1), можно найти окончательное решение уравнений, которые при гармонической зависимости от времени представляются в комплексной форме. Это решение для несинусоидальной периодической трех переменных приобретает вид двойного тригонометрического ряда.
При исследовании полей, не меняющихся во времени, т.е. стационарных относительно среды, широко применяются методы конформных преобразований, метод Роговского, метод Рота, графоаналитические методы, моделирование на электропроводящей бумаге, объемное моделирование в электропроводящей среде и т.д.
В настоящее время все большую популярность приобретает приближенный метод расчета электромагнитных полей – метод сеток, который применяется для расчета как стационарных, так и переменных во времени электромагнитных полей. Значительный интерес при исследовании полей представляет физическое моделирование, заключающееся в исследовании электромагнитных явлении в модели, которая имеет полностью или в основном одинаковую с оригиналом физическую природу. При определенных условиях явления в модели подобны явлениям в оригинале. Благодаря этому величины, характеризующие процессы в оригинале, получаются простым умножением на масштабные коэффициенты величин, определяющих процессы в модели. Эти условия устанавливаются с помощью теории подобия, которая позволяет по известным характеристикам одного явления судить о больших группах явлений, подобных в том или ином смысле первому явлению, или представлять результаты исследований в виде обобщенных зависимостей, распространяющихся на группы подобных явлений. Таким образом, физическое моделирование заменяет собой эксперимент в натуре, а это особенно важно для крупных и очень мелких машин. Физическое моделирование применительно к ЭМ, обладает большими возможностями. Оно позволяет исследовать поле в машине без традиционных допущений аналитической теории с учетом нелинейности, анизотропии и гистерезиса ферромагнитных сред, т.е. позволяет условия исследований максимально приблизить к исследованию на действующей ЭМ.