4. Прямой поперечный изгиб
4.1. Поперечная сила и изгибающий момент
При изгибе поперечная сила и изгибающий момент определяются методом сечений [1].
Величина поперечной силы Q в каком- либо сечении балки равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил (сосредоточенных и распределенных), действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения на одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения.
Величина изгибающего момента M в каком- либо сечении балки равна алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно одной из главных центральных осей инерции сечения. Формула для метода сечений MI = M(Fi).
Положительными и отрицательными принято считать значения M, соответствующие тем направлениям, которые указаны на рис. 4.1.
MM
M M
Рис. 4.1
Если распределенная нагрузка оканчивается не доходя до рассматриваемого сечения балки (рис. 4.2), то ее можно заменить сосредоточенной силой, численно равной площади эпюры этой нагрузки, приложенной в сечении, проходящем через центр тяжести площади эпюры (рис. 4.2)
б a q
I II
III
Х3
Рис. 4.2
Можно рекомендовать рассматривать сечение с той стороны балки, которая менее нагружена, и строить сначала эпюру Q, а затем эпюру M.
Из определения Q следует, что в сечении, в котором приложена сосредоточенная сила, на эпюре поперечной силы должен быть скачок на величину этой внешней силы.
Из определения M следует, что в сечении, в котором приложен сосредоточенный момент, на эпюре изгибающего момента должен быть скачок на величину момента этой внешней пары сил [4].
Для балок, на которые не действует распределенные моменты пары сил, вызывающие изгиб, при построении эпюр Q и M, а также для проверки их правильности необходимо пользоваться дифференциальными зависимостями между M, Q, q : Q = dM/dx, q = dQ/dx = d2M/dx2 и следствиями, вытекающими из них.
4.2. Нормальные напряжения
Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормальными возникают и касательные напряжения, обусловленные наличием поперечной силы, но они в подавляющем большинстве случаев невелики и при расчетах на прочность не учитываются.
Прочность балки обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых. Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны, опасное сечение то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент.
,
(4.1)
где Мmax – наибольший изгибающий момент опасного сечения;
W – осевой момент сопротивления данного поперечного сечения.
4.3. Построение эпюр q и m
Пример. Балка на двух опорах, к которой приложены внешние нагрузки (рис. 4.3).
Дано: F= 10m, q = 2m/м, a = 4 м. Построить эпюры Q и M.
Решение. Определяем реакции опор из условия статического равновесия балки, т.е. суммы моментов сил относительно правой и левой опоры.
ΣM(Fkx)B = 0; F·3a – RA·2a + F· a – F· a + q·3a·1,5· a- q+ a2·0,5 = 0;
10·3·4 – RA· 2·4 + 10·4 + 2·4·4·0,5 = 0;
RA =31 m;
ΣM(Fkx)A = 0; -F·3 + RB·2a – F·a – q·3a·1,5a+ F·a + q·a2·0,5 = 0;
-10·3·4 – RB·2·4 – 10·4 – 2·3·4·1,5·4 + 10·4 + 2·42·0,5 = 0;
RB = 31 m.
Проверка: ΣFy = 0; 31+ 31 – 10 –10 –32 – 32 = 0.
Для упрощения выражений, определяющих Q и M, сечения на первом и втором участках длиной a рассматриваем слева, а на третьем и четвертом участках – справа:
0≤ x1≤ a; Qx1 = -F – qx1;
Qx1 = a = -F – qx1 – x1/2; Mx1=0=0;
Mx1=a= -F·a – qa·a/2·-10·4·4/2 = -56 m·м;
Mx1=a/2=-10·2 – 2·2·2/2 = -24 m·м;
Y
F RA F
RB F
I II III IV
Х
A B
X1 X2 X3 X4
Z
a a a a
13 5 18 10
эQ,
m
-5
-10 -18 -13
эМz,
m
м
-56 -20 -56
Рис. 4.3
0≤ х2≤ a;
Mx2= -F(a + x2) – qa(a/2 + x2) + RA·x2 – qx2·x2/2;
Mx2=0= -10·4 – 2·4·2 = -56 m·м;
Mx2=a= -10·8 – 2·4·6 + 31·4 – 2·4·2 = -20 m·м;
Mx2=a/2= -10·6 – 2·4·4 + 31·2 – 2·2·1 = -34 m·м;
Qx2= -F – q·a + RA – q·x2; Qx2=0= -10 – 2·4 + 31 + 13 m;
Qx2= -10 – 2·4 + 31 – 2·4 = 5 m·м;
0≤ x4≤ a;
Qx4= F + qx4; Qx4=0= F =10 m;
Qx4=a= 10 + 2·4 =18 m;
Mx4= -F·x4 – qx4·x4/2; Mx4=0= 0;
Mx4=a= -10·4 – 2·4·2 = -56 m·м;
Mx4=a/2= -10·2 – 2·2·1 = -24 m·м;
0≤ x3≤ a;
Qx3= F + qa – RB + qx3; Qx3=0= 10 + 2·4 – 31 = -13 m;
Qx3=a= 10 + 2·4 – 31 + 2·4 = 5 m·м;
Mx3= -F(a + x3) – qa·(a/2 + x3) + RB·x3 – qx3·x3/2;
Mx3=0= -10·4 – 2·4·2 = -56 m·м;
Mx3=a= -10·8 – 2·4·6 + 31·4 – 2·4·2 = -20 m·м;
Mx3=a/2= - 10·6 – 2·4·2 + 31·2 – 2·2·1 = -34 m·м.
По полученным данным построим эпюры Q и M (см. рис. 4.3).