2.2. Нормальные напряжения и абсолютная

линейная деформация

Принимается, что во всех поперечных сечениях растянутых или сжатых стержней нормальные напряжения σ_х распределены равномерно. Поэтому величина нормального напряжения σ_х в произвольном поперечном сечении определяется отношением продольной силы N_x в этом сечении к его площади A_x:

, (2.2)

Считая материалы стержней, подчиняющимися закону Гука, величину абсолютного удлинения стержня при растяжении или сжатии можно определить по следующей формуле [1]:

(2.3)

где Е – модуль упругости материала стержня, МПа.

Интегрирование производится по длине каждого участка, а суммирование по всем участкам стержня.

Если по длине стрежня N и А постоянны в пределах участка нагружения, то абсолютное удлинение равно:

. (2.4)

2.3. Расчеты на прочность и жесткость

Определение необходимых размеров площади А поперечного сечения растянутого или сжатого стержня постоянного поперечного сечения производится по расчетной формуле:

(2.5)

которая вытекает из условия статической прочности: и соотношения:

где [σ] – допускаемое напряжение материала стержня

на растяжение – сжатие, МПа.

N_max – наибольшее по модулю продольное усилие

в рассчитываемом стержне, Н.

Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (для пластичных материалов),

(2.6)

где – предел текучести материала стержня

при растяжении (сжатии), МПа;

–коэффициент запаса прочности по пределу текучести.

Если дополнительно ставится условие, чтобы упругое перемещение какой – либо точки системы не превосходило заданной допускаемой величины , то выполняется проверка на жесткость согласно следующему условию:

^. (2.7)

2.4. Построение эпюр N, и

Пример. Дано: Схема нагружения (рис. 2.1) и силы F₁=F; F₂=3F; F₃=2F; F= 10 кН; a=1 м; d=16 мм; Е=2 10⁵МПа; построить эпюры N,  и определить .

Решение. Проводя поперечные сечения в любом месте на каждом участке стержня (рис. 2.1), по формуле (2.1) получаем следующие значения продольных усилий:

N₁=-F₁=-F; N₂=-F₁+F₂=-F+3F=2F;

N₃=-F₁+F₂-F₃ = -F+3F-2F= 0;

Соответствующие продольные усилия изображены на рис. 2.2.

_{1 2 3}

F

F₃ F₂

₄ F₁

а 2а а

N₁ F₁ Сжатие бруса

(N₁< 0)

N₂F₂F₁

Растяжение бруса

(N₂> 0)

F₃F₂F₁

Не нагруженныйбрус

2F=20

эN(кН)

-F=10

99,5

эs(МПа)

-49,7

Рис. 2.2

Из условия равновесия стержня  F_i =0 определяется внешняя продольная сила F₄ .

-F₁+F₂ – F₃ + F₄ =0, F₄ =F-3F+2F=0

Площадь поперечного сечения стержня

Нормальные напряжения на каждом участке стержня определяем по формуле (2.2):

Эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ изображены на рис. 2.2.

По формуле (2.4) определяем абсолютное удлинение стержня на каждом участке, а затем суммируем полученные результаты: