Задание 3.

Нарисуйте принципиальную схему частотного модулятора и рассчитайте статическую модуляционную характеристику (СМХ) частотного модулятора, если емкость варикапа, подключенного параллельно емкости резонансного контура частотно-модулируемого генератора, зависит от напряжения смещения:

C_в = (n+2)/E = (3+2)/E = 5/E [пФ] при 1В < E < 2В.

Емкость контура генератора равна: C = 100 + m = 100 + 0 = 100 пФ,

индуктивность L = 100 – n = 100 – 3 = 97 мкГн.

Выберите рабочий участок на СМХ и рабочую точку, определите параметры ЧМ сигнала на выходе модулятора, запишите аналитическое выражение для ЧМ сигнала.

Амплитуда ЧМ колебания на выходе модулятора равна U_m = (m + 1) = 0 + 1 = 1 В,

частота модулирующего сигнала равна F = (n + 1) = 3 + 1 = 4 кГц.

Решение.

Статическая модуляционная характеристика (СМХ) частотного модулятора – это зависимость частоты, генерируемой модулятором, от напряжения смещения.

Пределы изменения напряжения смещения:

1В < E < 2В.

Емкость варикапа:

C_в = 5/E [пФ].

Частота, генерируемая генератором:

Расчет выполнен в таблице 2.

Рисунок. 4. Принципиальная схема частотного модулятора.

Таблица 2. Расчет СМХ частотного модулятора.

E, В	Cв, пФ	C+Cв, пФ	f, Гц
1	5	105	1577029
1,1	4,545	104,545	1580453
1,2	4,167	104,167	1583324
1,3	3,846	103,846	1585766
1,4	3,571	103,571	1587868
1,5	3,333	103,333	1589696
1,6	3,125	103,125	1591301
1,7	2,941	102,941	1592721
1,8	2,778	102,778	1593987
1,9	2,632	102,632	1595121
2	2,5	102,5	1596145

Рисунок. 5. СМХ амплитудного модулятора.

Рабочий участок – линейный участок СМХ. Границы рабочего участка:

E_max = 1,8 В, E_min = 1,4 В,

f_max = 1,594 МГц, f_min = 1,588 МГц,

Частота в рабочей точке:

f₀ = 1,591 МГц

Девиация частоты:

f_д = f_max – f₀ = f₀ – f_min = 3,06 кГц

Индекс ЧМ:

M_ч = f_д /F = 3,06 кГц / 4 кГц = 0,765

Аналитическое выражение для сигнала ЧМ:

- в общем виде:

u_чм(t) = U_m cos (₀t + M_ч sin t)

- для наших значений параметров:

Ω = 2πF = 2,51310⁴ с^-1

ω₀ = 2πf₀ = 9,99610⁶ с^-1

u_чм(t) = 1 cos (9,99610⁶ t + 0,765 sin (2,51310⁴ t)) В

Задание 4.

В соответствии с выполненными в п.п. 2, 3 расчетами постройте в масштабе: три временные диаграммы (модулирующий сигнал, АМ сигнал и ЧМ сигнал), укажите числовые значения параметров сигналов; три спектральные диаграммы (спектр модулирующего и несущего гармонических сигналов, спектр АМ сигнала и спектр ЧМ сигнала). На графиках спектров укажите значения амплитуд и частот гармоник и параметры АМ и ЧМ сигналов.

Сравните энергетические и спектральные характеристики АМ и ЧМ сигналов.

Решение.

Поскольку частота заполнения во много раз выше частоты модулирующего сигнала, то построить в реальном масштабе зависимость напряжения от времени в наглядном виде невозможно. Поэтому на временных диаграммах АМ и ЧМ сигналов масштаб по времени не соблюден.

Для построения спектральных диаграмм преобразуем выражения для АМ- и ЧМ-сигналов с помощью тригонометрических соотношений:

u_ам(t) = 1*(1 + 0,609 cos (1,88510⁴ t)) cos (1,27510⁶ t) = = 1 cos (1,27510⁶ t) + 1*0,609*0,5 cos ((1,27510⁶ t – 1,88510⁴) t) + + 1*0,609*0,5 cos (1,27510⁶ + 1,88510⁴) t) = = 1 cos (1,27510⁶ t) + 0,305 cos (1,25710⁶ t) + 0,305 cos (1,29410⁶ t) В

u_чм(t) = 1 cos (9,99610⁶ t + 0,765 sin (2,51310⁴ t)) В

ЧМ-сигнал можно представить в виде бесконечного ряда:

,

где

A₀ = U₀ J₀(M_ч) = 1* J₀(0,765),

A_i = U₀ J_i(M_ч) = 1* J_i(0,765),

J_i(M_ч) – функция Бесселя первого рода i-го порядка.

При построении амплитудного спектра мы будем учитывать только те составляющие, для которых выполняется условие A_i ≥ 0,05A₀, или J_i(M_ч) ≥ 0,05J₀(M_ч).

Результаты расчетов для правой части спектральной диаграммы запишем в виде таблицы (левая часть диаграммы построена с учетом симметрии спектра относительно ₀):

Таблица 3. Спектр ЧМ-сигнала.

i	0	1	2
ω, рад/с	9,996106	1,0021107	1,0046107
Ji(Mч)	0,859	0,355	0,07
Uч ω, В	0,859	0,355	0,07

Сравним энергетические и спектральные характеристики АМ и ЧМ сигналов. Ширина спектра АМ сигнала всегда равна ΔF_ам = 2F – удвоенной верхней частоте в спектре первичного сигнала. Полезная мощность АМ сигнала определяется боковыми составляющими, дающими информацию о частоте первичного сигнала и его интенсивности, и составляет M_а² / 2 = 0,609² / 2 = 0,185 от мощности несущей или

M_а² / (2 + M_а²) = 0,609² / (2 + 0,609²) = 0,156 от общей средней мощности.

Ширина спектра ЧМ сигнала определяется индексом ЧМ. Обычно для практических целей принимают:

ΔF_чм = 2F(1+M)

В нашем случае, приблизительно, ΔF_чм = 4F. Расчет показывает, что для угловых частот ω₀3 амплитуда составляет 1% от амплитуды на частоте ω₀, на рис. 7в они не показаны.

Полезная мощность ЧМ сигнала также определяется боковыми составляющими и составляет:

0,355 от мощности несущей или

0,262 от общей средней мощности.

Из свойств функций Бесселя следует, что полезная мощность ЧМ сигнала увеличивается с увеличением индекса модуляции M.

Таким образом, спектр ЧМ сигнала шире спектра АМ, а доля полезной мощности ЧМ сигнала больше АМ.

	(а)
	(б)
	(в)

Рисунок. 6. Временные диаграммы: а – модулирующий сигнал, б – АМ сигнал, в – ЧМ сигнал).

	ам = 1,885·104 рад/с чм = 2,513·104 рад/с 0 ам = 1,275·106 рад/с 0 чм = 9,996·106 рад/с Um ам = 1 В Um чм = 1 В	(а)
		(б)
		(в)

Рисунок 7. Спектральные диаграммы: а – спектр модулирующего сигнала и несущей, б – спектр АМ сигнала, в – спектр ЧМ сигнала.