Решение.

Разделим полученную в задании 7 последовательность на дибиты:

01 01 00 11 01 11 11 01 11 00 11 11 10 00 10 00 11 10 11 01 11 11 11 10 10 10 11 01 10 10 11 01 11 00 00 01 11 10 10 11 10 10 00 11 11 11 01 01 00 10 11 11 01 00 0(0).

Всего 55 дибитов (дополняем последний непарный бит до дибита нулем).

Код К4:

00 – кодируем символом 0; 01 – кодируем символом 1;

10 – кодируем символом 2; 11 – кодируем символом 3.

Получим:

1 1 0 3 1 3 3 1 3 0 3 3 2 0 2 0 3 2 3 1 3 3 3 2 2 2 3 1 2 2 3 1 3 0 0 1 3 2 2 3 2 2 0 3 3 3 1 1 0 2 3 3 1 0 0.

p(0) = 10/55 = 0,182; p(1) = 11/55 = 0,2; p(2) = 13/55 = 0,236; p(3) = 21/55 = 0,382.

Основание кода К4 равно m = 4, длина комбинации n = 1.

Энтропия кода К4:

H = – (0,182log₂ (0,182) + 0,2log₂ (0,2) + 0,236log₂(0,236) + 0,382log₂( 0,382)) =

= 1,934 дв.ед./символ.

Т.к. m = 4, то избыточность кода К2:

R = 1 – H / log₂m = 1 – 1,934 / 2 = 0,033.

Задание 9. Осуществите помехоустойчивое кодирование двоичных комбинаций кода К3, используя для этого циклический код (7,4), с порождающим полиномом z³ + z² + 1.

Необходимо: описать алгоритм кодирования и декодирования; составить таблицу разрешенных комбинаций на выходе кодера; изобразить структурные схемы кодера и декодера.

Решение.

Алгоритм кодирования циклическим кодом.

Рассмотрим алгоритм кодирования для циклического кода (7,4), у которого каждое слово имеет 7 символов. Непосредственно информационные символы в кодовой последовательности не содержатся, однако каждым 4 информационным символам поставлена в соответствие кодовая комбинация длиной 7 символов. Алгоритм формирования кодовых комбинаций следующий.

1. Записываем возможные информационные комбинации из 4-х символов: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100,1101,1110,1111.

2. Каждую комбинацию записываем в виде полинома. Например:

1 0 0 1  A(Z) = Z³ + 1

a₃ a₂ a₁ a₀

3. Для числа проверочных символов n–k = 3 выбираем образующий полином P(Z), степень которого соответствует количеству проверочных символов. Для трех проверочных символов образующий полином: P(Z) = Z³ + Z² +1. Ему соответствует двоичная комбинация 1101.

4. Полином, соответствующий каждой информационной комбинации, умножается на P(Z). Например, для A(Z) = Z³ + 1:

(Z³ + 1) (Z³ + Z² + 1) = Z⁶ + Z⁵ + Z² + 1  1100101

В результате получим 16 разрешенных комбинаций циклического кода (7,4). Процесс вычисления разрешенных комбинаций по информационным показан в таблице 2. Минимальное кодовое расстояние данного кода равно 3, т.е., данный код исправляет все одиночные ошибки.

Таблица 2. Кодовая таблица разрешенных кодовых комбинаций.

Информационная комбинация	Полином A(Z)	A(Z)P(Z)	Кодовая комбинация
0000	0	0	0000000
0001	1	Z3+Z2+1	0001101
0010	Z	Z4+Z3+Z	0011010
0011	Z+1	Z4+Z2+Z+1	0010111
0100	Z2	Z5+Z4+Z2	0110100
0101	Z2+1	Z5+Z4+Z3+1	0111001
0110	Z2+Z	Z5+Z3+Z2+Z	0101110
0111	Z2+Z+1	Z5+Z+1	0100011
1000	Z3	Z6+Z5+Z3	1101000
1001	Z3+1	Z6+Z5+Z2+1	1100101
1010	Z3+Z	Z6+Z5+Z4+Z	1110010
1011	Z3+Z+1	Z6+Z5+Z4+Z3+Z2+Z+1	1111111
1100	Z3+Z2	Z6+Z4+Z3+Z2	1011100
1101	Z3+Z2+1	Z6+Z4+1	1010001
1110	Z3+Z2+Z	Z6+Z2+Z	1000110
1111	Z3+Z2+Z+1	Z6+Z3+Z+1	1001011

Возможны и другие алгоритмы кодирования циклическим кодом. Структурная схема кодера, показанная на рис. 4, реализует алгоритм, описанный выше.

Рис. 4. Структурная схема кодера.

Кодер содержит два сумматора по модулю 2, три элемента памяти и два переключателя. Четыре информационных бита последовательно поступают на вход схемы и одновременно передаются на выход (переключатели находятся в положении 1). После этого переключатели переходят в положение 2, и на выход поступают три проверочных бита, сформированные в регистре сдвига.

Алгоритм декодирования.

1. Разделим принятую кодовую комбинацию на образующий полином. Остаток от деления есть синдром, который указывает на позицию, где произошла ошибка. Поскольку синдром не зависит от передаваемой комбинации, а зависит только от позиции, в которой произошла ошибка, то синдромы можно вычислить заранее. Например, передавали комбинацию 0000000, под действием помехи она превратилась в 0100000, т.е. ошибка в 6-ом символе справа. Разделим 0100000 на P(Z)  1101, учитывая, что вычитание производится по модулю 2:

0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 0 1

0 1 1

Рис. 5. Операция деления входной кодовой последовательности на образующий полином.

Остаток 011 и есть синдром, указывающий, что ошибка произошла в 6-ом символе справа. Аналогично выполним деление для всех возможных векторов ошибок, результаты сведем в таблицу. Соответствие между значением синдрома и вектором ошибки устанавливает таблица 3.

Таблица 3. Таблица соответствия между значением синдрома и вектором ошибки.

Синдром	000	001	010	100	101	111	011	110
Вектор ошибки	0000000	0000001	0000010	0000100	0001000	0010000	0100000	1000000

Семь бит (четыре информационных бита и три проверочных) поступают на вход декодера (ключ - в положении 1). После этого ключ переходит в положение 2, и синдром поступает на выход схемы. Синдром поступает на блок формирования вектора ошибки и сумматор по модулю 2 вектора ошибки и принятой комбинации.

Как следует из рис. 4 и 6, кодер и декодер циклического кода реализуются с помощью простых регистров сдвига с обратной связью.

Рис. 6. Структурная схема декодера.

Закодируем код К3. Разобьем последовательность на отрезки по 4 бита (дополним последнюю комбинацию нулями):

0101 0011 0111 1101 1100 1111 1000 1000 1110 1101 1111 1110 1010 1101 1010 1101 1100 0001 1110 1011 1010 0011 1111 0101 0010 1111 0100 0(000).

Кодируем в соответствии с Таблицей 2:

0100111 0011101 0110001 1111111 1110100 1101001 1011000 1011000 1100010 1111111 1101001 1100010 1001110 1111111 1001110 1111111 1110100 0001011 1100010 1000101 1001110 0011101 1101001 0100111 0010110 1101001 0101100 0000000.

Задание 10. Выберите короткую кодовую комбинацию: 01 или 10. Нарисуйте временную диаграмму двоичной комбинации. Изобразите временные диаграммы сигналов ДАМ, ДЧМ и ДФМ, соответствующие выбранной двоичной комбинации.

Решение.

Рис. 6. Временные диаграммы: а) двоичный сигнал; б) сигнал ДАМ; в) сигнал ДЧМ; г) сигнал ДФМ.

Задание 11. Нарисуйте структурные схемы модулятора и демодулятора для передачи и приема многопозиционных сигналов. Укажите назначение блоков схемы. Зарисуйте векторные диаграммы многопозиционных сигналов.

Решение.

Рис. 7. Структурная схема модулятора.

Рис. 8. Структурная схема демодулятора.

Сигнал дискретной модуляции на интервале i-го символа может быть представлен как: u_i(t) = U_i(t) cos ω_i(t) cos ω_it + U_i(t) sin ω_i(t) sin ω_it = I_i(t) cos ω_it + Q_i(t) sin ω_it

Квадратурные модулирующие I_i(t) и Q_i(t) определяют метод модуляции.

Структурная схема модулятора, формирующего цифровой модулированный сигнал, показана на рис. 7. Схема формирует модулированный сигнал из двух квадратурных составляющих в соответствии с вышеприведенной формулой: сигнал с генератора несущей cos ω₀t перемножается с I(t), а пропущенный через фазовращатель на -90° (т.е. sin ω₀t) перемножается с Q(t). Эти сигналы суммируются, что дает S(t).

Структурная схема демодулятора, обрабатывающего многопозиционные сигналы, показана на рис. 8.

Полосовой фильтр (ПФ) выделяет сигнал на фоне шума. Центральная частота АЧХ фильтра равна частоте несущей ω₀. Полоса пропускания фильтра равна П = (1 – 1,5)/Т (Гц), где Т – длительность посылки сигнала.

В блоке опорного напряжения (БОН) из входного сигнала восстанавливается несущая cos ω₀t. С помощью квадратурного демодулятора, в который входит фазовращатель, перемножители, ФНЧ, определяются проекции вектора принятого сигнала Z(t) – синфазная I(t) и квадратурная Q(t) компоненты. В решающем устройстве (РУ), сравнивая I(t) и Q(t) с параметрами возможных сигналов, определяются передаваемые цифровые сигналы.

Векторные диаграммы сигналов ФМ-4, ФМ-8, КАМ-8 показаны на рис. 9.

Рис. 9. Векторные диаграммы сигналов

Задание 12. Задана вероятность ошибки р = (Ц+1)∙10^–3 = 4∙10^–3 (Ц = 3 – последняя цифра номера студенческого билета). По графику из методических указаний определите величину отношения сигнал/шум, т.е. величину h₀², при котором достигается заданная вероятность ошибки оптимального приемника двоичных сигналов ДАМ, ДЧМ, ДФМ. Сравните виды модуляции.

Решение.

Рис. 11. Зависимость вероятности ошибки от h₀.

Вероятность ошибки р = (Ц+1)∙10^–3 = 4∙10^–3.

На рис. 11 по вертикальной оси отложена вероятность р в логарифмическом масштабе. Отложим по оси р значение р = 4∙10^–3.

lg p = lg (4∙10^–3) = –3 + lg 4 = –3 + 0,6 = –2,4.

Такая вероятность ошибки может быть получена:

для ДФМ при h₀ = 1,87; h₀² = 3,49;

для ДЧМ при h₀ = 2,63; h₀² = 6,94;

для ДАМ при h₀ = 3,74; h₀² = 14.

С учетом погрешности определения h₀ можно сказать, что ДФМ выигрывает у ДЧМ два раза, а у ДАМ четыре раза по мощности передатчика.