2 Однофакторный дисперсионный анализ

Далее исследуем значимость влияния размера массива убывающих чисел на время его сортировки. Для этого с помощью исследуемой программы сформируем выборку при фиксированных значениях входного параметра (размер массива , и элементов) с многократным повторением ( раз). Фрагмент с результатами работы программы представлен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Фрагмент с результатами работы программы

Подробное описание вычисления требуемых статистических характеристик. Для проведения однофакторного дисперсионного анализа исходные данные были разделены на три группы, соответствующие различным уровням фактора (размер массива 10000, 20000 и 30000 элементов). По каждой группе были рассчитаны выборочные средние: .

И общее среднее по выборке .

Далее, согласно основному уравнению дисперсионного анализа, была вычислена факторная сумма квадратов (SS_факт), характеризующая рассеяние групповых средних относительно общего среднего. Она рассчитывалась как сумма квадратов отклонений групповых средних от общего среднего, умноженных на объем групп ( ). Остаточная сумма квадратов (SS_ост = 0,0004179) была получена суммированием квадратов отклонений каждого наблюдения от своей групповой средней и отражает вариацию внутри групп, вызванную случайными факторами.

Далее проверим статистическую гипотезу о значимости влияния фактора по критерию Фишера.

Вычислим расчетное значение критерия Фишера по формуле

Определим критическое значение критерия Фишера при уровне значимости по формуле

На рисунке 2.2 представлены подробности промежуточных вычислений.

Рисунок 2.2 – Расчеты для критерия Фишера

Вывод результат согласуется с теорией – рост входных данных увеличивает время работы алгоритма сортировки. Ручной расчет, основанный на формулах из лекций, и машинный расчет в Excel дали абсолютно одинаковые числовые значения.

3 Корреляционный и регрессионный анализ

Далее исследуем силу и форму зависимости времени сортировки массива убывающих чисел от его размера. Для этого с помощью исследуемой программы сформируем выборку при фиксированных значениях входного параметра (размер массива ) без повторений ( раз). Фрагмент с результатами работы программы представлен на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Фрагмент с результатами работы программы

Подробное описание вычисления требуемых статистических характеристик. Для вычисления требуемых статистических характеристик по данным выборки были рассчитаны следующие суммы: x_i, y_i, x²_i, y²_i, x_iy_i, x³_i, x⁴_i, x²_iy_i, необходимые для применения метода наименьших квадратов.

Вычислим значение выборочного коэффициента линейной корреляции по формуле

Вывод о степени линейной взаимосвязи между фактором (размер массива) и целевой функцией (время сортировки массива). Рассчитанное значение выборочного коэффициента линейной корреляции Пирсона . Так как полученное значение очень близко к 1, это подтверждает о том, что сильная прямая линейная связь между размером массива и временем его сортировки.

Сравнение полученного результата с результатами применения встроенного инструмента «Корреляция» из надстройки «Анализ данных» в «Microsoft Excel» полностью совпали.

На рисунке 3.2 представлен график корреляционного поля для полученной выборки.

Рисунок 3.2 – График корреляционного поля

Вывод наблюдается устойчивая положительная зависимость между размером массива и временем сортировки: с увеличением размера массива время выполнения алгоритма закономерно возрастает.

Вычислим коэффициенты выборочного уравнения регрессии вида

где, основываясь на результатах применения метода наименьших квадратов,

В результате получаем

На рисунке 3.3 представлены подробности промежуточных вычислений.

Рисунок 3.3 – Расчеты для уравнения регрессии вида

Вычислим коэффициенты выборочного уравнения регрессии вида

путем решения следующей системы линейных уравнений:

В результате получаем

На рисунке 3.4 представлены подробности промежуточных вычислений.

Рисунок 3.4 – Расчеты для уравнения регрессии вида

Добавим полученные линии регрессии на график корреляционного поля. На рисунке 3.5 представлен график корреляционного поля и полученные уравнения регрессии. Вывод Взаимосвязь между фактором и целевой функцией носит нелинейный характер. Для более точного прогнозирования 16 времени сортировки предпочтительно использовать уравнение полиномиальной (квадратичной) регрессии.

Рисунок 3.5 – График корреляционного поля и линии регрессии

Сравнение полученного результата с результатами применения встроенного инструмента «Добавить линию тренда» в «Microsoft Excel» полностью совпали.