Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Курсовой проект 5 кафедра (спецы 4 курс) / 148_Термодинамика_учебное_пособие_МИФИ
.pdf
111
Глава 7. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
7.1. Процессы равновесные и неравновесные
Равновесный процесс – это последовательность равновесных
состояний, проходимых системой. Очевидно, что равновесный
процесс может осуществляться с бесконечно малой скоростью. Но
реальные процессы происходят с конечной скоростью и могут
только в меньшей или большей степени приближаться к идеализи-
рованному равновесному процессу. Поэтому для учета этого факта
можно ввести понятие практически равновесного процесса, в кот
о-
ром текущее значение каждого параметра Т мало отличается от
равновесного Т
р
:
()
р
/1TT T−<<
. (7.1)
Для таких практически равновесных процессов можно доста-
точно обосновано использовать соотношения равновесной термо-
динамики.
Чтобы конкретизировать вид критерия (7.1), рассмотрим пример
установления теплового равновесия в изолированной системе двух
тел (рис. 7.1).
Пусть в начальный момент време-
ни температура первого тела Т
1
, а вто-
рого – Т
2
, Т
1
> Т
2
. В результате тепло-
обмена за время dt от первого тела ко
второму передается количество тепло-
ты
(
)
12 1 2
dQkFTT=−
, (7.2)
где F – площадь поверхности тепло-
обмена, k – коэффициент теплопередачи. Поскольку система изо-
лированная, то
12
UU U=+ =
const . Так как в рассматриваемом
процессе работа не производится, то
112 2
dd dUQ U−= =
. (7.3)
Из (7.2), (7.3) следует система уравнений, описывающих изме-
нение температуры тел во времени:
dQ
12
T
2
T
1
Рис. 7.1
112
112
1
d
d τ
TTT
t
−
=−
,
212
2
d
τ
TTT
dt
−
=
. (7.4)
Здесь
11
τ /ckF=
,
22
τ /ckF=
– постоянные времени тел;
111
d/dcUT=
,
222
d/dcUT=
– теплоемкости тел.
Для разности температур тел
21
θ TT −=
из системы (7.4) следует
dθθ
d τt
=−
, (7.5)
где
()
1
21
1/τ1/ττ
−
+= – постоянная времени или период релаксации
системы к равновесному состоянию.
Энтропия системы обладает свойством аддитивности
12
SS S=+
, (7.6)
и для скорости роста энтропии системы можно получить следую-
щее выражение:
()
2
12
12
d
d
SkFTT
tTT
−
=
. (7.7)
Из уравнения (7.7) следует, что энтропия системы возрастает в
процессе теплообмена
(d 0)S >
и скорость ее роста тем выше, чем
больше разность температуры тел
()
21
TT −
.
Если выполняется условие
21
cc>> , то температура второго тела
остается практически постоянной, а время релаксации системы
равно
1
ττ =
. Тогда из уравнения (7.6) получим
1
12
d
τ
d
T
TT
t
−=−
. (7.8)
Заменив в (7.9)
Т
1
на Т, а Т
2
на Т
р
и подставив его правую часть в
(7.1), получим окончательный вид критерия практически равновес-
ного процесса:
1
1d
τ 1
d
T
Tt
<<
. (7.9)
Из критерия (7.9) следует, что по мере уменьшения относитель-
ной скорости изменения параметров и периода релаксации системы
τ, неравновесный процесс будет приближаться к равновесному или
практически равновесному термодинамическому процессу. Еще
один важный вывод, который следует из этого анализа, заключает-
113
ся в том, что малая подсистема (имеющая малый период релакса-
ции) в составе большой термодинамической системы обладает
свойством локального термодинамического равновесия.
7.2. Основы линейной неравновесной
термодинамики
Если отклонение системы от состояния равновесия имеет ко-
нечную величину, то в ней возникают необратимые явления пере-
носа. Причем, как показывает опыт, при малых отклонениях тер-
модинамических систем от состояния равновесия проявляются ли-
нейные законы переноса градиентного типа.
Для системы неоднородной по температуре
Т таковым является
закон Фурье
λ gradqT=−
, (7.10)
где
q – тепловой поток, λ – коэффициент теплопроводности.
Для системы, в которой имеется перепад электрического потен-
циала
ϕ, это закон Ома
σ grad φj =−
, (7.11)
где
j – поток электрического заряда (плотность тока), σ – электро-
проводность.
В системе неоднородной по концентрации некоторого компо-
нента в соответствии с законом Фика возникает поток массы
J
i
grad
iik i
J
DC=− , (7.12)
где
D
ik
– коэффициент диффузии i-го компонента относительно
k-го.
Исходя из соотношений (7.10–7.12) можно заключить, что при
малых отклонениях от равновесия имеется линейная связь между
причиной (обобщенной движущей силой) и следствием (обобщен-
ным потоком) необратимого процесса. Впервые на наличие связи
между обобщенными потоками и силами в подобных явлениях пе-
реноса обратил внимание Л. Онсагер (1931). Он сформулировал
законы, положившие начало построению термоди
намической тео-
рии линейных неравновесных процессов.
114
I. Линейный закон
Обозначая через
Х обобщенную силу, а через J – обобщенный
поток, можно записать
α
J
X=
. (7.13)
Но в системах, наряду с прямыми процессами переноса (см.
7.10–7.12), возникают и сопряженные с ними процессы. Например,
при существовании градиента температуры кроме переноса тепло-
ты может происходить и перенос массы. Такое явление называется
термической диффузией. Другой пример: при взаимодействии теп-
лопроводности и электропроводности в цепи, составленной из двух
различных проводников, спаи которы
х поддерживаются при раз-
личных температурах, наблюдаются два термоэлектрических эф-
фекта – Зеебека и Пельтье. Эффект Зеебека проявляется в возник-
новении в цепи термоэдс, а эффект Пельтье – в поглощении или
выделении теплоты в месте соединения проводников.
Тогда в общем случае можно записать
n уравнений
1
n
iikk
k
J
Xα
=
=
∑
. (7.14)
В соотношении (7.14) предполагается, что поток
J
i
может быть
вызван всеми силами
Х
k
. Коэффициенты α
ik
в этом линейном за-
коне называются кинетическими коэффициентами. Причем коэф-
фициент
α
ii
– определяет прямые явления переноса, а α
ik
– пере-
крестные процессы.
II. Второй закон подразумевает, что матрица коэффициентов
является симметричной:
αα
ik ki
= . (7.15)
Соотношение (7.15) называется соотношением взаимности. Фи-
зический смысл (7.15) заключается в том, что влияние силы
Х
i
на
поток
J
k
такое же, как и влияние силы Х
k
на поток J
i
. Так, напри-
мер, в случае сложного процесса переноса, в котором участвует
теплопроводность совместно с диффузией, коэффициент, связан-
ный с переносом теплоты под действием градиента концентрации,
будет равен коэффициенту, который связан с переносом вещества
под действием градиента температуры.
115
III. Третий закон. В соответствии с третьим законом вводится
выражение для скорости производства энтропии в неравновесных
процессах
111
d
α
d
nnn
ii ik ki
iik
S
J
XXX
t
===
==
∑∑∑
. (7.16)
Согласно предложенному Онсагером подходу конкретный вид
выражений для потоков
J
i
и сил Х
i
может быть определен из анали-
за соотношения (7.16).
IV. Принцип минимума производства энтропии
Еще одним важным результатом развития теории термодинами-
ки необратимых процессов является установление того факта, что
при стационарном необратимом процессе производство энтропии
при данных внешних условиях, которые препятствуют достижению
системой равновесного состояния, имеет минимальное значение
(И. Пригожин, 1947 г.).
7.3. Применение законов линейной
неравновесной термодинамики
к анализу процессов теплопроводности
Рассмотрим материал с изотропными свойствами, в котором
вдоль оси
x имеется градиент температуры. Выделим вдоль на-
правления
x элементарный цилиндрический объем длиной dx с
единичной площадью поперечного сечения. Изменение внутренней
энергии элемента должно равняться разности входящего и выхо-
дящего тепловых потоков в единицу времени:
ρ d
du
dx q
dt
=−
. (7.17)
Поскольку механической работы не совершается, то основное
уравнение термодинамики в этом случае примет вид
dduTS=
. (7.18)
Подставляя в (7.18) d
u из (7.17), запишем (7.18) в виде
d1d
ρ
dd
Sq
tTx
=−
. (7.19)
116
Так как
2
d1dd
ddd
qqqT
x
TTx x
T
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
, (7.20)
то окончательно для скорости производства энтропии получим
2
dd d
ρ
dd d
SqqT
txT x
T
⎛⎞
=− −
⎜⎟
⎝⎠
. (7.21)
Первое слагаемое в этом выражении соответствует потоку эн-
тропии, поступающему в выделенный элемент извне, а второе –
определяет скорость производства энтропии в объеме за счет необ-
ратимости процесса переноса теплоты
2
d
grad
d
Sq
T
t
T
=−
. (7.22)
Согласно третьему закону Онсагера выражение для производст-
ва энтропии можно представить в виде
d
d
gg
S
J
X
t
=⋅
. (7.23)
Здесь
g
J
q=
,
2
grad
g
T
X
T
=−
. Тогда связь между обобщенным
термодинамическим потоком и силой примет следующий вид:
2
gradqT
T
α
=−
, (7.24)
где
2
α
T
– коэффициент теплопроводности.
Пример
Два теплоизолированных сосуда сообщаются между собой через
пористую перегородку с клапаном. В первом сосуде, имеющем
объем V
1
, содержится N частиц газа. Второй сосуд, занимающий
объем V
2
, газа не содержит. В некоторый момент времени клапан
открывается, и газ необратимо перетекает из первого сосуда во
второй. Считая газ идеальным, определить, на сколько увеличилась
энтропия системы, состоящей из этих двух сосудов, после наступ-
ления термодинамического равновесия.
Решение
Представим клапан в виде пористой теплоизолирующей перего-
родки, при течении через которую элементарная работа расшире-
ния в расчете на одну частицу (-vdp) целиком переходит в теплоту
117
трения dq
тр
. При этом энтропия в расчете на одну частицу возрас-
тает необратимо на величину ds = q
тр
/T = −vdp/T.
Поскольку для идеального газа p = nk
Б
T (v = 1/n), а температура
идеального газа при адиабатическом дросселировании остается по-
стоянной, то ds =
−k
Б
dn/n. Тогда изменение энтропии при переме-
щении одной частицы из сосуда 1 в сосуд 2 составляет s
2
– s
1
=
=
−k
Б
ln(n
2
/n
1
).
Путем интегрирования получим приращение энтропии системы:
1
1
Б 2 Б 11 2 2
2
12
Б 111222Б
1
/0
ln (ln ln )
ln ln ln ,
nn
NV
n
S k dN k n dN n dN
n
VV
kV ndn V ndn kN
V
Δ =− = − + =
⎧⎫
+
⎪⎪
=− + =
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
∫∫
∫∫
где n = N/(V
1
+ V
2
) – концентрация газа в конечном состоянии.
Задачи
7.1. Соленоид с ферромагнитным сердечником подключается к
источнику постоянного тока с электродвижущей силой E (рис. 7.2):
а) найти выражение для работы, совершаемой источником тока
по намагничиванию сердечника;
б) найти работу, совершаемую источником тока за цикл пере-
магничивания сердечника, полагая, что известна гистерезисная
кривая перемагничивания материала сердечника. На что затрачива-
ется работа?
7.2. Плоский конденсатор с диэлектриком, имеющим диэлек-
трическую проницаемость
ε между обкладками, подключен к ис-
точнику постоянного тока. Показать, что работа электризации еди-
ницы объема диэлектрика равна
0
P
lEdP=
∫
G
G
,
где
E
G
– вектор напряженности электрического поля между об-
кладками конденсатора,
P
G
– вектор поляризации диэлектрика
(рис. 7.3).
118
7.3. Согласно одной из моделей деформирования твердого тела
напряжение растяжения
σ связано с относительным удлинением δ
соотношением
max
max
πδ
σσ sin
2 δ
⎛
⎞
=⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
,
где
σ
max
– предел прочности материала; δ
max
– максимальное отно-
сительное удлинение при разрушении.
Установить связь между модулем упругости материала и преде-
лом прочности. Найти выражение для работы внешних сил, затра-
чиваемой на разрушение тела. Полагая процесс разрушения адиа-
батическим, оцените повышение температуры тела при разруше-
нии.
7.4. В термоэлектрической цепи, состоящей из проводников А и
Б (рис. 7.4,а), действуют три термоэлектрических эффекта:
1) эффект Зеебека
АБ 12
εα();TT=−
2) эффект Пельтье
112 2
(); ( ),QIП TQIП T==
3) эффект Томсона
АА ББ
τ ; τ ,dQ I dT dQ I dT==
где
α
АБ
– коэффициент термоэдс цепи; П – коэффициент Пельтье;
τ
А
и τ
Б
– коэффициенты Томсона проводников А и Б; ε – термоэдс в
цепи; Т
1
и Т
2
– температуры холодного и горячего спаев.
а) Используя первое и второе начала термодинамики, для эле-
ментарного цикла (рис. 7.4,б) в интервале температур (T; T + dT)
h
E
E
G
,
ε
,D
G
Рис. 7.3
l, n витков
S
Рис. 7.2
Се
рд
ечник
M
HB
G
G
,
Е
I
119
показать, что три рассмотренных термоэлектрических коэффици-
ента связаны между собой соотношениями:
АБ
АБ Б А
П d α
α ; ττ .
d
T
TT
=−=
б) Выразить термоэлектрические коэффициенты через энтропию
электронного газа в проводниках А и Б.
7.5. В теплообменнике элементарное количество теплоты dQ
передается от источника тепла с температурой T
1
к рабочему телу,
имеющему температуру Т. Покажите, что теряемая при этом эле-
ментарная работа dL
пот
равна dL
пот
= T
0
dS
н
, где T
0
– температура
окружающей среды, dS
н
– необратимое возрастание энтропии при
теплообмене с конечной разностью температур.
7.6. Для передачи потока тепла
dQ
в теплообменнике с ко-
нечной разностью температур
()TT
′
>
необходима масса материа-
ла
)(/)ρδ(d TTkQdm −
′
=
, где ρ и δ – плотность материала и тол-
щина стенки труб теплообменника; k – коэффициент теплопереда-
чи. Суммарные затраты на материал поверхности теплообмена и
потерю работы вследствие теплообмена равны
мпотээ
dЗ dd dmC P tС=+
(С
м
и С
э
– стоимость материала и энергии, t
э
– время эксплуатации
теплообменника). Покажите, что существует оптимальный перепад
температуры θ = T
′ – T, при котором суммарные затраты мини-
мальны.
Рис. 7.4
б)
T + dT
T
s
Б
s
А
s
T
а
)
T
1
Q
А
Q
Б
Q
1
T
2
Б
A
I
R
Q
2
120
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новиков И.И. Термодинамика. – 2-е изд., перераб. и доп. −
СПб.: Лань, 2009.
2. Базаров И.П. Термодинамика. – М.: Высшая школа, 1991.
3. Кириллин В.А., Сычев В.В., Шейндлин А.Е. Техническая
термодинамика. – 5-е изд., перераб. и доп. − М.: Издательский дом
МЭИ, 2008.
4. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. –
М.: Мир, 200
2.
5. Кокорев Л.С., Соболев В.П. Сборник задач по термодинами-
ке ЯЭУ. – М.: МИФИ, 1988.
6. Кубо Р. Термодинамика/Пер. с англ. – М.: Мир, 1970.
7. Кокорев Л.С., Харитонов В.В. Теплогидравлические расчеты
и оптимизация ядерных энергетических установок: Учебное посо-
бие для вузов / Под ред. В.И. Субботина. – М.: Энергоатомиздат,
1986.
8. MathCAD – http://www.ptc.com/products/mathcad/
9. Mathematica – http//www/wolfram.com/solutions/education/stu
dents/
10. Александров А.А., Григорьев Б.А. Таблицы теплофизиче-
ских свойств воды и водяного пара. – М.: Издательский дом МЭИ,
2006.
11. Электронные таблицы WaterSteamPro – www.wsp.ru.
Соседние файлы в папке Курсовой проект 5 кафедра (спецы 4 курс)