МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА

ОТЧЁТ по практическому занятию №1

«Оценивание вероятности достижения целей функционирования киберфизической системы с помощью её имитационной модели»

Вариант: 7

Выполнил: _________________________

Проверил: _________________________

1. Цель работы

Получить практические навыки оценивания вероятности того, что случайная величина (стоимость функционирования киберфизической системы, КФС) не превысит заданное требование P[S ≤ S_TP], с помощью результатов имитационного моделирования.

2. Исходные данные

Имеются два набора данных, полученных в результате 1000 прогонов имитационной модели КФС:

Файл	Требование S_TP	Закон распределения
задание17.xlsx	200 000 у.е.	нормальный (по условию)
задание27.xlsx	2 000 000 у.е.	неизвестен (восстанавливаем по выборке)

Объём каждой выборки: n = 1000 значений стоимости S.

3. Задание 1. Нормальный закон распределения

3.1. Постановка задачи

По условию варианта 7 закон распределения S — нормальный. Требуется найти вероятность P[S ≤ 200 000].

3.2. Теоретические сведения

Нормальный закон (закон Гаусса) описывается двумя параметрами: μ — математическое ожидание (среднее значение) и σ — среднеквадратическое отклонение. Плотность вероятности имеет вид «колокола»:

f(S) = (1 / (σ·√(2π))) · exp( −(S − μ)² / (2σ²) )

Вероятность P[S ≤ S_TP] — это площадь под кривой плотности от −∞ до S_TP, то есть значение функции распределения Φ(S) в точке S_TP.

3.3. Методика расчёта

1) Загрузили выборку из файла задание17.xlsx (1000 значений).

2) Оценили параметры нормального закона методом моментов:

μ̂ = (1/n) · Σ Sᵢ

σ̂ = √( (1/(n−1)) · Σ (Sᵢ − μ̂)² )

3) Вычислили вероятность через функцию распределения нормального закона:

P[S ≤ S_TP] = Φ( (S_TP − μ̂) / σ̂ )

4) Построили график: гистограмма выборки, теоретическая нормальная плотность и вертикальная линия S_TP.

3.4. Результаты

Параметр	Значение
Оценка среднего μ̂	151720.24 у.е.
Оценка СКО σ̂	22790.77 у.е.
Требование S_TP	200 000 у.е.
Вероятность P[S ≤ S_TP]	0.9829

Рисунок 1 — Гистограмма выборки и нормальная плотность (Задание 1)

3.5. Интерпретация

Вероятность непревышения требования равна 0.9829 то есть с вероятностью ≈ 98.3 % стоимость функционирования КФС не превысит 200 000 у.е. На графике видно что почти вся площадь под нормальной кривой лежит левее пунктирной линии S_TP.

4. Задание 2. Непараметрические методы

4.1. Постановка задачи

Закон распределения второго набора данных неизвестен. Требуется: (1) восстановить плотность вероятности гистограммным методом и методом ядерной оценки плотности (KDE); (2) найти P[S ≤ S_TP] для каждого метода; (3) получить зависимость вероятности от ширины пропускания h при KDE.

4.2. Гистограммный метод

Число интервалов по правилу Стерджеса:

J = 1 + 3,322 · lg n

Ширина интервала: h = (S_max − S_min) / J

Нормировка в плотность: f = count / (n · h). Вероятность P[S ≤ S_TP] — сумма площадей столбцов до S_TP.

Параметр	Значение
Число интервалов J	11
Ширина интервала h	672536.05
Вероятность P_hist	0.2225

Рисунок 2 — Гистограммная оценка плотности (Задание 2)

4.3. Ядерная оценка плотности (KDE)

В каждой точке данных строим гауссово ядро шириной h, суммируем и нормируем:

f(S) = (1 / (n · h · √(2π))) · Σ exp( −(S − Sᵢ)² / (2h²) )

Ширина h по правилу Сильвермана: h = 1,06 · σ · n^(−1/5)

Вероятность — численное интегрирование методом трапеций до S_TP.

Параметр	Значение
Ширина пропускания h_kde	311218.71
Вероятность P_kernel	0.2184

Рисунок 3 — Ядерная оценка плотности (KDE)

4.4. Зависимость вероятности от ширины пропускания h

Задавали h в диапазоне от 0,1·h_kde до 5·h_kde (50 точек), для каждого строили KDE и считали вероятность. График показывает классический эффект смещения-разброса: при слишком маленьком h плотность «изрезана», при слишком большом — «размыта»; максимум достигается где-то посередине.

Рисунок 4 — Зависимость P[S ≤ S_TP] от ширины пропускания h

4.5. Сравнение результатов

Метод	P[S ≤ S_TP]
Гистограмма	0.2225
KDE (Сильверман)	0.2184

Значения близки (разница ≈ 0,004), что говорит о согласованности методов.

5. Общие выводы

1) В задании 1 показано что для нормального закона достаточно оценить два параметра (μ и σ) чтобы найти вероятность непревышения требования. Для порога 200 000 у.е. получено P = 0.9829.

2) В задании 2 при неизвестном законе распределения работоспособными оказались оба непараметрических метода: гистограммный и KDE. Полученные вероятности близки, что подтверждает корректность расчётов.

3) Зависимость P(h) имеет ярко выраженный максимум, значит выбор ширины пропускания влияет на результат. Правило Сильвермана даёт разумную, но не оптимальную оценку.

4) Все вычисления корректны и согласуются с теорией: результаты двух независимых методов отличаются менее чем на 0,005.

6. Использованные инструменты

Python 3.14; библиотеки: numpy, pandas, scipy.stats, matplotlib, openpyxl, python-docx.