6 Порівняння кількості джерел
У таблиці 3 порівняно мінімальні транспортні витрати та повні витрати за прийнятого F = 100. Для кожного p джерела та призначення оптимізуються заново. Рядок p = 1 має джерело приблизно в точці (12,043314; 8,439330).
Таблиця 3 - Порівняння варіантів
p |
Tₚ, ум. од./добу |
Fp, ум. од./добу |
Jₚ, ум. од./добу |
1 |
1013,145288 |
100 |
1113,145288 |
2 |
220,000000 |
200 |
420,000000 |
3 |
180,000000 |
300 |
480,000000 |
4 |
140,000000 |
400 |
540,000000 |
5 |
110,000000 |
500 |
610,000000 |
6 |
80,000000 |
600 |
680,000000 |
7 |
60,000000 |
700 |
760,000000 |
8 |
40,000000 |
800 |
840,000000 |
9 |
20,000000 |
900 |
920,000000 |
10 |
0,000000 |
1000 |
1000,000000 |
За умови p ≤ 2 мінімум транспортних витрат досягається при p = 2: 220 < 1013,145288. Якщо кількість визначається за повними витратами, результат також p = 2, оскільки J₂ = 220 + 2 · 100 = 420. Найближчий конкурент за повними витратами - три джерела зі значенням J₃ = 480. Додаткове третє джерело економить лише 40 на перевезенні, але потребує 100 на утримання.
Рисунок 2 - Транспортні та повні добові витрати залежно від кількості джерел
7 Висновок і дані для перевірки
Для заданих десяти клієнтів оптимальне розміщення за обмеження p ≤ 2: S₁ = (2; 3) і S₂ = (14; 9). Джерело S₁ постачає 70 т/добу клієнтам 1–5, а S₂ - 90 т/добу клієнтам 6–10. Весь попит 160 т/добу задоволено. Зважена сума відстаней становить 220 т·км/добу, звичайна сума - 16 км. За тарифу 1 ум. од./(т·км) транспортні витрати дорівнюють 220 ум. од./добу.
Якщо кількість джерел обирається за моделлю з F = 100 ум. од./добу, потрібно відкрити ті самі два джерела. Мінімальні повні витрати становлять 420 ум. од./добу. У початковій постановці без обмеження p і без плати за джерела мінімум транспортних витрат дорівнює нулю при десяти джерелах; ці постановки потрібно розрізняти.
Вибір двох джерел не залежить тільки від одного довільно обраного значення F. Із таблиці 3 випливає, що при c = 1 два джерела є строго кращими за будь-яку іншу кількість за умови 40 < F < 793,145288. Нижня межа випливає з порівняння з трьома та чотирма джерелами, верхня - з одним. При F = 40 варіанти p = 2, 3, 4 мають однакові витрати 300.
Для перевірки достатньо взяти координати й попит із таблиці 1, координати джерел із розділу 3 та підставити їх у формули (1)–(2). Файл clients.csv містить ті самі вихідні дані, solve.py відтворює оптимізацію, results.json містить координати й групи для кожної кількості джерел. Обчислення виконуються в Python із пакетами NumPy та SciPy.
Використані джерела
1. Church R. L., Drezner Z., Plastria F., Tamir A. Reviewing extensions and solution methods of the planar Weber single facility location problem. Computers & Operations Research. 2025. Vol. 173. Article 106825. DOI: 10.1016/j.cor.2024.106825. URL: https://doi.org/10.1016/j.cor.2024.106825 (дата звернення: 07.10.2026).
2. Torres G. A. A Weiszfeld-like algorithm for a Weber location problem constrained to a closed and convex set. arXiv:1204.1087. 2012; редакція від 15.03.2013. DOI: 10.48550/arXiv.1204.1087. URL: https://arxiv.org/abs/1204.1087 (дата звернення: 07.10.2026).
3. Carlsson J. G., Jia F. Continuous Facility Location with Backbone Network Costs. Transportation Science. 2015. Vol. 49, no. 3. P. 433–451. DOI: 10.1287/trsc.2013.0511. URL: https://doi.org/10.1287/trsc.2013.0511 (дата звернення: 07.10.2026).