Узагальнена задача Вебера
Розміщення джерел продукту для задоволення попиту десяти клієнтів
1 Вихідні дані та умови прикладу
Потрібно визначити координати джерел продукту та розподілити між ними десять клієнтів. Критерій перевезення - сума евклідових відстаней, зважених на попит. Така цільова функція відповідає моделі Вебера [1]. Наведені нижче координати та попит є спеціально заданими навчальними даними, а не статистикою підприємства.
Таблиця 1 - Координати та попит клієнтів
Клієнт i |
aᵢ, км |
bᵢ, км |
qᵢ, т/добу |
1 |
0 |
3 |
10 |
2 |
4 |
3 |
10 |
3 |
2 |
1 |
15 |
4 |
2 |
5 |
15 |
5 |
2 |
3 |
20 |
6 |
12 |
9 |
20 |
7 |
16 |
9 |
20 |
8 |
14 |
7 |
10 |
9 |
14 |
11 |
10 |
10 |
14 |
9 |
30 |
Разом |
- |
- |
160 |
Координати задано в одній прямокутній системі; одна одиниця координат дорівнює 1 км. Відстані вимірюються по прямій. Дорожня мережа, зворотні рейси, час доставки та обмеження пропускної здатності в цьому прикладі не враховуються.
Усі джерела можуть забезпечити необхідний попит. Тариф однаковий: c = 1 ум. грош. од./(т·км). Увесь попит кожного клієнта постачається з одного джерела. За необмеженої потужності й однакового тарифу поділ попиту між джерелами не зменшить витрати: достатньо обрати найближче джерело.
2 Математична модель і вибір кількості джерел
Нехай Aᵢ = (aᵢ; bᵢ) - координати клієнта, qᵢ > 0 - його добовий попит, Sⱼ = (xⱼ; yⱼ) - координати джерела, p - кількість джерел. Позначимо через zᵢⱼ змінну, яка дорівнює 1, якщо клієнт i обслуговується джерелом j, і 0 в іншому разі.
(1)
(2)
(3)
Мінімізація у формулі (2) виконується за координатами всіх джерел і змінними призначення. Для фіксованих координат кожного клієнта можна приєднати до найближчого джерела. Еквівалентний запис транспортного критерію:
(4)
Якщо кількість джерел не обмежена і їх відкриття нічого не коштує, задача має простий розв’язок: p = 10, Sᵢ = Aᵢ. Тоді всі відстані дорівнюють нулю, T₁₀ = 0. Менше ніж десять джерел не дає нульового значення, оскільки всі клієнти мають різні координати й додатний попит. Тому лише з наведеного транспортного критерію не можна обґрунтовано отримати висновок про необхідність саме двох джерел.
Далі розглянуто два коректні варіанти постановки. У першому допускається не більше двох джерел: p ≤ 2, і мінімізуються тільки транспортні витрати. У другому p обирається з чисел 1, …, 10, але враховується однакова добова вартість утримання кожного відкритого джерела F. Фіксовані витрати є окремим компонентом моделей розміщення [3].
(5)
Для другого варіанта додатково прийнято F = 100 ум. грош. од./добу на одне джерело. Це умовний параметр прикладу, якого немає у вихідній умові керівника. Його введено явно, щоб кількість джерел визначалася оптимізацією. Це добова приведена вартість, тому її можна додавати до добових транспортних витрат.