2. Решение задачи m на n (4 на 4) методом итераций Брауна-Робинсона
Для реализации этого метода была написана программа, которая отслеживает и подсчитывает, сколько раз каждый игрок выбрал ту или иную стратегию. Для каждой итерации выводится подробная таблица, которая показывает:
Текущий ход (номер итерации)
Выбор стратегии игроком А и игроком Б
Текущую усредненную цену игры
Таблица итераций представлена на Рисунке 14.
Рисунок 14. Таблица итераций метода Робинсона-Брауна
После чего были найдены смешанные стратегии игроков и цена игры. Результат представлен на Рисунке 15.
Рисунок 15. Полученные значения
Значения мало отличаются друг от друга при большом количестве итераций.
3. Бесконечные антагонистические игры
Вариант 4
Фигура
описывается функцией:
Для
построения графика функции в полярных
координатах
нужно
преобразовать ее в декартовы координаты:
Центр масс вычислим по формуле:
Где
– элемент длины дуги.
Полученная фигура изображена на Рисунке 16.
Рисунок 16. Полученная фигура
Суть игры заключается в том, что два игрока, каждый из которых находится в своей области (S1 и S2), одновременно выбирают свою позицию. Цель первого игрока – увеличить расстояние между собой и вторым игроком, а цель второго игрока – минимизировать его. Выигрыш первого игрока равен евклидову расстоянию между ними.
3.1. Случай 1 – центр фигуры S1 находится внутри круга S2
Для S1 сначала ищем все минимальные расстояния на фигуре до круга S2, затем выбираем максимальное из них:
Обратный алгоритм совершается для игрока S2 (ищем минимакс).
Перебрав все точки, программа отрисовывает графики фигур. Графики смотри на Рисунке 17 и 18.
Рисунок
17. Выбор случайной точки
и
Рисунок 18. Максимин и минимакс расстояний между S1 и S2
3.2. Случай 2 – центр масс фигуры S1 находится за пределами круга S2
Повторим тот же алгоритм, что и для прошлого пункта. Построенные графики смотри на Рисунке 19 и 20.
Рисунок 19. Выбор случайной точки и
Рисунок 20. Максимин и минимакс расстояний между S1 и S2
Заметим, что в таком случае получилось так, что минимакс и максимин совпали. Это значит, что найдена седловая точка для этой игры, т.е. найдена оптимальная стратегия приближения/удаления.
Вывод
В ходе лабораторной работы были изучены и применены методы решения антагонистических игр. Для матричных игр конечного размера использовались графические методы и линейное программирование. Метод Брауна-Робинсона продемонстрировал возможность приближенного решения итерационным путем. Для бесконечной антагонистической игры на примере задачи пространственного преследования был реализован геометрический подход к решению.
Приложение А
Код программы: tpr_lab1.ipynb