Выполнение работы
1.1. Игра 2 на N (2 на 7)
Для начала необходимо написать код для генерации матрицы без седловой точки. Сначала программа генерирует случайную матрицу, заполняя ее числами от 0 до 5, размером 2 на 7 и проверяет ее на наличие седловой точки. Если седловая точка есть – матрица генерируется заново. Сгенерированная матрица на Рисунке 1.
Рисунок 1. Сгенерированная матрица
По рисунку видно, что минимакс и максимин не совпадают, следовательно седловой точки нет.
Далее, программа проводит исключение доминируемых стратегий для обоих игроков. Результат выполнения смотри на Рисунке 2.
Рисунок 2. Матрица после применения принципа доминирования
Были удалены столбцы В3, В4 и В7.
После упрощения оставшаяся матрица анализируется графически. Программа строит график, где на оси X откладывается вероятность p (выбор первой стратегии игрока A), а на оси Y – ожидаемый выигрыш игрока А. Каждая стратегия игрока B изображается как отдельная прямая линия на графике. Результат построения представлен на Рисунке 3.
Рисунок 3. Графическое решение
Оптимальное решение для игрока A находится на нижней огибающей это самая высокая точка на нижней границе всех линий. Эта точка представляет максимальный гарантированный выигрыш для игрока A. Оптимальная стратегия игрока А – это то значение p, которое соответствует этой точке.
Далее код находит активные стратегии для игры – те прямые, которые пересекаются в точке оптимума. Затем решаем аналитически с использованием стандартных формул. Вывод программы на Рисунке 4.
Рисунок 4. Аналитическое решение
Значения
между методами совпали:
.
1.2. Игра м на 2 (7 на 2)
Аналогично предыдущему пункту, программа генерирует рандомную матрицу, проверяет на седловую точку и в случае необходимости генерирует новую, пока не получит матрицу без седловой точки. Далее исключает доминируемые строки, после чего переходит к графическому решению. Для этого строится график аналогично игре 2xN, только для игрока Б и выделяется не нижняя, а верхняя огибающая и на ней находится точка оптимума с наименьшей ординатой (минимакс). После создается матрица с активными стратегиями игроков и решается аналитически аналогично предыдущему пункту. Результат выполнения пункта представлен на Рисунках 5, 6, 7.
Рисунок 5. Сгенерированная матрица
По рисунку видно, что минимакс и максимин не совпадают, следовательно седловой точки нет.
Рисунок 6. Матрица после применения принципа доминирования
Рисунок 7. Графическое решение
Рисунок 8. Аналитическое решение
Значения
между методами совпали:
.
1.3. Игра m на n (4 на 4)
Так
как игрок А стремится максимизировать
свой гарантированный выигрыш, что в
терминах ЛП сводится к минимизации
некоторой целевой функции. Это приводит
к задаче
при условиях:
Введем
новые переменные:
.
Задача преобразуется к виду
,
при условиях:
Приведем формулировку задачи для игрока B.
Игрок
B стремится минимизировать свой
максимальный проигрыш. Это приводит к
задаче
при условиях:
Преобразуем к стандартной форме ЛП для игрока B.
Введем
новые переменные
.
Задача преобразуется к виду
,
при условиях:
Решая двойственные задачи ЛП, получаем:
Оптимальные стратегии находятся по формулам:
где
– цена игры.
Сгенерированная матрица представлена на Рисунке 9.
Рисунок 9. Сгенерированная матрица
Седловой точки нет. Все элементы матрицы положительны. Сдвиг не требуется.
Для дальнейшего решения была написана функция probabilities_test, которая применяет метод симплексов для решения данной задачи. Система неравенств и ее решение для первого игрока представлены на Рисунках 10 и 11.
Рисунок 10. Система неравенств для 1 игрока
Рисунок 11. Решение системы
Система неравенств и ее решение для второго игрока представлены на Рисунках 12 и 13.
Рисунок 12. Система неравенств для 1 игрока
Рисунок 13. Решение системы