МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

Кафедра МО ЭВМ

отчет

по лабораторной работе №1

по дисциплине «Теория принятия решений»

Тема: Принятие решений в матричных играх

Студентка гр. 2383		Бараева Е. Н.
Преподаватель		Попова Е. В.

Санкт-Петербург

2025

Цель работы

Использование инструментальных средств для решения задач поддержки принятия решения, а также овладение навыками принятия решения на основе антагонистических игр.

Задание

1. Решить графически и аналитически следующие задачи:

• Игра 2 на N (2 на 7).

• Игра М на 2 (7 на 2).

• Игра M на N (4 на 4).

Для перечисленных игр сформировать платежные матрицы, не имеющие седловых точек. Последнюю задачу решить с помощью технических средств.

2. Для последней задачи (M на N (4 на 4)) применить метод итераций Брауна-Робинсона. Написать программу, сформировать таблицу. Количество итераций больше 15. Сделать выводы.

3. Бесконечные антагонистические игры.

   1. Для задачи преследования отобразить фигуры на плоскости.

   2. Рассмотреть два случая: центр масс фигуры S1 принадлежит фигуре S2 и центр масс фигуры S1 не принадлежит фигуре S2.

   3. Найти выигрыши и оптимальные стратегии.

Теоретическое положение

Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций. 

Игра – модель конфликтной ситуации. 

Игра с нулевой суммой, если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. 

Матричная игра – это игра с нулевой суммой, в которой задается выигрыш игрока 1 в виде матрицы. 

Игра называется конечной, если у каждого игрока существует конечное число возможных стратегий. 

Определение

Пара называется седловой точкой функции , если 

.

Антагонистическая игра задается набором .

Элементы называются стратегиями игроков 1 и 2 соответственно в игре , элементы декартового произведения – ситуациями, а функция – функцией выигрыша игрока 1. Выигрыш игрока 2 в ситуации полагается равным , поэтому функция называется функцией выигрыша самой игры , а игра – игрой с нулевой суммой.

Антагонистическая игра имеет решение, если имеет седловую точку. Если – седловая точка, то – решение игры, – значение игры.

Стратегия называется максиминной, если  .

Стратегия называется минимаксной, если  .

Лемма

В любой антагонистической игре справедливо  , где – нижняя цена игры, – верхняя цена игры.

Теорема

Для того, чтобы функция имела седловую точку, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство .

Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий. Каждая смешанная стратегия первого игрока полностью определяется вероятностями , с которыми первый игрок выбирает соответствующие чистые стратегии .

Средний выигрыш первого игрока в матричной игре с матрицей выражается в виде математического ожидания его выигрышей. 

Если игрок А применяет смешанную стратегию , а игрок В смешанную стратегию , то средний выигрыш игрока А определяется соотношением:

Формируя свою стратегию в антагонистической игре, игрок А в соответствии с принципом максимина должен выбрать такую стратегию, при которой минимально возможный выигрыш был бы максимален, т.е. такую стратегию, которая обеспечивает:

Для второго игрока необходимо, чтобы максимальный возможный проигрыш был бы минимален:

Основная теорема матричных игр

Для матричной игры с любой матрицей величины и существуют и равны между собой ( – цена игры): 

Определение

Те из чистых стратегий игроков А и В, которые входят в их оптимальные смешанные стратегии с вероятностями, не равными нулю, называются активными стратегиями.

Теорема об активных стратегиях

Если один из участников матричной игры , придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то это обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, равный цене игры, независимо от того, какие действия предпринимает другой игрок, если только он не выходит за пределы своих активных стратегий, причем число активных стратегий каждого игрока, входящих в их оптимальные смешанные стратегии, не превосходит , где .

Условия применения смешанных стратегий:

1. Игра без седловой точки

2. Игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями.

3. Игра повторяется многократно в сходных условиях 

4. При любом ходе ни один из игроков не информирован о стратегии другого игрока

5. Допускается усреднение результатов игр

Теорема

Решение матричной игры не изменится, если из платежной матрицы исключить строки и столбцы, соответствующие дублирующим и доминируемым стратегиям.

Упрощение матрицы происходит согласно правилам:

1. Если в платежной матрице игры все элементы строки (столбца) равны соответствующим элементам другой строки (столбца), то соответствующее этим строкам (столбцам) стратегии называются дублирующими и одна из них исключается из матрицы.

2. Если в платежной матрице игры все элементы некоторой строки, определяющей стратегию игрока А, не больше (меньше или некоторые равны) соответствующих элементов другой строки, то стратегия называется доминируемой (заведомо невыгодной) и исключается из матрицы. 

3. Если в платежной матрице игры все элементы некоторого столбца, определяющего стратегию игрока В не меньше (больше или некоторые равны) соответствующих элементов другого столбца, то стратегия называется доминируемой (заведомо невыгодной) и исключается из матрицы.