Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории информации в защите информации. Учебное пособие для академического бакалавриата
.pdf
2.6. Модели марковски зависимых букв алфавита, глубина зависимости
m
( )
s
wZ
m
vw
∑
w, v(w) — вероятность s-граммы w на первых s позициях
случайного текста.
Вероятности матрицы P удовлетворяют условиям:
1) p(a/w)≥0 для любого а∈Z
и любого слова w∈
m
s
Z ;
2) p(a/w)=0 ⇔ (s+1)-грамма (w,a) запретная;
3) p(0/w)+p(1/w)+...+p((m-1)/w)=1,
то есть строка матрицы P, «занумерованная словом w,
есть условное распределение вероятностей символов алфавита (при условии, что предыдущее слово длины s есть
s-грамма w.
Для вероятностей вектора v верно условие:
=1.
Обозначим подслова длины s случайного сообщения
,...,a
(a
0,a1
Вероятность случайного сообщения (a
) длины n при n>s:
n – 1
(i,s)
=(ai,a
w
i+1
,...,a
), i=0,1,…,n-s.
i+s–1
0,a1
,...,a
n–1
)
в данной модели равна:
P(a
0,a1
,...,a
) = v(w
n–1
×p(a
(0,s)
)×p(as/w
/w
n–1
(n–s–1,s)
(0,s)
).
)×p(a
s+1
/w
(1,s)
)×…
Модель марковски зависимых букв с глубиной за-
висимости s>1 учитывает все запретные k-граммы при
k≤s+1, то есть вероятность любого слова, содержащего
запретную k-грамму, равна 0. Однако не учитываются все
запретные k-граммы при k>s+1. Если, например, запретная 2s-грамма составлена из двух разрешенных s-грамм,
то вероятность сообщения, содержащего такую запретную 2s-грамму, может быть положительной.
Недостатки предыдущих моделей ДИОС, в том числе
и модели на основе простой однородной цепи Маркова,
состояли в присвоении положительной вероятности ряду
случайных последовательностей, содержащих запретные
— 31 —
Глава 2. Математические модели источников открытых сообщений
мультиграммы. Модель цепи Маркова с глубиной зависимости s>1 минимизирует этот недостаток тем существеннее, чем больше значение глубины зависимости s. Вместе
с тем, с ростом s модель становится более громоздкой
и менее практичной.
Если предельное (стационарное) распределение знаков алфавита не зависит от начального распределения
v(w), то такая цепь Маркова называется эргодичной.
Весьма широкий класс цепей Маркова являются эргодичными. Например, все цепи, у которых матрица P не содержит нулевых элементов.
2.7. Усложнение моделей.
Нестационарные модели
источников сообщений
Рассмотренные модели можно уточнять (и тем самым
усложнять) в направлении увеличения глубины зависимости вероятности очередной буквы текста от значений
нескольких предыдущих букв. Выделим два ряда моделей:
1) стационарный источник независимых s-грамм;
2) стационарный источник зависимых s-грамм, s>2.
В условиях моделей первого ряда всякое сообщение
является реализацией последовательности испытаний
в полиномиальной вероятностной схеме с числом исходов,
равным m
ные зависимости внутри каждой s-граммы, но игнорируют межсимвольные зависимости соседних s-грамм. Чем
больше s, тем, с одной стороны, точнее рассматриваемые
модели отражают свойства языков и ДИОС, и, с другой
стороны, тем они более громоздки и трудоемки в применении.
ные зависимости соседних s-грамм, однако они еще более
s
. Эти модели адекватно отражают межсимволь-
Модели второго ряда способны учесть межсимволь-
— 32 —
2.8. Построение и использование математических моделей источников открытых сообщений
громоздки, чем модели первого ряда. Если модели первого ряда описываются m
стей, то модели второго ряда — матрицей размера m
s
и m
-мерным вектором начального распределения.
s
-мерным вектором вероятно-
s×ms
Выбор подходящей модели для исследования ДИОС
носит, как правило, компромиссный характер и осуществляется исследователем в зависимости от конкретной задачи.
Вероятности слов в нестационарных моделях ДИОС
учитывают структуру сообщения, иначе говоря, вероятности появления мультиграмм в тексте зависят от их
места в сообщении. Например, если источником сообщения является премьер-министр, а адресатом — король,
то с большой вероятностью сообщение начнется со слов
«Ваше Величество! ...», а завершится соответствующей
подписью. Завершаются сообщения (письма) часто также
с помощью «стандартов»: «конец связи…», «с уважением…»и пр.
Подобные «стандарты» играют важную роль
в криптографическом анализе некоторых шифров.
В частности, удачно выбранная криптоаналитиком нестационарная модель ДИОС может в некоторых случаях упростить задачу дешифрования по шифрованному
тексту, сведя ее к задаче дешифрования по открытому
и шифрованному тексту.
2.8. Построение и использование
математических моделей
источников открытых сообщений
Построение как детерминированных, так и вероятностных моделей ДИОС реализуется в результате статистической обработки достаточно большого количества
сообщений, генерируемых данным источником. Для
— 33 —
Глава 2. Математические модели источников открытых сообщений
этого по результатам «просмотра»текстового материала
вычисляются: в случае вероятностной модели — оценки
всех вероятностей, составляющих выбранную модель;
в случае детерминированной модели — все запрещенные
мультиграммы ДИОС в заданном алфавите. Чем большее
количество материала обработано, тем точнее построенная модель ДИОС и тем эффективнее ее применение для
решения практических задач.
Рассмотренные модели ДИОС используются в криптографических приложениях, непосредственно в алгоритмах
дешифрования и для решения некоторых вспомогательных задач, например, для статистического различения
открытых текстов и случайных последовательностей.
При решении задачи различения открытых текстов
и случайных последовательностей наиболее эффективным является использование вероятностных моделей
источников. Запретные мультиграммы составляют относительно небольшую долю среди всевозможных мультиграмм текстов, поэтому для достижения эффективности
критерия, основанного на детерминированной модели,
требуются тексты очень большой длины. Использование
критерия, основанного на вероятностной модели, требует
существенно меньше материала и характеризуется уровнем доверия, меньшим 1.
В условиях различных моделей ДИОС криптографические задачи часто решаются с помощью вычислительной техники. Вместе с тем полностью возложить решение всех криптографических задач на вычислительную
технику не всегда возможно. Например, затруднения
возникают при распознавании с помощью ЭВМ открытого сообщения среди множества псевдослучайных последовательностей. Если эта задача решается с помощью
критерия запретных мультиграмм и детерминированной
модели ДИОС, то ЭВМ может выдать необозримо большое
— 34 —
2.9. Задачи и упражнения
m
2
70
30
множество вариантов сообщений, так как отсутствие
в тексте запретных s-грамм недостаточно для вывода
об осмысленности текста.
2.9. Задачи и упражнения
2.1. Алфавит сообщений есть Zm = {0,1,…m-1}, m>1.
Сколько имеется:
а) текстов длины 20 (длины n)?
б) текстов длины 20 (длины n), не содержащих: сим-
вола 0; символов 0 и 1?
в) текстов длины n, содержащих ровно k символов
«0»; ровно k биграмм «0,1»; 0<k<n?
г) текстов длины m, содержащих ровно m символов?
д) текстов длины n, содержащих ровно k
«i», i=0,…,m-1, где
k
+…+k
0
m-1
=n?
2.2. Алфавит сообщений состоит из 34 символов (русские буквы и пробел). Шифр заменяет каждую 3-грамму
2-мя байтами. Зашифровано 2 сообщения: 1-е содержит
92 буквы и 11 слов, 2-е — 208 букв и 30 слов. Определите
в битах длины l
, l2 полученных криптограмм.
1
2.3. Сколько в среднем запретных биграмм содержится в случайной последовательности длины n в алфавите
А мощности m, если в А имеется k запретных биграмм:
а) n=1201, m=30, k=70; б) n=111, m=26, k=30;
в) n=400, m=24, k=44?
Решение. а) Последовательность длины 1201 содер-
жит 1200 биграмм.
Обозначим x
случайную величину-индикатор, при-
i
нимающую значение 1, если i–я биграмма запретная,
и значение 0 в противоположном случае, тогда по ус-
ловию P(x
=1)=
i
k
=
2
=7/90, i=1,…,1200. Число
символов
i
— 35 —
Глава 2. Математические модели источников открытых сообщений
запретных биграмм в последовательности (обозначим его
x) равно: x=x
00Мx
=1200×7/90=840/9≈93,33.
i
+…+x
1
. Отсюда искомое число есть Мx=12
1200
2.4. Пусть в языке с алфавитом порядка 24 имеется: а) 47 запретных биграмм; б) 55 запретных биграмм.
Сколько в языке разрешенных биграмм?
2.5. Пусть в языке с алфавитом порядка 33 имеется
20 запретных биграмм. Оцените, сколько в языке запретных 3-грамм; 4-грамм; 6-грамм?
2.6. В двоичной последовательности длины n имеется
m единиц и биграмма (1,1) запретная. Сколько в ней биграмм (0,0), (0,1) и (1,0):
а) n=30, m=3; б) n=30, m=13; в) n=100, m=31;
г) n=100, m=51?
При каком соотношении n и m задача не имеет решения?
2.7. Сколько имеется различных двоичных последовательностей длины n, если:
а) n=5, биграмма (0,0) запретная;
б) n=6, биграмма (0,0) запретная;
в) n=5, 3-грамма (1,1,1) запретная;
г) n=6, 3-грамма (1,1,1) запретная?
2.8. Напишите формулу вероятности сообщения длины n в модели независимых букв алфавита и в модели независимых биграмм алфавита: n=6; n=10.
2.9. Даны вероятности:
а) биграмм — p(0,0)=0,14; p(0,1)=0,31; p(1,0)=0,24;
найти p(1,1) и p(1);
б) знаков и биграмм — p(1)=0,6; p(0,1)=0,18;
p(1,0)=0,35; найти p(0,0) и p(1,1).
2.10. В модели ДИОС с независимыми символами
алфавита {0,1} и с распределением вероятностей знаков
p(1)=0,6 и p(0)=0,4 определите вероятность p сообщений:
а) 001011100101101101;
б) 101010000101101101;
в) сообщения 0101…01 длины 2t.
— 36 —
2.9. Задачи и упражнения
2/11 1/11
3/11 5/11
2432
00 10 01 11
pppp
2432
11
2
pp
0120,11
2
pp
2
pp
2.11. В модели ДИОС с независимыми биграмма-
ми алфавита {0,1} и с матрицей вероятностей биграмм
P=(p
)=
ij
найдите вероятность p сообщений:
а) 0010111001001011100101;
б) 1001000010111010111001;
в) сообщения 1010…10 длины 2t.
Решение. а) В модели независимых биграмм алфавита
p=p
00p10p11p10p01p00p10p11p10p01p01
2315
=
11
≈2,84×10–8.
=
=
2.12. Найти параметр p модели независимых биграмм
в алфавите {0,1,2} с матрицей вероятностей биграмм:
0 0,12 0,13
а)
0,18 0 2
−
;
1
2
2
3
0,17 1 0,15
−−
2
pp
0,1 0,12 0,14
1
б)
0,1703
2
−
;
2
5
−−
2
pp
0,21 0,12 0
1
в)
0,27 0,08 2
2
−
.
2
3
0 1 0,23
−−
2
pp
— 37 —
Глава 2. Математические модели источников открытых сообщений
0,45 0,55
0,6 0,4
0,35 0,65
0,7 0,3
0,75 0,25
0,35 0,65
2 232
pppp
2.13. В модели ДИОС с марковски зависимыми
символами алфавита Z
определите максимальную пе-
m
реходную вероятность в матрице, если число запретных
биграмм с первым символом i равно n
, а остальные би-
i
граммы с первым символом i распределены равномерно,
i=0,…,m-1.
Найдите численное значение максимальной пере-
ходной вероятности при m=10, n
=min{i+2,11-i}, i=0,…,9.
i
(Используйте стохастичность матрицы переходных вероятностей).
2.14. В модели ДИОС с марковски зависимыми
символами алфавита {0,1}, с матрицей переходных вероятностей знаков P=(p(i/j)) и с вектором начального распределения (p
) определите вероятность p сообщения а
0,p1
и стационарное распределение вероятностей знаков в тексте:
а) а = 0010111001, (p
б) а = 1001000010111010111001, (p
P =
;
в) а = 0010111001001011100101, (p
P =
.
Решение. а) В модели марковски зависимых букв ал-
фавита
p=p
p(0/0)p(1/0)p(0/1)p(1/0)p(1/1)p(1/1)p(0/1)p(0/0)p(1/0)=
0
=p
=0,3×(0,45)
0/0 0/1 1/0 1/1
( ) ( ) ( ) ( )
0
2
×(0,6)2×(0,55)3×(0,4)2≈5,82×10–4.
) = (0,3;0,7), P =
0;p1
— 38 —
) = (0,25;0,75),
0;p1
) = (0,6;0,4),
0;p1
=
;
2.9. Задачи и упражнения
0,5 1,5
0,2 1,5
2 0,3 0,5
x xx
yx y y
zx zz y
−
+
++
2.15. В модели ДИОС с марковски зависимыми
символами алфавита {0,1,2}, с матрицей переходных
0,25 0,55 0,2
вероятностей знаков P=(p
0,4 0, 25 0,35
)=
ij
и с век-
0,4 0,1 0,5
тором начального распределения (0,3; 0,5; 0,2) определите вероятность сообщений: 0210112201001021220101,
2221020012211012211021, а также стационарное распределение вероятностей знаков в тексте.
2.16. Для марковской модели двоичного источника
с глубиной зависимости s=2, с матрицей переходных ве-
0,3 0,7
0,6 0,4
роятностей
0,2 0,8
и начальными вероятностями би-
0,5 0,5
грамм (0,2;0,3;0,1;0,4) найти вероятность сообщений:
а) (11000101); б) (11011011100010101).
Решение. а) В соответствии с моделью ДИОС
Р(11000101) =
= v(11)p(0/11)p(0/10)p(0/00)p(1/00)p(0/01)p(1/10) =
= 0,4×0,5×0,2×0,3×0,7×0,6×0,8 = 4,032×10
–3
.
2.17. Найдите параметры x, y и z модели марковски
зависимых букв с матрицей переходных вероятностей
.
— 39 —
ГЛАВА 3.
Использование математических
моделей источников
сообщений в криптографии
Математические модели источников открытых сообщений являются в криптографическом анализе важной
частью математических моделей криптографических
систем. Выбирая математическую модель для решения
определенной практической задачи, криптоаналитик
должен найти компромисс между простотой модели и ее
адекватностью поставленной задачи. Для обоснования
данного тезиса необходимо познакомиться с некоторыми
фундаментальными положениями криптологии.
3.1. Симметричные и асимметричные шифры
Традиционные криптографические алгоритмы названы симметричными из-за того, что ключи для зашифрования и для расшифрования либо одинаковы, либо связаны
некоторым очевидным законом симметрии. Определить
один из ключей при знании другого обычно не представляет труда. Использование симметричных алгоритмов подразумевает, что отправитель и получатель оба имеют для
связи одинаковый ключ или одинаковые комплекты ключей. Это необходимое условие достигалось применением
некоторого способа доставки ключей всем участникам связи. В докомпьютерную эпоху способ доставки был основан,
как правило, на использовании курьерской службы, своего рода секретной почты, которая была достаточно дорогой
— 40 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]