Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электротехника и электроника
.pdf
ω
=
ω
⋅=⋅
=
⋅
=
•
I
3.3. Резистор в цепи однофазного переменного тока
Пусть в цепь переменного тока tIi
3.5).
21
sin
m
включен резистор R (рис.
a)
u ~
i
R
uR
б)
U ~
I
R
UR
Рис. 3.5
Падение напряжения на резисторе определим согласно закону Ома:
sin
mR
где
IRU
.
mm
Графики изменения тока i и падения напряжения u
tIRiRu
(3.8)
показаны на рис.
R
3.6.
Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей резистивный
элемент. Построение начнём с комплексной плоскости (рис. 3.7). Параллельно оси действительных чисел (+ 1) строим вектор действующего зна-
чения тока
.
uR, i
u
R
i
0
π
2π
ωt
Рис. 3.6
22
i
•
•
I
•
•
2
p u i I U t t
ω ω
2
2
2
R
ω
=
I
Далее, сравнивая законы изменения тока
и падения напряжения
u
R
(рис. 3.6), делаем вывод: так как законы изменения тока i и падения на-
пряжения на резисторе
лению с вектором тока через резистор
u одинаковы, то вектор RU
R
(рис. 3.7).
совпадает по направ-
+ j
U
•
R
•
Рис. 3.7
+ 1
Поэтому закон Ома в комплексном виде запишется так:
⋅= IRU
R
(3.9)
Этой форме записи закона Ома соответствует схема замещения, показанная на рис. 3.5б.
Мгновенная мощность на резисторе равна:
2
= ⋅ = = − (3.10)
sin 1 cos 2
m m
I U
m m
[ ]
Из выражения (3.10) видно, что мгновенная мощность содержит постоянную составляющую
UI
mm
и переменную
UI
mm
t
ω
2cos
.
Среднее значение мощности, выделяемой на резистивном элементе,
равно:
P
IU
mm
2
RIIU
⋅=⋅==
(Вт), (3.11)
U
где
I =
Мощность Р называется активной и измеряется в ваттах (Вт).
3.4. Индуктивность в цепи переменного тока
(индуктивный элемент)
Пусть в цепь переменного тока tIi
(рис. 3.8, а).
sin
m
включена индуктивность
23
a)б)
Φ
dt
dt
Φ
−
=
0
cos sin 90
dt
(
)
2 314
X L fL L
ω π
= = =
i
2π
u ~
i
L
uL
U ~
I
X L
UL
Рис. 3.8
Известно [1], что при прохождении тока через индуктивный элемент в
нём возникает магнитный поток
, который наводит в нем ЭДС самоин-
дукции
d
We
−= , (3.12)
L
di
L
−=
где W – число витков катушки индуктивности.
Эта ЭДС самоиндукции уравновешивается падением напряжения на
индуктивности
Падение напряжения на индуктивности
u
L
ue
(3.13)
LL
u с учётом (3.12) и (3.13) бу-
L
дет равно
di
u L L I t LI t
= = ⋅ = + (3.14)
L m m
ω ω ω ω
( )
ω
mL
Введём понятие индуктивного сопротивления
L
где f = 50 Гц.
Графики изменения тока (
) и падения напряжения на катушке (
показаны на рис 3.9.
uL, L
u
L
i
0
π/2
π
0
90sin += tUu
3/2 π
X
L
, (Ом) (3.15)
ωt
u
L
Рис. 3.9
)
24
i
•
I
ω
(
)
•
•
I
2
π
•
•
+
j
+
•
•
I
2
π
sin cos sin2
q u i I t U t U I t
ω ω ω
= ⋅ = ⋅ =
•
I
Из рис. 3.9 следует, что ток
и падение напряжения
колеблются в
u
L
противофазе.
Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей индуктивность L. Построение начинаем с комплексной плоскости (рис. 3.10). Па-
•
раллельно оси действительных чисел
+
1 строим вектор действующего
значения тока
.
+ j
U
L
90º
•
Рис. 3.10
Теперь, сравнивая (рис. 3.9) законы изменения тока t
напряжения на индуктивности
m
ω
тор падения напряжения на индуктивности
угол
.
0
90sin +⋅ tU
, делаем вывод, что век-
U
опережает вектор тока
L
+ 1
sin и падения
на
Закон Ома в комплексном виде для индуктивного элемента запишется
где
+= IjXU
L
jX
– комплекс индуктивного сопротивления;
L
показывает, что вектор
, (3.16)
L
U
опережает вектор
L
на угол
Мгновенная мощность индуктивности равна:
L L m Lm L
(3.17)
Мощность в цепи, содержащей индуктивный элемент, называют ре-
активной индуктивной мощностью (+ Q
) и измеряют в вольт-амперах ре-
L
активных (вар).
XIQ2=+ (вар) (3.18)
LL
.
25
ω
=
0
cos cos sin 90
dt
m m
I CU
ω
=
1 1 1
2 314
C fC C
a)
б
)
i
2π
3.5. Конденсатор в цепи переменного тока
Пусть в цепь переменного напряжения tUu
сатор (рис. 3.11).
Тогда ток, проходящий через конденсатор будет равен [1]:
du
i C CU t I t I t
= = = = + ,
A m m m
C
ω ω ω ω
(3.19)
где
.
sin
m
( )
включен конден-
Введём понятие ёмкостного сопротивления X
X
= = = , (Ом)
C
ω π
(3.20)
где f = 50 Гц, емкость С измеряется в фарадах (Ф).
u~
ic
uc
C
U~
Рис. 3.11
IC
Графики изменения напряжения на конденсаторе
ны на рис. 3.12.
uC, i
u
C
i
0
π/2
π
3/2 π
Рис. 3.12
X C
C
UC
u и тока
C
показа-
ωt
26
ω
⋅
=
i
(
)
0
sin 90
•
2
π
•
•
j
−
2
π
sin cos sin2
q u i U t I t U I t
ω ω ω
= ⋅ = ⋅ =
I
Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей конденсатор.
Построение начинаем с комплексной плоскости (рис. 3.13). Параллельно
оси действительных чисел (+ 1) строим вектор действующего напряжения
на конденсаторе
пряжения на конденсаторе tUu
I t
m
ω
⋅ + делаем вывод, что вектор тока I опережает вектор падения
напряжения
U•. Теперь, сравнивая (рис. 3.12) законы изменения на-
C
U
C
на конденсаторе на угол
sin
mC
и тока
.
через конденсатор
Закон Ома в комплексном виде для конденсатора запишется так:
где
−=
C
jX− – комплекс емкостного сопротивления;
C
IjXU , (3.21)
CC
показывает, что падение напряжения на конденсаторе CU• от-
стает от тока
I• на угол
C
+ j
.
•
C
90º
U
•
C
Рис. 3.13
+ 1
Этой форме записи закона Ома в комплексном виде соответствует
схема замещения, показанная на рис. 3.11, б.
Мгновенная мощность на конденсаторе равна
C C C m m m m
(3.22)
Мощность в цепи, содержащей емкостный элемент, называют реак-
тивной емкостной мощностью Q
и измеряют в вольт-амперах реактив-
C
ных (вар).
Знак «минус» у мощности Q
четверть колебаний конденсатор отдаёт мощность источнику в отличие от
индуктивности, которая в первую и третью четверть потребляет от источника реактивную мощность +Q
.
L
XIQ2=− (вар) (3.23)
CC
говорит о том, что в первую и третью
C
27
•••
•
(
)
−+=
2
Z Z R x x
•
•
3.6. Последовательное соединение резистора, индуктивности
и ёмкости в цепи переменного тока
Последовательным соединением элементов называется такое соеди-
нение, когда по всем элементам идёт один и тот же ток, а приложенное напряжение равняется геометрической сумме падений напряжений на этих
элементах согласно второму закону Кирхгофа.
Схема последовательного соединения R, x
3.14, а.
, и xC приведена на рис.
L
а)
I
R
UR
X L
UL
U~
Рис. 3.14
Второй закон Кирхгофа в комплексном виде запишется следующим
образом:
++=
(3.24)
С учетом вышеприведённых выражений
( ) ( ) ( )
(3.25)
Выражение в квадратных скобках обозначим через Z и назовем его
полным комплексным сопротивлением цепи.
(3.26)
X C
UC
UUUU
CLR
•••••
[ ]
xxjRZ
(Ом)
CL
б)
U ~
I
Z
xxjRIjxIjxIRIU −+=−+++=
CLLL
По величине Z равняется
Тогда закон Ома для последовательно соединенных элементов в ком-
плексной форме запишется в виде
(3.27)
= = + − (Ом)
2
( )
L C
ZIU ⋅=
28
I
•
2
•
I
•
I
•
•
•
•
I
•
•
•
•
•
U
ϕ
•
I
•
U
I
•
I
Этой форме записи закона Ома будет соответствовать схема замеще-
ния, показанная на рисунке 3.14, б. Схемы «а» и «б» называются эквива-
лентными.
Величина тока
при последовательном соединении элементов будет
•
I I
= = =
U U
Z
2
R x x
+ −
( )
(А)
L C
Построим векторную диаграмму для последовательного соединения
резистора, индуктивности и емкости.
Построение начинаем с комплексной плоскости (рис. 3.15, а), парал-
лельно оси действительных чисел строим вектор действующего значения
тока
тока
с током по направлению). Из конца вектора
напряжения на индуктивности
ну опережения. Из конца вектора
, так как ток является общим для всех элементов. Далее по вектору
U
строим вектор падения напряжения на резисторе
U
R
строим вектор падения
U
L
под углом 900 к вектору тока
U
L
строим вектор падения напряжения
R
(совпадающий
в сторо-
на конденсаторе
U
точку «а». Соединив точку «а» с началом вектора
полного приложенного напряжения
напряжений. Угол
жения
называется углом сдвига фаз, и он характеризует режим работы
U
C
(
C
отстает от вектора тока на угол 900) и получаем
, при этом образуется треугольник
между векторами тока
U
R
, получаем вектор
и вектором полного напря-
электрической цепи. Векторная диаграмма позволяет качественно контролировать аналитические расчёты электрических цепей.
Если все стороны треугольника напряжений разделить на ток
, то
получим подобный треугольнику напряжений треугольник сопротивлений
(рис. 3.15, б).
Если все стороны треугольника сопротивлений умножить на
2
, то
получим треугольник мощности (рис. 3.15, в).
ϕ
cos
ZRS
.1cos
=
ϕ
.0cos
=
ϕ
•
U
I
R
X = X
P
+ j
U
•
C
•
φ
U
R
а) треугольник напряжений
Из треугольника мощности следует, что S – полная мощность элек-
трической цепи, равна:
U
a
29
Z
– XC
•
L
φ
L
б) треугольник сопротивлений
UU••−
CL
•
S
Q = QL – QC
φ
+ 1
в) треугольник мощностей
Рис. 3.15
222
QPZIIUS +=⋅=⋅= (В·А)
(3.28)
Реактивная мощность цепи
2
sin =⋅=
φ
xIIUQ
(вар)
(3.29)
Активная мощность цепи
2
cos =⋅=
ϕ
RIIUP
(Вт)
(3.30)
Для характеристики режима работы электрической цепи в электро-
технике вводится понятие
, который показывает степень использова-
ния полной мощности источника S:
P
ϕ
cos
==
(3.31)
Проанализируем режимы работы электрической цепи:
1.
В этом случае S = P, Q = 0 и полное сопротивление Z =
R. Цепь потребляет только активную мощность P.
2.
В этом случае S = Q, P = 0 и полное сопротивление
цепи Z = X, цепь обладает только реактивными свойствами.
30
.0cos
>
ϕ
+
=
+
=
0
cos
<
ϕ
−
=
−
=
•••
•
R
3.
и она потребляет активную P и реактивную Q
4.
В этом случае
jXRZ
, цепь обладает активно-индуктивными свойствами,
L
. В этом случае
jXRZ
, цепь обладает активно-ёмкостными свойствами,
C
jQPS
и полное сопротивление
L
мощности.
L
jQPS
, и полное сопротивление
C
она потребляет из сети активную мощность P, но отдает в сеть
реактивную – Q
.
С
3.7. Параллельное соединение резистора,
индуктивности и емкости в цепи переменного тока
Параллельное соединение электроприемников – основной вид соединений, так как в этом случае электроприёмники делаются на одно и то же
напряжение.
Параллельное соединение – это такой вид соединения, когда на всех
элементах одно и то же напряжение, а ток в неразветвлённой части равен
геометрической сумме токов этих элементов согласно первому закону
Кирхгофа.
Схема параллельного соединения R, x
а)
I
IR
IL
, и xC приведена на рис. 3.16, а.
L
IC
á)
I
U~
R
g
bL
X L
bC
Рис. 3.16
X C
U~
Y
Первый закон Кирхгофа в комплексном виде запишется следующим
образом:
IIII
++=
CLR
(3.32)
Выразим токи из закона Ома:
•
U
I
R
U
+=
+
jX
•••
U
+
−
jX
U
•
+=
+
+
−
111
jXjXR
CLCL
(3.33)
Для параллельного соединения элементов вводится понятие проводи-
мости, величины, обратной сопротивлению, измеряемой в сименсах:
1
• активная проводимость
g
= (См);
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]