Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы решения основных дифференциальных уравнений математической физики. Учебное пособие
.pdf
Теперь мы должны записать в дискретной форме начальные и граничные условия.
В непрерывных значениях первое начальное условие было записано как
В дискретной форме
u
(
=0,)=() (4.6)
Рис. 4.3
=
(
)
=
1
(4.7)
1
Второе начальное условие в непрерывной форме
=() (4.8)
В дискретной форме
=
(
)
=
, u
=0,1,2…
Граничные условия в непрерывной форме:
(
=0,)=(=,)=0 (4.10)
В дискретной форме
u
=u
=0 (4.11)
=u
+Δ (4.9)
31
Итак, мы записали исходное дифференциальное уравнение и начальные и граничные условия в дискретной форме.
Теперь мы можем найти явное выражение для значения сеточной
функции на (j + i) шаге по времени, исходя из предыдущей вычислительной схемы:
u
где =
.
=2(1−)u
+u
+u
−u
, (4.12)
Из соотношения (4.12) следует: чтобы знать значение функции u на
некотором шаге (u
гах:u
,u
.
Из начального условия (4.7) мы знаем u
), нужно знать эти значения на двух предыдущих ша-
т. е. отклонение струны от
положения равновесия в каждой точке. Из начального условия (4.8) мы
также знаем отклонение струны на первом шаге при j = 1.
Следовательно, мы можем, используя конечно-разностное рекуррентное выражение, определить положение струны при j + 1 = 2:
u
=2(1−)u
+(u
+u
)
−u
(4.13)
u
=2(1−)u
+u
+u
−u
i = 1,2,3…, I-1
и так далее.
Указанная разностная схема имеет второй порядок погрешности
≈(ℎ+Δ) Так как схема явная, т. е. имеются ограничения на шаг по
времени:
Δt<
.
Преимущество явной схемы: не надо решать систему алгебраических
уравнений. Используется простое рекуррентное соотношение.
32
Неявная схема. Эта схема абсолютно устойчива. То есть, снимаются
ограничения на величину шага, но алгоритм естественно усложняется.
=
(
+
)
Производная по x заменяется полусуммой аппроксимаций на (j + 1)
и (j – 1) временных шагах (слоях).
Отсюда, учитывая введение const =
, можно записать, перенеся
влево значения функции на (j + 1) шаге (слое), а в правой части сосредоточив значения функции на шагах j, j-1:
−u
+u
(
1+2)−u
=2u
+u
+u
−(1+2)u
(4.14)
Здесь неизвестная функция на временном шаге j + 1 в трех
лах:u
,u
,u
.
Нужно знать значения функции в этих узлах на двух предыдущих
шагах (j ) и (j – 1) При этом j = 1, 2, 3…. I – 1.
Исходя из начальных условий, нам известны
=,=
+Δ
, (i + 1 = 2).
Следовательно, для значений функции на 2-м шаге по времени получим
−u
+u
(
1+2)−u
=2u
+u
+u
−(1+2)u
. (4.15)
Т. к. i меняется: i = 1, 2, 3,…, I – 1 на каждом шаге по времени, приходится решать трёхдиагональную систему уравнений. Она решается методом
прогонки. Нет ограничения шага по времени – это преимущество. Эта разностная схема устойчива. Погрешность схемы пропорциональна сумме
квадратов шага по времени и шага по переменной x: ≈ О (Δt2+Δх
).
2.5. Решение уравнения теплопроводности
методом конечных разностей
Запишем его для случая двух пространственных переменных (х, y).
33
)
(,,
+
(,,)
=(
(,,
)
)=0. (5.1)
Положим а = 1.
Искомая функция u = u(x, y, t) – имеет смысл температуры.
Рассмотрим случай, когда область, для которой решается уравнение
теплопроводности, представляет собой бесконечно тонкую квадратную
пластину: 0≤≤1,0≤≤1, со сторонами равной 1. Тогда нашу систе-
му координат можно представить так (см. рис. 5.1).
Рис. 5.1. Область решения
Мы должны задать начальные и граничные условия. Начальные усло-
вия в данном случае – это заданная температура в каждой точке пластины.
(=0,,)=(,).
Граничные условия по физическому смыслу – это распределённая
температура, которая поддерживается в любой момент времени на краях
пластины. Математически это выглядит так:
на нижней стороне пластины:
(,=0)=()–на нижней стороне пластины:
34
(,=1)=()–на верхней стороне пластины:
(=0,)=()–на левой стороне пластины:
(=1,)=()–на правой стороне пластины:
Таким образом, мы сформулировали в полном виде задачу:
– записали дифференциальное уравнение в частных производных;
– записали начальные и граничные условия.
Теперь в соответствии с методом конечных разностей (МКР) перейдём к дискретным значениям независимых переменных. При этом дискретный шаг по переменным x, y примем одинаковым и равным h:
Δ=
Δt=t
−=
−=Δ=ℎ
−t
;i = 0,1,2…I
j = 0,1,2…J
k = 0,1,2…K
Дискретное значение функции запишем в виде u
, т. е. это значение
,
в к-й момент времени в некотором узле i, j. Теперь дифференциальное
уравнение (5.1) запишем в дискретном виде:
,
,
=
,
,
,
+
,
,
,
.
Введём постоянную λ = Δt/h2; В левой части уравнения оставим дис-
кретные значения искомой функции в момент времени t
, в правой части
сосредоточим значения дискретной функции в момент времени t
u
,
=u
,
+u
,
+u
,
+u
,
+u
(1−4)
,
.
Это явная вычислительная схема. По сути, это не система уравнений,
а рекуррентное соотношение. Оно позволяет определить в каждом внут-
реннем узле значение искомой функции в момент времени t
по извест-
ным значениям функции в предыдущий момент времени K.
35
Запишем в дискретном виде начальные и граничные условия:
Начальное условие:
Граничные условия на нижней стороне:
(
)
=
,
Граничные условия на верхней стороне:
(
)
=
,
Граничные условия на левой стороне:
=
,
Граничные условия на правой стороне:
Итак, зная из начальных условий значения функций
в момент времени k = 0;
(,)=
, мы можем из предыдущего соотношения (вычис-
=,
,
(,)=
=
(,)=
(,)=
(,)=
,
,
=
,
,
=
,
,
,
=
=
=
,
лительная схема), пробегая по соответствующим значениям i и ,j, определить
значения
, на первом шаге по времени (k = 1) во всех внутренних узлах:
,
u
,
=u
,
+u
,
+u
,
+u
,
+u
,
(
1−4
)
↓↓↓↓↓
u
,
=
,
+
,
+
,
+
,
+
(1−4),
,
Когда i,j будут соответствовать граничным узлам, нужно будет подставлять дискретные значения функции f, из граничных условий.
Далее находим значения на втором шаге: k +1 = 2 и т. д.
Погрешность ≈(ℎ+,Δ), Δ≤
, т. е. имеется ограничение на
шаг по времени.
2.6. Неявная абсолютно устойчивая схема
для уравнения теплопроводности
36
,
,
=a(
,
,
,
+
,
,
,
)=0
где a = 1. Введём: λ = Δt/h2, тогда можно переписать это соотношение, перенеся влево все члены с индексом (k+1).
u
(
1+4)+u
,
=−u
,
,
+u
,
+u
,
+u
,
где i = 1,2… I – 1 j = 1,2… J – 1
Начальные и граничные условия остаются те же. Это пятидиагональная система уравнений, общее число уравнений равно числу внутренних
узлов, оно равно (I – 1) (J – 1). Решение пятидиагональной системы уравнений может занять значительное время. Поэтому в данном случае применяют следующую экономичную абсолютно устойчивую неявную схему по
методу расщепления (методу дробных шагов). Эта схема позволяет прово-
дить расчёты со сравнительно большим шагом по времени (ℎ≈Δ). Осно-
вой этого метода является то, что расчёт на одном шаге по времени разбивается на отдельные этапы.
При этом общая вычислительная схема сохраняет преимущества явных схем, т. е. простой вычислительный алгоритм и преимущество неявных схем – возможность счёта с большим шагом по времени.
Одну из таких схем, пригодных для случая двух пространственных
переменных (x, y), мы рассмотрим.
Суть схемы:
– шагΔ делится на два полушага, которым соответствуют времен-
ные индексы (k+
) и (k+1):
– на 1-м полушаге вторая производная, например, (
симируется неявно на слое (k+
слое (k+
) явно;
) a другая
– на 2-м полушаге, наоборот,
слое (k+1), а
(,,
)
аппроксимируется неявно.
Запишем это:
(,,
(,,
)
) аппрок-
)
(,,
)
аппроксимируется на
аппроксимируется явно на
,
,
=(
/
,
,
,
+
,
,
,
),
37
,
=
,
,
/
введём: λ = Δt/h2, и получим
,
,
+
,
,
,
,
+u
+u
,
,
+u
+u
,
,
−u
−u
(
1+2)=u
,
(
1+2)=u
,
(
1−2)+(u
,
(
1−2)+(u
,
,
,
+u
+u
,
,
)
)
Вначале рассматривается первая система уравнений.
Мы видим, что это трёхдиагональная система уравнений. В левой части неизвестны значения функции в трёх узлах, в правой части значения
функции на предыдущем шаге K известны. Система решается методом
прогонки, т. е. быстро.
Как и выше, вначале полагаем K = 0; При K = 0 нам известны все
значения функции во внутренних узлах, исходя из начальных условий.
Из уравнений определяем значения функций при (K +1/2) и т. д.
Определив значения искомой функции на (K +1/2), подставляем их во
вторую систему уравнения, которая также решается методом прогонки (т. е.
трёхдиагональная).
Эта схема справедлива для случая только двух пространственных переменных (x, y).
38
ГЛАВА 3. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
3.1. Функционал и уравнение Эйлера
Известно, что состояния многих физических объектов описываются
так называемыми принципами минимума.
Например, положение равновесия механических систем определяется положением, соответствующему минимуму потенциальной энергии.
При решении краевых задач для дифференциальных уравнений, связанных с механическими системами, оказалось, что решение дифференциального уравнения совпадает с функцией, которая обеспечивает минимум
определённому интегралу, которым выражается потенциальная энергия этой
механической системы.
Описанное совпадение имеет фундаментальный характер. Доказано,
что существуют такие пары: функционал в виде определённого интеграла
и дифференциальное уравнение, которые имеют общее решение. Иными
словами, функция, которая обеспечивает минимум определенного интеграла, одновременно является и решением соответствующего дифференциального уравнения. Это дифференциальное уравнение называется уравнением Эйлера – Лагранжа.
Также такие пары существуют в области обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнениях частных производных.
Чем же отличается функция от функционала? Функция – правило, которое ставит в соответствие одному числу некоторое другое число, пример:
= ставит в соответствие 1→1, 2→4, 3→9, 0,5→0,25.
Функционал: правило, которое ставит в соответствие определенной
функции некоторое число. Пусть u = u(x) – некоторая заданная функция,
к примеру
()=
зададим определенный интеграл
=∫∗
,где
=
;
39
Это будет функционал, численное значение которого зависит от вида
функции =
():()
=
→′=2, подставим
()
и ′(
)
в функционал
=
−0=8.
, тогда функцио-
=
Теперь рассмотрим пример: ()=,′()=3
∗2
∫
=∫2
=
()
=
2
нал примет значение
=
3∗
∫
=∫3
=
3∗
=32.
Т. е., как видно из примеров, числовое значение функционала зависит
от вида функции. Следует подчеркнуть, что, как правило, функционал в виде определённого интеграла и дифференциальное уравнение отражают в
разной форме свойства одного и того же физического объекта или явления.
Основной вывод для нас следующий: существуют сопряженные пары – функционал в виде определенного интеграла и соответствующее ему
дифференциальное уравнение. Их сопряженность заключается в том, что
функция, при подстановке, обеспечивающая минимальное численное значение определённого интеграла одновременно является решением дифференциального уравнения.
Следовательно, решение дифференциального уравнения можно заменить нахождением функции, дающей минимум интегралу.
Подобный вывод впервые сделал Л. Эйлер.
Применим подобный подход при решении уравнения Пуассона.
Рассмотрим функционал в виде следующего интеграла:
=
∬
(′
)
+′+2(,). (1.1)
где
40
′
)
(
=(
), ′=(
)
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]