Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы получения информации. Учебное пособие
.pdf
Примеры решения задач
плового расширения для стали αст = 11,7 · 10–6 1/К, для датчика
α
= 26,82 · 10–6 1/Ê.
ä
Решение.
1. Искомое напряжение питания соответствует напряжению
на паре последовательно соединенных резисторов дифференциального моста. То есть:
U
= I
max
R
1
R1 + R
(R1 + R2),
R
–
R3 + R
2
3
, при этом в дефор-
4
= R0 + ΔR. Тогда:
1
U
2. Известно, что U
max
= 30 ìÀ · 240 Îì = 7,2 Â.
max
= Uâõ ·
âûõ
мации участвует только один резистор моста R
U
= Uâõ ·
âûõ
R0+ ΔR
2R
+ ΔR12
0
–
U
âõ
=
2ΔR2R0+ ΔR
·
.
Для определения изменения сопротивления ΔR необходимо
рассчитать относительную деформацию, воспользовавшись законом Гука:
σ = E · ε,
ΔR
= k · ε = k · ΔR = k · R
R
0
σ
E
σ
·
.
0
E
Тогда искомое напряжение определяем как:
U
U
=
âûõ
5 B
U
âûõ
·
2
2 · 210 · 109 Ïà + 2 · 70 · 104 Í/ì
=
5 · 7
=
2 · 21 · 10
5
+ 2 · 7
k · σ
âõ
·
2
2E+ k · σ
2 · 70 · 10
 = 8,3 · 10
4
Í/ì
,
2
=
2
–6
B.
3. При изменении температуры датчик деформации как обыч-
ный резистор будет изменять свое сопротивление. Это приведет
к тому, что даже в отсутствие механического напряжения датчик будет фиксировать деформацию, соответствующую данному
изменению сопротивления.
111
Приложение
Если датчик прикреплен к стальному образцу, то под действием температуры оба металла будут расширяться, при этом относительное удлинение составляет:
Δl
ñò
· ΔT;
Δl
= α
ñò
l
ä
· ΔT, где l – длина области склейки дат-
= α
l
l
– для образца:
– для датчика
чика и образца.
Поскольку коэффициенты теплового расширения для стали меньше, чем для датчика, а последний приклеен к образцу,
то датчик будет испытывать внутреннее сжатие с относительной
деформацией:
– Δl
Δl
ä
ñò
– αñò) · ΔT,
ε =
= (α
l
ä
а соответствующее изменение сопротивления:
ΔR
R
= k · (α
0
– αñò) · ΔT.
ä
С другой стороны, под действием температуры материал датчика как проводник изменяет свое сопротивление согласно формуле
ΔR
· ΔT.
= α
T
R
0
Таким образом, результирующее изменение сопротивления
складывается под действием двух факторов и определяется выражением:
ΔR = R
а выходное напряжение:
U
âõ
=
U
52(10,8 · 10
=
U
âûõ
âûõ
·
2 + (10,8 · 10
·
2ΔR2R0+ ΔR
–6
1/K + 2 · (26,82 · 10–6 1/K – 11,7 · 10–6 1/K)) · 15 K
–6
1/K + 2 · (26,82 · 10–6 1/K – 11,7 · 10–6 1/K)) · 15 K
52464,6 · 10
=
·
2 + 464,6 · 10
112
· (αT + k · (αä – αñò)) · ΔT,
0
U
âõ
= ·
2
+ k · (αä – αñò)) · ΔT
α
T
2 + (α
+ k · (αä – αñò)) · ΔT
T
–6
= 580,6 · 10–6 B.
–6
.
=
Примеры решения задач
Если оценить эквивалентное механическое напряжение, являющееся, вообще говоря, погрешностью измерения, то можно воспользоваться соотношением:
σ
k · R
·
0
E
· (αT + k · (αä – αñò)) · ΔT,
= R
0
E
· (αT + k · (αä – αñò)) · ΔT,
σ =
k
σ =
210 · 10
9
464,6 · 10
–6
= 4878,3 · 104 Í/ì2 = 4878,3 Í/ñì3.
2
Задача 1.3
Изобразить схематически и описать принцип действия датчика момента вращения на базе четырех резистивных датчиков деформации с фактором деформации k = 2 и номинальным сопротивлением R = 600 Ом. Датчики деформации соединены по принципу дифференцирующего моста. Определить выходное напряжение моста при относительной деформации 0,003 %, если напряжение питания U
= 10 Â.
0
Решение. Для измерения момента вращения необходимо использовать расположение металлических датчиков деформации,
приведенное на рисунке. При скручивании одна пара датчиков
оказывается в зоне растяжения, а другая – в зоне сжатия, таким образом, выполняется дифференциальный принцип, необходимый для построения полного моста.
Для дифференциального моста справедливо соотношение:
2
–
R
3
R3 + R
,
4
U
âûõ
= Uâõ ·
R
1
R1 + R
113
Приложение
если все четыре резистора являются датчиками деформации,
причем два из них (R
è R4) определяются как R + ΔR, à R2 è
1
R3 определяются как R – ΔR:
U
= Uâõ ·
âûõ
R + ΔR
R
+ ΔR + R – ΔR
–
R – ΔR + R + ΔR
R – ΔR
= Uâõ ·
ΔR
R
.
Для датчиков деформации справедливо ΔR/R = k · ε, тогда
= Uâõ · k · ε; U
U
âûõ
= 10 Â · 2 · 0,00003 = 0,6 · 10–3 Â.
âûõ
Задача 1.4
Акселерометр, изображенный на рисунке, формирует дифференциальный конденсатор. Докажите, что относительное изменение расстояния между электродами равно
Δd
C
– C
2
C2 + C
1
.
1
=
d
Решение. Когда акселерометр находится в состоянии покоя,
сейсмическая масса m и прикрепленные к ней обкладки конденсатора находятся строго по середине, таким образом, емко-
è C2 равны между собой. При изменении ускорения масса
ñòè C
1
m под действием силы смещается, увеличивая расстояние между
обкладками одного конденсатора (например, C1) и уменьшая расстояние между обкладками другого. Таким образом:
C
= ε0
1
S
d + Δd
; C
= ε0
2
S
d – Δd
,
тогда
Δd
1 –
C
1
=
C
2
1 +
d
Δd
d
; C
+ C1
1
Δd
d
= C
– C2
2
Δd
d
; (C
+ C2)
1
Δd
d
= C
– C1.
2
Окончательно
Δd
C
– C
2
C2 + C
1
.
1
=
d
114
Примеры решения задач
Задача 1.5
В технологическом процессе про-
изводства бумаги необходим контроль толщины листа, который осуществляется при помощи емкостного датчика с параметрами S =
= 10 ñì
2
, d = 1 мм. Диэлектриче-
ская проницаемость бумаги ε = 2,3.
Рассчитайте изменение емкости
конденсатора при изменении толщины от 50 мкм до 55 мкм.
Решение. Плоский конденсатор емкостного датчика с частич-
ным диэлектрическим заполнением может быть представлен
в виде двух последовательно соединенных конденсаторов, один
из которых с воздушным заполнением, а второй – с полным диэлектрическим:
C
= ε · ε0
1
S
x
, à C
= ε0
1
S
(S – площадь пластин конденсаторов).
d – x
При последовательном соединении:
S
ε · ε0
ε · ε
· ε
xSd – x
S
+ ε
0
x
C
· C
1
2
=
C
îáù
C1 + C
=
2
0
0
d – x
=
S
ε · ε
· S
0
ε · (d – x)+х
=
ε · d – (ε–1)х
При толщине листа х = 50 ìêì:
2,3 · 8,854 · 10
=
C
îáù
–12
· 10 · 10
2,3 · 10–3 – 1,3 · 50 · 10
–4
= 9,1115 · 10
–6
При толщине листа х = 55 ìêì:
C
=
îáù
2,3 · 8,854 · 10
–12
· 10 · 10
2,3 · 10–3 – 1,3 · 55 · 10
–4
= 9,138 · 10
–6
Относительное изменение емкости составляет:
ΔC
C
0,0265 · 10
=
9,1115 · 10
–12
–12
Ô
= 0,003.
Ô
ε · ε0 · S
–12
Ô.
–12
Ô.
.
115
Приложение
Задача 1.6
На рисунке изображен метод
измерения абсолютной температуры с помощью термопары. Каким
должно быть соотношение T
è Т2,
1
чтобы напряжение зависело только от Т?
Решение. Для заданного термоэлектрического контура значение термо-ЭДС определяется следующим соотношением (обход
контура начинаем от вольтметра по часовой стрелке):
· T2 + αAB· T1 + αBA· T + αAB· T1 + αBC· T2.
V = α
CA
Известно, что для термоэлектрических коэффициентов справедливы следующие соотношения:
α
+ αCA = αBA è αBA = –αAB,
BC
тогда:
V = 2 · α
· T1 – αAB· T2 + αBA· T.
AB
Чтобы напряжение термопары зависело только от Т, необходимо:
· T1 – αAB · T2 = 0.
2 · α
AB
Из этого соотношения получаем:
=2 · T1.
T
2
Задача 1.7
Кварцевый элемент кубической формы со стороной а = 2 ìì
2
деформируется механическим напряжением σ = 10 Í/ì
в направлении оси 1 (x), приложенным к плоскости 1–3 (x–z). Заряд
какой величины и на каких плоскостях при этом образуется?
Какой тип пьезоэффекта используется? Где будут располагаться электроды?
⎛
d
11
⎜
⎜
0
⎜
⎝
0
d11 = 2,3 · 10
–d
11
0
0
–12
Êë/Í; d14 = 0,7 · 10
d
0
0
0
0
14
–d
0
0
0
14
–2d
0
0
⎞
⎟
⎟
11
⎟
⎠
–12
;
Êë/Í.
116
Примеры решения задач
Решение. Распределение механических напряжений по соот-
ветствующим осям пьезоэлемента приведено
на рисунке. Из условия задачи следует, что
действующая σ является σ
, поскольку она
12
действует вдоль оси 1 на плоскость, перпендикулярную оси 2. Таким образом, используется
сдвиговый тип пьезоэффекта.
Как известно, для связи вектора поляризации p→ = (p1; p2; p3) и механического напряжения используется соотношение:
⎞
⎛
σ
1
⎟
⎜
⎟
⎜
σ
⎛
⎞
⎛
p
⎜
⎜
p
⎜
⎝
p
d
1
2
3
11 d12 d13 d14 d15 d16
⎟
⎜
⎟ =
⎜
d
21 d22 d23 d24 d25 d26
⎟
⎜
⎠
⎝
d
31 d32 d33 d34 d35 d36
⎞
⎟
⎟ ⋅
⎟
⎠
2
⎟
⎜
⎟
⎜
σ
3
⎟
⎜
.
⎟
⎜
σ
23
⎟
⎜
⎟
⎜
σ
13
⎟
⎜
⎠
σ
⎝
12
Для данной задачи, поскольку единственной ненулевой σ ÿâ-
ляется σ12, которой соответствует последний столбец тензора пьезомодуля, вектор поляризации будет иметь только компоненту
p2. Следовательно
= –2d11 · σ12.
p
2
Таким образом, в данной задаче вектор поляризации направлен вдоль оси 2, и, соответственно, заряд будет появляться
на гранях, перпендикулярных оси 2, где и необходимо расположить электроды.
Для расчет заряда домножим предыдущее равенство на площадь S грани пьезоэлемента, тогда:
p
· S = –2d11 · σ12 · S.
2
Учитывая, что q = p
q = –2 · 2,3 · 10
· S, заряд вычисляем по формуле:
2
q = –2d
–12
Êë/Í · 10 Í/ì2 · 4 · 10–6 ì2 = 1,84 · 10
· σ12 · S = –2d11 · σ12 · a2.
11
–16
Êë.
117
Приложение
Задача 1.8
Рассчитайте пьезоэлектрический акселерометр сдвигового
типа, используя BaTiO
. Как необходимо ориентировать пьезо-
3
элемент для достижения максимальной чувствительности, используя
в качестве электродов центральный
крепеж и инерционную массу (см. рисунок)? Какой должна быть величина
инерционной массы, чтобы получить
заряд 10
–11
Кл при ускорении 10 м/с2?
d15 = 250 · 10
⎛
0
0
0
⎜
⎜
0
0
0
⎜
⎝
–12
Êë/Í; d31 = –78 · 10
d
d
31
d
31
33
d
0
15
d
0
15
0
0
–12
Êë/Í; d33 = 190 · 10
⎞
0
⎟
⎟
,
0
⎟
⎠
0
–12
Êë/Í.
Решение. Поскольку исследуемый акселерометр использует
пьезоэлемент со сдвиговым типом пьезоэффекта, то, исходя из свойств тензора пьезомодуля, можно сказать, что поляризация
возможна только вдоль осей 1 и 2. Поскольку в обоих случаях используемым элементом
тензора пьезомодуля является d
, ýòè îñè
15
являются эквивалентными с точки зрения
достижения максимальной чувствительности датчика. Рассмотрим, например, ось 2.
Этой оси исходя из условия задачи соответствует σ32, которая эк-
вивалентна σ23.
Уравнение связи вектора поляризации и механического на-
пряжения определяется следующим образом:
⎞
⎛
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎛
⎞
⎛
p
0 0 0 0 d
1
⎜
⎟
⎟ =
p
2
⎟
⎠
p
3
⎜
⎜
0 0 0 d
⎜
⎝
d
31 d31 d33
⎜
⎜
⎝
15
0 0
15
0 0 0
0
⎞
⎟
⎜
0
⎟
⎟
⎜
0
⎟ ⋅
⎟
.
⎜
⎟
⎟
⎜
σ
23
⎠
⎟
⎜
⎟
0
⎜
⎟
⎜
⎠
0
⎝
118
Примеры решения задач
Следовательно:
= d15 · σ23.
P
2
Для расчета заряда домножим это равенство на площадь S грани пьезоэлемента, тогда:
P
· S = d15 · σ23 · S.
2
Учитывая, что заряд q = P
· S, à ñèëà F = σ23 · S связана с уско-
2
рением по второму закону Ньютона F = m · a, заряд вычисляем
по формуле:
· m · a.
q = d
15
Отсюда искомая величина инерционной массы равна
–11
Êë
10
–12
Êë/Í · 10 ì/ñ
= 4 · 10
2
–3
êã.
m =
q
d15 · a
, m =
250 · 10
Задача 1.9
Рассчитайте пьезоэлектрический
акселерометр компрессорного типа,
используя пьезоэлектрическую керамику с тензором пьезомодуля:
d15 = 584 · 10
⎛
0 0 0 0 d
⎜
⎜
0 0 0 d
⎜
⎝
d
31 d31 d33
–12
Êë/Í; d31 = –171 · 10
15
0 0 0
⎞
0
15
⎟
⎟ ;
0 0
⎟
⎠
–12
Êë/Í; d33 = 374 · 10
–12
Êë/Í.
Как необходимо ориентировать оси пьезоэлемента (x, y, z),
если электроды нанесены на подложку
и инерционную массу (см. рисунок)? Выведите зависимость величины заряда, появляющегося на электродах, от ускорения датчика. Какой должна быть величина инерцион-
–11
ной массы, чтобы получить заряд 10
Кл
при ускорении 10 м/с2? Определите чувствительность датчика.
119
Приложение
Решение. Поскольку ось деформации пьезоэлемента перпендикулярна плоскостям расположения электродов, то исследуемый акселерометр использует пьезоэлемент с продольным типом пьезоэффекта. Исходя из свойств тензора пьезомодуля, можно сказать, что продольный пьезоэффект возможен только вдоль
оси 3. Этой оси исходя из условия задачи соответствует σ
.
3
Уравнение связи вектора поляризации и механического напряжения определяется следующим образом:
⎞
⎛
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎛
⎞
⎛
p
0 0 0 0 d
1
⎜
⎟
⎟ =
p
2
⎟
⎠
p
3
⎜
⎜
0 0 0 d
⎜
⎝
d
31 d31 d33
⎜
⎜
⎝
15
0 0
15
0 0 0
0
⎞
⎟
⎜
0
⎟
⎟
⎜
σ
3
⎟ ⋅
⎟
.
⎜
⎟
⎟
⎜
0
⎠
⎟
⎜
⎟
0
⎜
⎟
⎜
⎠
0
⎝
Следовательно:
= d33 · σ3.
P
3
Для расчета заряда домножим это равенство на площадь S грани пьезоэлемента, тогда:
P
· S = d33 · σ3 · S.
3
Учитывая, что заряд q = P
· S, à ñèëà F = σ3 · S связана с уско-
3
рением по второму закону Ньютона F = m · a, заряд вычисляем
по формуле:
q = d
· m · a.
33
Отсюда искомая величина инерционной массы равна
–11
Êë
10
–12
Êë/Í · 10 ì/ñ
= 2,67 · 10
2
–3
êã.
m =
q
d33 · a
, m =
374 · 10
Чувствительность датчика определяется как производная выходной величины по входной, т. е. для данной задачи это производная заряда по ускорению:
dq
120
E =
da
= d
33
· m.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]