Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Физические основы механики. Электричество. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
41
21
11
21
2
CC
UC
CC
Q
U
.
2
U
2
21
2
1
2
121
2
11
/
CC2
UCCC
2
UC
W
2
1
21
21
/
U
CC
CC
2
1
W
1,51600
105103
105103
2
1
W
66
66
/
i
r
в
r
1
U
111
rIU
1
I
1
r
1
I
iL
1
rr
ε
I
L
r
L
r
V
Рис. 11
А
В
•
ε
Подставив выражение
в формулу (3), получим
.
После простых преобразований найдем
.
В полученное выражение подставим числовые значения и вычислим W′:
мДж.
П р и м е р 8. Потенциометр с сопротивлением r = 100 Ом подключен к
батарее, ЭДС которой ε = 150 В и
внутреннее сопротивление
=50 Ом (Рис. 11). Определить
показания вольтметра с
сопротивлением
= 500 Ом,
соединенного с одной из клемм
потенциометра и подвижным
контактом, установленным
посередине потенциометра.
Какова разность потенциалов
между теми же точками
потенциометра при отключенном вольтметре?
Р е ш е н и е. Показание
вольтметра, подключенного к точкам А и В
(рис.11), определяется по формуле:
, (1)
где
- сила тока в неразветвленной части цепи;
- сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины
потенциометра.
Силу тока
найдем по закону Ома для всей цепи:
, (2)
где
Внешнее сопротивление
- сопротивление внешней цепи.
есть сумма двух сопротивлений:
42
1L
r
2
r
r
. (3)
1
r
2
r
1
r
1
r
1
в1
в
в
1
r2r
rr
r
5,45
5002100
500100
r
1
1,03
5045,550
150
rr
2
r
ε
I
i1
1
1
I
1
r
46,9=45,51,03=U
1
2
I
2
r
I=U
22
2
r
r+r
ε
=U
i
2
50
2
100
50100
150
U
2
max
I
max
P
i
rRI
Сопротивление
параллельного соединения может быть найдено по
формуле:
,
откуда
.
Подставив числовые значения, найдем
Ом.
Подставив в выражение (2) правую часть равенства (3), определим силу тока
А.
Если подставить значение
и
в формулу (1), то можно определить
показание вольтметра
В.
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре
равна произведению силы тока
на половину сопротивления
потенциометра, т. е.
или
.
Подставляя сюда числовые значения, получим
В.
П р и м е р 9. ЭДС батареи ε = 12 В. Наибольшая сила тока, которую может
дать батарея,
= 6 А. Определить максимальную мощность
, которая
может выделиться во внешней цепи.
Р е ш е н и е. Воспользуемся законом Ома для полной цепи
,
43
где ε – ЭДС источника;
i
r
i
max
r
I
2
i
2
2
rR
R
RIP
0
dR
dP
0
rR
rR2RrR
dR
dP
4
i
i
2
i
2
i
2
i
rR2RrR
i
rR
18
4
I
r4
PP
max
i
2
rR
max
i
0I0
1
Q
2
Q
1
2
Q
Q
trIQ
2
dtrIdQ
2
tkI
R- сопротивление внешней цепи;
- внутреннее сопротивление источника тока.
Максимальное значение тока достигается в случае, когда
R = 0; т. е.
.
Мощность, выделяемая в цепи, в общем виде определяется формулой
.
Для того чтобы определить экстремальную мощность, воспользуемся
условием
, в результате дифференцирования дробного выражения
получим
.
Следовательно, для равенства нулю первой производной достаточно, чтобы
= 0, т. е. экстремальная мощность выделяется в цепи
при условии
, а максимальная мощность выделяется в цепи при
максимальном токе, поэтому можно записать
Вт.
П р и м е р 10. Сила тока в проводнике сопротивлением r = 20 Ом нарастает
в течение времени Δt = 2 с по линейному закону от
Определить теплоту
за вторую секунды, а также найти отношение
Р е ш е н и е. Закон Джоуля- Ленца в виде
, выделившуюся в этом проводнике за первую и
.
справедлив для случая
до I = 6 А.
-
постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то
указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и
записывается в виде
. (1)
Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае
, (2)
44
Рис. 12
h
h
B
V
V
V
║
где k- коэффициент пропорциональности, численно равный приращению
2
6
t
I
k
dttrkdQ
22
1
t
2
t
2
1
t
t
3
1
3
2
222
ttrk
3
1
dttrkQ
0t1, 1t2
600120
2
6
3
1
Q
2
1
2
Q
1t1
2t2
4201-820
2
6
3
1
Q
2
2
7
60
420
Q
Q
1
2
,Тл0,1В
м.101,4мм1,4h;м102мм0,2RТл;0,1B
-3-4
силы тока в единицу времени, т. е.
А/с.
С учетом (2) формула (1) примет вид
. (3)
Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени
Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от
до
.
При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, пределы
интегрирования
с и, следовательно,
Дж.
При определении теплоты
пределы интегрирования
с,
с и
Дж.
Следовательно,
,
т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую.
П р и м е р 11 . Электрон , влетевший в однородное магнитное поле под
некоторым углом к линиям индукции
движется по винтовой
линии с радиусом R=0,2 мм и шагом h =1,4 мм. Определить скорость
электрона .
Дано:
Найти : v
Р е ш е н и е. На
движущийся в
магнитном поле электрон
(рис. 12) действует сила
Лоренца,
перпендикулярная
45
векторам магнитной индукции B и скорости электрона v .
.αBvгде,B vsinBveF
^^
v
||
v
cosαvv,sinαvv
||
)(1.
Be
vm
R;
R
vm
BveBsinαvesinαBve
2
.Tvh
||
v
R2π
T
.||
v
Be
m2π
h
,BR
m
e
αsinvv
.
2π
h
B
m
e
αcosvv
||
2
2
2
4π
h
RB
m
e
v
.
с
м
м
Клм
сН
Кг
Кл
мТл
кг
Кл
4π
h
RB
m
e
v
2
2
2
2
Абсолютная величина силы Лоренца выражается формулой
Известно, что постоянная сила, перпендикулярная скорости, вызывает
движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное
поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной
вектору В, со скоростью
Одновременно он будет двигаться и вдоль поля со скоростью
.
:
В результате происходит движение электрона по винтовой линии
Шаг винтовой линии, т.е. путь, проходимый электроном вдоль поля за время
одного оборота,
Поскольку
, для шага получаем выражение
(2)
Выразим составляющие скорости электрона из (1) и (2):
Исключая угол α, находим v:
Проверим размерность результата:
Рассчитаем результат:
46
31
19
2
62
2
4
109,1
101,6
4π
101,4
102v
м/с101,6
с
м
6
см1в
мкВ3Ux
Tл1B
м10см1в В,1033ммкU ,Тл1B
26
x
x
U
v
л
F
.BveFл
л
F
x
U
.EeBve
в
U
Ex
BвvU
x
venj
.
en
j
v
,BjвRUx
Рис. 13
b
F
л
V
B
+ + +
+
_
_
_
e
‒
j =nev
‒
П р и м е р 12. При наблюдении эффекта Холла в пластине с шириной
(рис. 13) холловская разность потенциалов составила
.Определить скорость
упорядоченного движения носителей тока v,
если магнитная индукция
.
Дано:
Найти: v
Р е ш е н и е . Получим выражение для
Пусть ток течет по пластине, помещенной в
магнитное поле, перпендикулярное ее
широким граням. На носители тока, имеющие
скорость упорядоченного движения
действует сила Лоренца
Сила
перпендикулярна v, она отклоняет носители к ”горизонтальным”
:
(см. рис. 13) граням, вызывая перераспределение зарядов и, следовательно,
дополнительное поперечное электрическое поле E и связанную с ним
холловскую разность потенциалов
. Величину последней найдем из
условия стационарности возникшего электрического поля, выражаемого
равенством силы Лоренца силе, действующей со стороны этого поля :
Поскольку
получим
(1)
.
,
. (2)
Скорость v можно выразить из формулы для плотности тока
n – концентрация носителей тока:
(3)
С учетом этого имеем
(4)
, где
47
где
en
1
R
.
Bв
U
v
x
с
м
сВм
мВ
мТл
B
Bв
U
v
2
x
с
м
103
с
м
101
103
v
4
2
6
см10а
A100I
90
1
3
2
м0,1a,3,90,Tл1B,А100I
21
.21
A ,А
,sinBpM
m
m
p
m
p
0M
0
m
p
Рис. 14
a
M
B
φ
P
m
a
-постоянная Холла.
Ответ на вопрос задачи получим из формулы (2):
Проверим размерность результата:
Рассчитаем результат:
П р и м е р 13. Плоский квадратный контур со
стороной
магнитном поле с индукцией B=1Тл (рис. 14).
Определить работу A, совершаемую внешними
силами при повороте контура относительно оси,
проходящей через середину его
противоположных сторон, на угол: 1)
, по которому течет ток
, свободно установился в однородном
;
2)
. При повороте контура сила тока в
нем поддерживается неизменной.
Дано:
Найти:
Р е ш е н и е . Как известно, на контур с током в магнитном поле действует
момент сил
где
-магнитный момент контура, B –магнитная индукция; - угол
между вектором
, направленным по нормали к контуру, и вектором B.
(1)
По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в
магнитном поле. При этом момент сил равен нулю
т.е. вектора
и B совпадают по направлению.
, а значит,
,
48
Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то
dMAd
2
m
aISIp
2
aS
dsinaBIAd
2
90
1
1
A
2
2
π
0
2
2
π
0
2
aBIcosaBIdsinaBI
3
2
2
sin
2
2
2
0
2
2
aBI
2
1
daBIA
2
2
Дж,1Дж0,11100A
2
1
мДж1,37Дж0,0520,1100
2
1
A
22
2
,ФФIΔФIA
21
1
Ф
2
Ф
Гц1,5n
Рис. 15
B
n
ω
l
l∙∆φ
∆φ
α
B
возникающий момент сил, определяемый формой (1), будет стремиться
возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет
совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный
(зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим формулу
работы в дифференциальной форме
Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что
где I - сила тока в контуре,
1. Работа при повороте на угол
=
2. Работа при повороте на угол
угла
, заменим в выражении (2)
Здесь
следует выразить в радианах .
- площадь контура, получим
(2)
:
(3)
. В этом случае, учитывая малость
:
,
Рассчитаем результат:
.
Отметим, что задача могла быть решена и другим способом. Известно, что
работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле
равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока
через контур
где
-магнитный поток ,
пронизывающий контур до перемещения ;
-то же после перемещения .
П р и м е р 14. В однородном магнитном
поле (B = 0,2 мТл) равномерно вращается
с частотой
проводник длиной
49
м1l
, с током
А2I
60α
Гц1,5n,60αм,1lA,2IмТл,0,2B
.ΦΔIAΔ
.
tΔ
ΑΔ
N
tΔ
ΔΦ
IN
ΔΦ
SΔ
tΔ
tΔωl
2
1
Δll
2
1
SΔ
2
n2
SΔ
.tΔωlB
2
1
SΔΒΔΦ
2
nn
.cosαBIlnπωlBI
2
1
N
22
n
.ВтТлАмсBIlnN
212
.Bтм1,88Bт1018,8Вт0,21021,53,14N
43
. Ось вращения проходит через один из концов
проводника и составляет угол
c вектором B (рис.15). Определить
мощность N, затрачиваемую на вращение проводника.
Дано:
.
Определить : N.
Р е ш е н и е . Работа перемещения проводника с током в магнитном поле
равна произведению силы тока на изменение потока индукции магнитного
поля через площадь поверхности, которую описывает проводник при своем
движении :
(1)
Мощность определяется работой, совершаемой за единицу времени :
(2)
Используя (1), получим выражение для мощности, затрачиваемой на
перемещение проводника,
Для нахождения
проводник за время
где
Магнитный поток через площадь
определим площадь
(см. рис. 15):
, (4)
равен
(5)
. (3)
, которую описывает
Подставив (5) в (3) , получим необходимое выражение искомой мощности
Проверим размерность результата :
Произведем вычисления:
50
П р и м е р 15. В однородном магнитном поле
Tл0,1B
об/с10n
1000N
2
см150S
,i
ε
.30
об/с10n , Tл0,1B
.30,м101,5см150S,10N
2-223
i
ε
i
ε
,
t
ψ
ε
i
ΦNψ
.
t
Φ
Nε
i
,tωcosSBΦ
.tsinωωSBNε
i
.nπ2ω
.tsinωSnNВπ2ε
i
Рис. 16
n
B
φ = ωt
равномерно с
частотой
вращается рамка, содержащая
витков, плотно
прилегающих друг к другу (рис. 16). Площадь
рамки
значение ЭДС индукции
углу поворота рамки
. Определить мгновенное
соответствующее
Дано:
Найти
.
Р е ш е н и е . Мгновенное значение ЭДС
индукции
определяется основным
уравнением электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла :
(1)
где ψ- потокосцепление.
,
Потокосцепление ψ связано с магнитным потоком Φ и числом N
витков, плотно прилегающих друг к другу, соотношением
.
Подставляя выражение для ψ в формулу (1), получим
(2)
При вращении рамки (рис. 16) магнитный поток Φ, пронизывающий
рамку в момент времени t, изменяется по закону
где B –магнитная индукция, S - площадь рамки, ω - круговая (или
циклическая) частота.
Подставив в формулу (2) выражение для и продифференцировав по
времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции
(3)
Круговая частота ωсвязана с частотой вращения n соотношением
Подставляя значение ωв формулу (3),получим
(4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]