Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.1. Физические основы механики. Электричество. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
2
Um
2
Um
2
Vm
2
Vm
2
22
2
11
2
22
2
11
, (1)
1
m
2
m
1
V
2
V
1
U
2
U
22112211
UmUmVmVm
22112211
UmUmVmVm
1
U
2
U
21
22121
1
mm
Vm2V)mm(
U
21
11212
2
mm
Vm2V)mm(
U
с/м5V1
с/м4V
2
,с/м8,5
32
)4(325)32(
U
1
.с/м2,3
32
522)4)(23(
U
2
с/м5V1
с/м4V2
с/м8,3
32
4325)32(
U
1
.с/м8,4
32
5224)23(
U
2
Где
и
и
и
- массы тел;
- скорости тел до соударения;
- скорости тел после соударения.
Согласно закону сохранения импульса в замкнутой системе
. (2)
Так как движение происходит по одной прямой, то можно перейти от
векторного уравнения (2) к алгебраическому:
. (2
Решая систему двух уравнений (1) и (2/) относительно
,
.
и
получим
/
)
Условимся считать направление движения первого тела положительным.
1. Если тела движутся навстречу друг другу, то
и
. Тогда
При столкновении тела меняют направления скоростей на обратные.
2. Если первое тело догоняет второе, т.е оба тела движутся в одну сторону,
то
и
и
,
В данном случае после столкновения направление движения тел не
меняется.
Б. Тела абсолютно неупругие.
22
При абсолютно неупругом столкновении нет упругих сил, которые
U)mm(VmVm
212211
U)mm(VmVm
212211
.
mm
VmVm
U
21
2211
с/м5V1
с/м4V
2
с/м4,0
32
)4(352
U
с/м5V1
с/м4V2
с/м4,4
32
4352
U
TTTW
21
2
U)mm(
T;
2
Vm
T;
2
Vm
T
2
21
2
22
2
2
11
1
2
U)mm(
2
Vm
2
Vm
W
2
21
2
22
2
11
.4542425
2
)4,0)(32(
2
43
2
52
222
ДжW
заставили бы столкнувшиеся тела отталкиваться друг от друга. Поэтому
после столкновения они будут двигаться вместе с одной скоростью U. Из
закона сохранения импульса следует
(3)
Так как движение происходит по одной прямой, то можно перейти от
векторного уравнения к алгебраическому:
. (3
/
)
откуда
Условимся считать направление движения первого тела положительным.
Если тела движутся навстречу друг другу, т.е. в противоположные стороны,
то
и
, следовательно
После столкновения тела движутся в ту же сторону, в которую двигалось
второе тело, так как числовое значение его импульса было больше, чем у
первого тела.
2.Если первое тело догоняет второе, т.е тела движутся в одну сторону, то
и
, следовательно
Направление движения тел остается неизменным.
3.При неупругом столкновении часть энергии переходит во внутреннюю,
поэтому кинетическая энергия тел после соударения стала меньше на
величину
,
где
Итак,
Подставляя числовые значения в формулу (4) в первом случае получим
(4)
23
Во втором случае будем иметь
г80m
кг080,0г80m
кг1,0г100m
1
кг2,0г200m
2
gm
1
1
T
.amTgm
111
.amTgm
222
r'T
1
r'T
2
r
a
Ir'Tr'T
12
2
mr
2
1
I
'T
1
1
T
'T
2
2
T
ДжW 3036,192425
)4,4)(32(
2
43
2
52
222
Рис. 3
O
r
m1g
m2g
X
T
1
T
׳
T
2
T
׳
П р и м е р 6. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу
(рис.3) перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы
массами m1=100г и m2=200г. С каким ускорением будут двигаться грузы,
если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.
Дано:
;
.
Найти: a.
Р е ш е н и е .Воспользуемся основными уравнениями
динамики поступательного и вращательного
движений. Для этого рассмотрим силы, действующие
на каждый груз в отдельности и на блок. На первый
груз действует две силы: сила тяжести
упругости (сила натяжения нити)
.Спроектируем
; и сила
эти силы на ось X, которую направим вертикально
вниз, напишем уравнение движения (второй закон
Ньютона) в координатной форме:
;
(1)
Уравнение движения для второго груза запишется аналогично
(2)
Под действием двух моментов сил
и
относительно оси О,
перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение
. Согласно основному уравнению динамики вращательного
движения
(3)
Где
- момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси
О.
Сила
силе
согласно третьему закону Ньютона по абсолютной величине равна
. Соответственно сила
по абсолютной величине равна силе
.
24
Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо
'1T
'2T
1
T
2
T
r
a
mr
2
1
r)amgm(r)amgm(
2
1122
r
g
2
m
mm
mm
а
12
12
1
m
2
m
.с/м88,2с/м81,9
г)
2
80
100200(
г)100200(
a
22
м2,0R
кг50m
мин/об480n1
с50t
M
м2,0R
кг50m
c/об8мин/об480n
1
0n2
с50t
,dtMdLZZ
Z
dL
Z
M
constMZ
.tML
ZZ
и
,
выражения для
и
, получив их предварительно из уравнений (1)и (2):
После сокращения на
и перегруппировки членов найдём искомое
ускорение
. (4)
Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная.
Поэтому числовые значения масс
,
и m можно выразить в граммах,
как они даны в условии задачи. Числовые значения ускорения g надо взять
в единицах СИ. После подстановки получим
П р и м е р 7. Маховик в виде сплошного диска радиусом
раскручен до частоты вращения
и предоставлен
и массой
самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через
Дано:
. Найти момент
;
сил трения.
;
;
;
.
Найти: M.
Р е ш е н и е .Для решения задачи воспользуемся основным уравнением
динамики вращательного движения в виде
(1)
где
– изменение момента импульса маховика, вращающегося
относительно оси Z, совпадающей с геометрической осью маховика, за
интервал времени dt ;
-момент внешних сил (в нашем случае момент сил трения),
действующих на маховик относительно той же оси.
Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени
(
), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к
выражению
(2)
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение
момента импульса
25
,IL
ZZ
(3)
Z
I
,ItM
ZZ
.
t
I
M
Z
Z
2
Z
mR
2
1
I
,12
2
n
n2
).nn(2n2n2
121212
z
I
t
)nn(mR
M
12
2
Z
мН
с
смкг
t
)nn(mR
M
12
12
2
.мН1мН
50
)80()2,0(5014.3
M
2
Z
кг180M
мR 5,1
минобn /10
1
где
– изменение угловой скорости маховика;
– момент инерции маховика относительно оси Z.
Приравняв правые части равенства (2) и (3), получим
Откуда
(4)
Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по
формуле
Изменение угловой скорости
начальную n1 частоты вращения, пользуясь соотношением
выразим через конечную
и
Подставив в формулу (4) найденные выражения
и
, получим
. (5)
Выполним проверку размерности результата:
Подставляя числовые значения в формулу (5), получим:
Знак минус показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее
действие.
П р и м е р 8. Горизонтальная платформа в виде диска массой
радиусом
вращается с частотой
около вертикальной
и
оси без трения.
26
На краю платформы стоит человек, масса которого
кг60m
2
n
2
R
r2
кг180M ; м5,1R
мин/об10n1
кгm 60
Rr1
2
R
r2
2
n
Z
L
,constIL
ZZ
Z
I
21Z
III
1
I
2
I
const)II(
21
')'I'I()II(
2121
.MR
2
1
'II
2
11
,mRI
2
2
.
4
mR
2
R
m'I
2
2
2
. С какой
частотой
платформы, находящуюся на расстоянии
будет вращаться платформа, если человек перейдёт в точку
от центра платформы?
Момент инерции человека рассчитать как для материальной точки. Какую
работу совершит человек при этом переходе?
Дано:
Найти:
; A.
;
;
;
;
.
Р е ш е н и е .Так как силы тяжести платформы и человека параллельны
вертикальной оси, то момент внешних сил относительно этой оси вращения
Z, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю.
При этом условии момент импульса
системы платформа-человек
остаётся постоянным
(1)
где
– момент инерции платформы с человеком относительно оси Z,
–угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в
состав системы, поэтому
, где
- момент инерции платформы;
- момент инерции человека.
С учетом этого равенство (1) примет вид
или
(2)
Здесь нештрихованные значения величин относятся к начальному
состоянию, штрихованные - к конечному состоянию.
Момент инерции платформы (сплошного диска) относительно оси Z при
переходе человека не изменяется:
Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если
рассчитывать момент инерции человека как для материальной точки, то
а
27
Подставим в формулу (2) найденные выражения моментов инерции, а также
1
n2
2
n2'
,n2
4
mR
2
MR
n2mR
2
MR
2
22
1
2
2
.
4
m
2
M
nm
2
M
4
m
2
M
R2
nm
2
M
R2
n
1
2
1
2
2
.мин/об3,1410
4
60
2
180
60
2
180
n
2
2
1
22
2
2
2
2
22
2
121
2
221
12
n4mR
2
MR
n4
4
mR
2
MR
2
1
2
II
2
'I'I
TTA
.nm
2
M
n
4
m
2
M
R2
2
1
2
2
22
2
2
с
мкг
.Дж30
60
10
60
2
180
60
3,14
4
60
2
180
5,114,32A
22
2
м2l
м1,0h
выразим угловые скорости через частоту вращения
и
:
откуда
(3)
После подстановки числовых значений получим
Работу, совершаемую человеком при переходе, найдем как изменение
кинетической энергии системы платформа–человек:
(4)
Из формулы (4) видно, что наименование результата получится в
т.е. в джоулях.
Подставляя числовые значения в (4), получим
,
П р и м е р 9. Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с
наклонной плоскости длиной
и высотой
? Начальная
скорость
28
обруча
0V0
м2l
м1,0h
constF
равн
consta
,
2
V
2
VV
V
o
0Vo
tVl
,
V
l2
V
l
t
,0VVV
ЛПA
П
V
Л
V
VVV
ПЛ
.
2
mV
2
mV
r2
Vmr
2
mV
2
I
2
mV
TTT
Л
2
П
2
2
Л
22
П
2
2
o
П
2
ВРАЩПОСТ
,VVV
ЛП
2
22
mV
2
mV
2
mV
T
2
0
mVTTTT
,mgh
,mghmV2
ghV2
Рис. 4
О
V
V
П
V
Л
l
h
A
.
Пройденный путь
(1)
так как
Дано:
Найти: t.
Р е ш е н и е .Движение
обруча вдоль наклонной
плоскости можно считать
равноускоренным, так как
равнодействующая всех
внешних сил
При равноускоренном
движении
, откуда искомое время
;
.
.
, а
Чтобы найти t, необходимо рассчитать конечную скорость V обруча у
основания наклонной плоскости (рис. 4). Скатывание происходит без
скольжения, поэтому малыми силами трения качения мы можем пренебречь.
Кроме того, так как нет скольжения, то
(2)
где
- скорость поступательного движения обруча,
- линейная
скорость движения точки касания А обруча с плоскостью.
Из уравнения (2) получим, что
.
При качении полная кинетическая энергия складывается из кинетической
энергии поступательного и вращательного движения
Так как
то
В системе действуют только консервативные силы тяжести, поэтому
полный запас механической энергии не меняется, а возрастание
кинетической энергии
потенциальной
т.е.
численно равно убыванию
откуда
.
(3)
Подставляя (3) в (1) , имеем
29
.
gh
l2
V
l2
t
(4)
.c
M
cM
M
c
M
M
gh
l
t
2
l
.c404,4
98,0
4
1,08,9
22
t
-8
1
104Q
drdQ
Рис. 5
Q
1
l
a
dr
r
•
F
Проверим размерность результата:
Рассчитаем значение ,подставив в данное значение
и h:
ЭЛЕКТРОСТАТИКА, ПОСТОЯННЫЙ ТОК И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
П р и м е р 1. Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно
распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 10
см от ближайшего конца находится точечный заряд Q1 = 40 нКл, который
взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную
плотность заряда на стержне.
Дано: l = 0,2 м; а = 0,1 м;
Кл; F = 6∙10-6 Н
Найти: .
Ре ш е н и е. Сила взаимодействия
F заряженного стержня с
точечным зарядом Q1 зависит от
линейной плотности заряда на
стержне. Зная эту зависимость,
можно определить . При
вычислении силы F следует иметь
в виду, что заряд на стержне не
является точечным, поэтому закон
Кулона непосредственно
применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом.
Выделить на стержне (рис. 5) дифференциально малый участок dr с зарядом
. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда согласно
закону Кулона
30
Рис. 6
α
A
E
E
1
E2
r
1
r
2
Q
2
Q1
d
2
0
1
r4
drQ
dF
.
laaεπ4
lτQ
la
1
a
1
επ4
τQ
r
dr
επ4
τQ
F
0
1
0
1
la
a
2
0
1
lQ
Flaa4
1
0
м
Кл
мКлмН
НмКл
2
22
9
0
109
1
4
2,0104109
1060,20,10,1
89
6
9
105,2
9
1
10Q
9
2
102Q
E
E
1
Е
2
Е
Интегрируя это выражение в пределах от а до а + l, получим
,
откуда интересующая нас линейная плотность заряда
.
Проверим правильность наименования результата:
.
Учитывая, что
Ф/м, подставим числовые значения в
полученную формулу и произведем вычисления:
Кл/м =
Кл/м = 2,5 нКл/м.
П р и м е р 2. Два точечных электрических заряда Q1 = 1 нКл и Q2 = -2 нКл
находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Найти
напряженность E и потенциал поля,
создаваемого этими зарядами в точке А,
удаленной от заряда Q1 на расстояние r1 =
9 см и от заряда Q2 на r2 = 7 см.
Дано:
Кл;
Кл; d =
0,1 м; r1 = 0,09 м; r2 = 0,07 м.
Найти:
и .
Р е ш е н и е. Согласно принципу
суперпозиции электрических полей,
каждый заряд создает поле независимо от
присутствия в пространстве других
зарядов. Поэтому напряженность
электрического поля в искомой точке
может быть найдена как геометрическая
сумма напряженностей
и
полей,
создаваемых каждым зарядом в отдельности
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]