Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика, молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие
.pdf
Дано
I
80m
кг
м
1, 0R
20n
об/мин
1
2,94 кг мI
ч1
0,98 кг мI
ч2
?n
2
СИ Решение
На рассматриваемую систему
«платформа + человек + гири» дей-
1
об/с
n
1
3
2
2
ствуют внешние силы: силы тяжести и
сила реакции опоры (трением пренебрегаем).
Указанные силы направлены вдоль
оси вращения и не создают вращающих моментов. Поэтому для данной системы можно применить закон сохранения момента импульса:
Здесь
I
момент инерции системы «платформа + человек + гири» в
1
первом положении;
нии;
и
1
угловые скорости вращения системы в соответствую-
2
II
11 2 2
момент инерции системы во втором положе-
2
. (1)
щих положениях.
Момент инерции – величина аддитивная, следовательно, момент
инерции системы складывается из моментов инерции элементов, ее составляющих, т. е. в начальном положении:
II I
1 пл ч1
61
, (2)
и в положении, когда человек опустил руки:
I
II
2 пл ч2
. (3)
По условию задачи платформу можно считать однородным диском,
следовательно,
2
mR
Угловая скорость
I
пл
и частота вращения n связаны соотношением:
ω 2πn
. (4)
2
. (5)
Подставляя выражения (2), (3), (4), (5) в (1) и преобразуя полученное
n
выражение, найдем искомую величину
22
mR mR
22
(2)(2)mR I n mR I n
2π 2π
In I n
ч11 ч22
22
ч11 ч22
nn
mR I
21
mR I
:
2
;
;
2
2
ч1
2
.
2
ч2
Легко убедиться, что размерность левой и правой части совпадают.
Проведем вычисления:
2
Ответ:
180 1 2 2,94 85,88
n
2
0,35n
2
2
3245,88
80 1 2 0,98
об/с.
0,35
об/с.
Пример 7. С какой скоростью двигались в K-системе отсчета часы,
если за время t = 5,0 с (в K-системе) они отстали от часов этой системы
на Δt = 0,10 с?
62
Дано
K
t = 5,0 с
Δt = 0,10 с
Решение
Свяжем систему отсчета
с движущимися часами.
?v
где
– промежуток времени, измеренный часами, связанными с дви-
t
0
t
t
0
1
,
2
v
c
жущейся системой отсчета (собственное время); t – тот же промежуток,
измеренный часами, связанными с неподвижной системой отсчета.
Разница в показаниях часов будет определяться выражением
2
v
Δ 1.
ttt tt
0
c
Проведя серию математических преобразований, получим:
22
vt
1 1
ct
Δ
;
1 1 Δ (2 Δ ).
vc tt t
Проверка по размерности очевидна:
2
Δ
tc
tt
м
[] .
v
с
Проведем вычисления:
8
310 м
v
0,1 9,9 0,597 10 0,60 10 м/c.
5 с
88
Ответ:
0,60 10 м/c.v
8
Пример 8. Собственное время жизни некоторой нестабильной ча-
стицы
t
= 10 нс. Найти путь, который пролетит эта частица до рас-
0
пада в лабораторной системе отсчета, где время ее жизни составляет
t = 20 нс.
63
Дано
K
K
10,0 10 сt
0
20,0 10 с
t =
?l
t
где
0
()tt
0
– собственное время жизни; t – время жизни в системе отсчета K
.
Найдем путь, пройденный частицей в системе :K
Решение
9
1 способ
В системе отсчета
9
частица покоится, в системе отсчета
жется со скоростью
t
1
t
0
дви-
K
.v
,
2
v
c
.ltv
Для нахождения скорости движения частицы воспользуемся уравнением, связывающим собственное время с временем жизни в лабораторной системе отсчета:
tt
00
tvc
1
, 1 .
2
v
c
2
t
Тогда пройденное (в системе K) частицей расстояние будет определяться выражением
2
t
ltvtc ct t
1.
0
t
Проверка по размерности очевидна:
l
22
0
м
2
с = м.
с
2 способ
Для решения поставленной задачи учтем, что интервал между событиями является инвариантной величиной. Следовательно,
ss
.
64
K
12( ) 12( )
Интервал в лабораторной системе отсчета:
E
E
s с tl интер-
12( )
K
вал в собственной системе отсчета (частица покоится):
Тогда
22 2 22
0
,с tl с t следовательно
22
.lct t Получили такой
0
же результат, как и в первом способе.
Проведем вычисления:
3 10 400 10 100 10 3 4 1 3 3 5,20 м.l
818 18
22 2
,
s с t
12( ) 0
.
K
22
Ответ:
5, 20 м.l
Пример 9.
Какова скорость микрочастицы, если ее кинетическая
энергия в 9 раз больше энергии покоя?
Дано
Т =
?v
9
0
Решение
Энергия покоя частицы
mc
0
Кинетическая энергия частицы
9Т E
По условию задачи
.
0
2
.
Т EE
.
0
Следовательно, полная энергия частицы в условиях задачи равна
10 10 .E Т EE mc
00
Полная энергия частицы определяется выражением
2
mc
Тогда
2
mc
10 .
2
v
1
2
c
2
E
Следовательно, для скорости частицы получим
0,99 0,995 2, 98 10 м/c .vc c
8
2
mc
1
.
2
v
2
c
Ответ:
2,98 10 м/c м/c.v
8
65
Пример 10. Неподвижная частица массой
M
M
одинаковые частицы массой
0, 4mM
жется каждая из частиц.
распадается на две
. Найти скорость, с которой дви-
Дано
?v
0, 4mM
Решение
Поскольку после распада образовались две одинаковые частицы, в соответствии с законом сохранения импульса скорость образовавшихся частиц будет одинаковой.
Согласно закону сохранения энергии суммарная полная энергия образовавшихся частиц должна быть равна энергии покоя исходной частицы:
2
mc
2.
1
2
v
2
c
, что при подстановке дает:
22
2
v
2
c
2
c
По условию задачи
2
Mc
2
Mc
0, 4mM
Мcv
0, 4
210,8.
1
Решая полученное уравнение для скорости частицы, будем иметь:
0,6 .vc
Ответ:
0,6 1,8 10 м/с.vc
8
Пример 11. Газовый термометр состоит из шара с припаянной
к нему горизонтальной стеклянной трубкой. Капелька ртути, помещенная в трубку, отделяет объем шара с газом от атмосферы. Площадь по-
перечного сечения трубки
находилась на расстоянии
278T
2
К – на расстоянии
2
.0,10 смS
При
30x
1
2
см от поверхности шара, при
50x
см. Найтиобъем шара V. Давление
273 КT
1
капелька ртути
считать постоянным.
66
Дано
р
0,1 м0 сS
СИ
2
10 мS
52
Решение
К
К
см
0,30x
1
м
0,50x
2
м
273T
1
30x
см
1
278T
2
50x
2
?V
Во время измерения считается, что внешнее давление не изменяется
и, поскольку система находится в состоянии термодинамического рав-
новесия, давление внутри термометра равно внешнему давлению
0
следовательно, процесс изменения температуры можно считать изобарическим.
Запишем для этого процесса закон Шарля, связывающий начальное
и конечное состояние:
VV
12
ТТ
12
, (1)
где
VVSx
11
VVSx
22
, (2)
. (3)
Подставляя выражения (2), (3) в (1) и преобразуя полученное выра-
V
жение, найдем искомую величину
:
,
VSx VSx
12
ТТ
12
TV T Sx TV TSx V
221112
T V Sx T V Sx
;( )( );
211 2
(4)
;.
STx Tx
()
12 21
Т T
21
Проверим полученную формулу по размерности:
2
м (Км)
V
К
67
3
.
м
Подставляем численные значения физических величин в (4) и полу-
р
р
р
чаем
5
10 (273 0, 5 278 0,3)
V
5
10 (136,5 83,4)
278 273
10,62 10 0,11 10 м
533
.
5
Ответ:
0,11 10 мV
33
.
3
Пример 12. В баллоне объемом 1,2
м
находится смесь 10 кг азота
и 4 кг водорода при температуре 27 °С. Определить давление и молярную массу смеси.
Дано
1, 2 мV
3
СИ
Решение
Для решения задачи воспользуемся за-
коном Дальтона (давление смеси газов
10 кгm
1
4, 0 кгm
2
27 Сt
?р
μ ?
300 КT
равно сумме их парциальных давлений):
рр
Для нахождения парциальных давле-
.
12
ний компонентов смеси воспользуемся
уравнением Клапейрона‒Менделеева,
применив его к азоту и водороду:
где
– молярная масса азота,
1
водорода,
8,31 ;
R
2
Дж
моль К
m
1
VRT
1
кг
3
210 ;
;
1
1
R – универсальная газовая постоянная,
моль
Т – температура газа;
m
2
VRT
2
2
кг
3
28 10 ;
моль
– V
объем сосуда;
,
– молярная масса
2
и рр
12
–
парциальные давления азота и водорода соответственно. Парциальное
68
давление ‒ это давление, которое бы производил газ, если бы только он
р
R
R
один находился в сосуде.
С учетом записанных уравнений для давления смеси газов получим
mm mm
RT RT RT
12 12
р
VVV
12 12
.
Проверим полученную формулу по размерности:
Дж К кг моль Дж Н м Н
[] = Па.
р
моль К м м м м
3332
кг
Произведем вычисления:
8,31 300 10 4
р
1, 2
28 10 2 10
33
6
4,9 10 Па.
Для нахождения молярной массы смеси запишем уравнение Кла-
пейрона‒Менделеева:
mm
12
VRT
см
.
Следовательно,
mm
см
12
рV
.
T
Подставив в полученное уравнение найденное ранее выражение для
давления смеси газов, для молярной смеси газов будем иметь
()
Tm m m m
см
12 12
VRT
V
Проверка по размерности очевидна:
1
mm
12
12
см
69
mm
12
12
кг
моль
.
.
Выполним вычисления:
s
s
s
см
10 4
28 10 2 10
10 4 кг
33
5,9 10 .
3
моль
Ответ:
р
63
4,9 10 Па, 5,9 10 .
см
кг
моль
Пример 13. При температуре 1000 К возбуждены все степени сво-
боды четырехатомных нелинейных молекул, образующих идеальный
газ. Найти среднюю энергию движения молекулы такого газа. Какая
часть этой энергии приходится на долю поступательного, вращательного и колебательного движения? Определить внутреннюю энергию одного моля такого газа.
Дано
1000 КT
Решение
Средняя энергия молекулы газа определяется выра-
жением
4
1 моль
?
?
пос
?
вр
?
ол
к
?U
где Т – температура газа;
1, 38 1 0k Дж/К; i – число степеней свободы моле-
23
кулы.
i
,
kT
2
k
– постоянная Больцмана,
Число степеней свободы молекулы может быть найдено по формуле
2,ii i i
где
пос вр
i
3 –( ),
кол
пос вр кол
3, 3ii (так как по условию задачи молекула нелинейная);
ii где s ‒ число атомов в молекуле.
пос вр
По условию задачи молекулы, образующие газ, являются четырех-
4
атомными, следовательно,
3 3 2 6 18.i
,
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]