Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физика. Механика, молекулярная физика и термодинамика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение

23 0,5

движения имеет вид

tt  

скорости и ускорения точки от времени. Определить момент, в который скорость точки обращается в нуль.

м. Найти уравнения зависимости

Дано

23 0,5

() 0vt 

()v

()aft

?t 

tt  

t

Решение

Для решения поставленной задачи учтем, что при одномерном движении проекция скорости материальной точки

;



проекция ускорения



tvd

Следовательно, для нашего случая:

dx d t t



dt dt



Для нахождения момента

(2 3 0,5 )

 

(3 )

dt dt

vt

;



;

a 

м/с; (1)

(2)

м/с .

, в который скорость обращается в нуль,

воспользуемся полученным уравнением (1) и условием чим:

() 0vt 

. Полу-

() 3 0vt t 

, следовательно,

3t 

с.

Ответ:

vt

м/с;

a 

3t 

;мс1/

с.

Пример 2. Материальная точка движется по окружности радиусом

5,0 м. Зависимость дуговой координаты от времени задана уравнением

Ct

, где

.0,10 м/сC 

Найти ускорение материальной точки, его

тангенциальную и нормальную составляющую в момент, когда ско-

2, 7v 

рость точки равна

Дано

a 

5,0R 

Ct

0,10 м/сC 

2, 7v 

?a

?a 

м/с

висимость скорости от времени определяется выражением:

Полученное выражение (1) позволит найти момент

рость равна

м/с.

Решение

Для решения поставленной задачи учтем, что за-



Для нашего случая имеем:



()ds d Ct

;

м/с. (1)

3vCt

dt dt

, когда ско-

3vCt

, следовательно,

 . (2)

3tC

Тангенциальная составляющая ускорения направлена по касательной к траектории движения. Она (тангенциальная составляющая) характеризует быстроту изменения скорости по величине и определяется выражением





С учетом (1) получим уравнение зависимости тангенциальной со-

ставляющей ускорения от времени:

(3 )d Сt







6аСt





. (3)

Подставив (2) в (3), получим тангенциальное ускорение в момент

аС



Проведем вычисления

v Сv

;

СС



12 0,1 2 .,7 1, м/с8а

12аСv

 . (4)



Нормальная составляющая ускорения в данной точке траектории направлена по нормали к центру кривизны. Она характеризует быстроту изменения скорости по направлению и определяется выражением



Для момента

Проверка по размерности очевидна:

Проведем вычисления

получим



а 

. (5)

а 



2,7

1, 4 .м/с58 1,5

мм

смс



Тангенциальная и нормальная составляющая ускорения в данной точке траектории взаимно перпендикулярны друг другу.

Получим с учетом теоремы Пифагора и выражений (4) и (5) выражение для пол-

ного ускорения в момент

 .

ааа Cv

111 1



+==.

см



2,7

.2,3 м/са 

Проверка по размерности

Проведем вычисления

Ответ:

;1, 8 м/са

а 

мм м м м

[]а





сс с



12 0,1 2,7 2,35м/са  

;1, 5 м/с

Пример 3.

Вентилятор вращается с частотой 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?

Дано

900n 

75N 

0

?t 

об/мин

об.

СИ



Решение

В случае равнопеременного движения кинематические уравнения для угловой скорости

и угла поворота φ

имеют вид:

t 

zzz

φω

t

В соответствии с условиями задачи для нашего случая (вентилятор

движется равнозамедленно) эти уравнения примут вид:

Угловая скорость

 

связана с частотой вращения

t 

, (1)

tt

. (2)

соотноше-

нием

ω .2πn

(3)

Угол поворота  определяется числом оборотов N:

φ 2π .N

(4)

Подставив (3) и (4) в уравнения (1) и (2), получим:

По условию за время

ω 2πεnt

2π 2π

Nnt

вентилятор останавливается

; (5)

. (6)

уравнения (5) и (6) примут вид:

Для нахождения

Для этого выразим

02πε;nt

2π 2π .

Nnt

в системе уравнений (7), (8) избавимся от ε.

из уравнения (7)

0 д

к 0 д

(7)

(8)

2πεn



ченное выражение в уравнение (8) и преобразуем его:

2π

2π 2π ,2ππ,

nt N nt

 

к 0 дк0 д

0 д

Nnt



к 0 д

(ω 0)

. Тогда

, подставим полу-

(9)

Из уравнения (9) найдем время движения

Проверка по размерности очевидна:

275

Проведем вычисления:

Ответ:

с.

10t 





t 

[] =с.

с.

tn .

1/с

Пример 4. На рельсах стоит платформа, на которой закреплено ору-

дие без противооткатного устройства так, что ствол его расположен под углом в 45º к горизонту. Из орудия производят выстрел вдоль железно-

дорожного пути. Масса снаряда масса платформы с орудием

100m 

кг и его скорость

50m 

тонн. На какое расстояние сме-

800v 

м/с,

стится платформа после выстрела, если коэффициент трения равен

0,002

? (Колеса платформы заблокированы.)

Дано

0,0020

?l 

100m 

800v 

45 

50m 

кг

м/с

СИ

5, 0 10m 

Решение

кг

Рассмотрим систему «снаряд‒ору-

дие» в момент выстрела.

Так как сумма проекций на горизонтальную ось ОХ сил, действующих на систему, равна нулю и процесс выстрела является быстрым, то можно говорить о сохранении горизонтальной составляющей импульса:

Здесь

vv

направление,

cos

– проекция скорости снаряда на горизонтальное

vv

22х

– проекция скорости платформы с орудием на го-

mv mv

11 2 2

ризонтальное направление. Подставив

0cosmv mv

11 2 2

. (1)

в (1), получим

2х

Полученное выражение позволяет найти скорость платформы с орудием сразу после выстрела:

cosmv



 . (2)

Рассмотрим движение платформы с орудием после выстрела. Будем

сравнивать состояние 1 – сразу после выстрела из орудия и состояние 2, когда платформа останавливается (см. рисунок).

Изменение кинетической энергии

ЕЕ

к2 к1

ния 1 в состояние 2 происходит за счет работы сил

при переходе из состоя-

, действующих

на тело:

ЕЕА

к2 к112

. (3)

При движении на платформу действуют сила тяжести m мальной реакции опоры

мере только сила трения

N и сила трения скольжения

вызывает изменение скорости платформы

тр

g, сила нор-

. В этом при-

тр

с орудием.

Найдем работу силы трения при переходе из состояния 1 в состояние 2:

в нашем случае

12 тр тр тр





cosА dFl Fl 

, (4)

В соответствии с законом Амонтона‒Кулона модуль силы трения скольжения пропорционален модулю силы нормальной реакции опоры:

μFN

‒ коэффициент трения, а N‒ модуль силы нормальной реакции

где

тр

, (5)

опоры.

В данном примере величина силы нормальной реакции опоры равна

модулю силы тяжести (в проекции на ось Оy эти силы взаимно компенсируют друг друга):

Nmg

. (6)

Подставляя (7) в (6), а затем в (5), для работы силы трения в нашем случае получаем

μАmgl

12 2

. (7)

Подставляя (9) в (3) и учитывая, что, пройдя расстояние форма останавливается

0 μ , μ , μ .

к12 к12 к12

mgl Е mgl Е mgl  

(0),Е 

к2

имеем:

(8)

Кинетическая энергия платформы в состоянии 1 равна

Е 

к1

С учетом выражения (2) для энергии платформы с орудием сразу после выстрела получим

( cos ) cos

mmv mv

211 11

. (9)

к1

2222



Приравнивая (19) к (8) и преобразуя полученное выражение, найдем искомую величину

, плат-

mgl

22 2

cos





;

22 2

cos

 .

2 μ



Проверим полученную формулу по размерности:

222

кг м с

[] м.





кг м с



Проведем вычисления:





2 4 25 10 9,8 0,002

   



100 800



2(5 10 ) 9,8 0,002

10 64 10 2



 





33 м

Ответ:

33 мl 

Пример 5. К ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым ко-

лесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой

На какое расстояние вом приобрело частоту вращения

леса со шкивом

Дано

кг

1, 0m 

должен опуститься груз, чтобы колесо со шки-

60n 

об/мин? Момент инерции ко-

0, 42 кг мI 

, радиус шкива

10R 

см.

СИ Решение

Для решения по-

ставленной задачи вос-

1, 0n  об/с

0,10R 

);t

пользуемся законом сохранения энергии:

mgh 

mv J

. (1)

‒ кинетическая энергия

60n 

об/мин

0, 42 кг мI 

10R 

см

?h 

Здесь

mgh

‒ потенциальная энергия груза в верхнем

положении (момент

поступательного движения груза в нижнем положе-

ω2I

нии (момент

);t

‒ кинетическая энергия враща-

1, 0m  кг.

тельного движения махового колеса в момент, когда груз

достигнет нижнего положения.

Угловая скорость ω маховика в момент частотой вращения

соотношением

связана с приобретенной

Линейная скорость

ω 2πn

. (2)

опускающегося груза в момент

связана c

угловой скоростью вращения маховика соотношением

ωvR

. (3)

Подставляя выражения (2) и (3) в (1) и преобразуя полученное вы-

ражение, находим искомую величину

(2π )(2π )

mgh 

mnR I n

;

22 2

2π ()mgh n mR I

22 2 22

4π 4π

mgh 

mnR In

22 2

;

2π ()nmR I





Проверим полученную формулу по размерности:

кг м с

[] м





скгм



Проведем вычисления:

22 2

23,14 1(0,1 0,42)

 



0,87 м.

9,8

;

Ответ:

0,87 м.h 

Пример 6. Горизонтальная платформа массой

м вращается с частотой

1, 0R 

20n 

об/мин. В центре платформы

80m 

кг и радиусом

стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой

будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит

свой момент инерции от

2,94 кг мI 

ч1

до

0,98 кг мI 

ч2

? Считать

платформу однородным диском.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]