Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретико-числовые методы в криптографии. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

 

x t

   

 

x t X e d X f e df

j t j ft

 









 



 

 

 



   

e t i t

i t



 

 cos sin

 

x t

 



   ,

 

x t

 

X f

 

 2 f

 



 

x t

   

X x t e dt

j t













 

x t

 



 



 



Сигнал тегрального разложения по системе комплексных синусоидальных

функций – интеграла Фурье:

в этом случае может быть представлен в виде ин-

. (1)

Здесь амплитуду и фазовую задержку комплексной синусоиды с часто-

той : сигнала

частот

. Функция вых частотах , измеряемых в [радиан/сек], а на циклических

частотах f, измеряемых в [число периодов / сек]. (Эти виды частот связаны известным соотношением

В свою очередь Фурье-спектр исходного сигнала

Соотношения (1), (2) представляют собой пару интегральных преобразований Фурье, причем 2 – прямое преобразование Фурье, 1 – обратное преобразование Фурье.

Отметим, что сигнал нооднозначные характеристики, первая есть временнόе представ-

ление сигнала, вторая – частотное представление. Временнόе представление более наглядно и привычно для обыденного восприятия, второе – менее наглядно, но исключительно полезно при математическом описании преобразований сигналов в т.н. линейных системах с постоянными параметрами (ЛПП-системах).

Перечислим основные свойства Фурье-спектра

– комплекснозначимая функция, определяющая

, участвующей в формировании

. В общем случае эта функция определена на всей оси

и называется она Фурье-спектром сигнала

– тоже спектр, но определенный не на круго-

) .

может быть получен из

с помощью соотношения:

(2)

и Фурье-спектр

– две взаим-

дей-

ствительнозначных сигналов:

1. Функция

в общем случае комплекснозначная:

       

 









iXi

eAeXXiXX

arg

ImRe

   



XA 

   



 





 









arctanarg

 

x t

 



   

X X

 

 

   

Re ReX X

 

 

   

Im ImX X

 

  

   

X X

 

 

   

ArgX ArgX

 

  

 

   

2 2



 

X d x t dt  









 

 



Функцию (иногда магнитудой спектра), она определяет действительную ам-

плитуду синусоиды с частотой , участвующей в формировании сигнала. Функцию

вают фазовым спектром, она показывает фазовый сдвиг, которому следует подвергнуть комплексную синусоиду частоты  перед суммированием при восстановлении исходного сигнала.

2. Вследствие действительности сигнала

имеет комплексно-сопряженную симметрию

3. Энергия спектра Фурье ограничена и равна энергии исход-

ного сигнала (равенство Парсеваля):

Для этого, очевидно, Фурье-спектр с ростом частоты должен достаточно быстро убывать.

NB. Для тех, кто пока еще не может примириться с необходимостью рассмотрения в разложении (1) отрицательных частот и самим понятием комплексной синусоиды, можно дать следующие разъяснения. С преобразованием Фурье в комплексной форме (1) оказалось очень удобно работать, причем при анализе как действительных сигналов, так и комплексных. Если же рассматривать только действительные сигналы, то с учетом свойств симметрии Фурье-спектра

, попарно группируя компоненты с положи-

называют амплитудным спектром

назы-

функция

(3)

тельными и отрицательными частотами, преобразование (1) можно переписать в виде:

       

 























deXeXdeXtx

tjtjtj

 

   

 

arg arg

cos arg

j t X j t X

X e d

X t X d

   







   



  









 







 



 



Xarg

   

X s x t e dt













s j 

 

 

X X s j

 

 

 

X j



(4)

В преобразовании (4) сигнал зиции обычных косинусоид, определенных на обычных положи-

тельных (!!!) частотах . Для каждой частоты  амплитуда косинусоиды равна

величину ления действительного сигнала недостаточно регулировать только

амплитуду синусоидальных компонент, нужно еще их определенным образом подвигать по фазе.

Важное замечание (преобразование Лапласа и Z-преобразование)

В теории непрерывных линейных систем с постоянными параметрами широко и плодотворно используется понятие преобразования Лапласа (s-преобразования):

функции, определенной на комплексной s-плоскости:

При этом прямое преобразование Фурье (2) может рассматриваться как преобразование Лапласа, вычисленное на мнимой оси в s-плоскости:

В связи с этим в литературе часто можно встретить обозначение для Фурье-спектра –

. Обратите внимание, что для точного восстанов-

, а сама косинусоида сдвинута по фазе на

составляется в виде суперпо-

, (5)

, в котором содержится неявное

указание на то, что это спектр именно непрерывного сигнала.

x n( )

 

x n x t nT ( )

( ).x nT

x n( )

   

X z x n z











   

x n X z z dz









 

X z z

n1

Z-преобразование дискретных сигналов

Дискретные сигналы представляют собой последовательности действительных чисел

рицательных и положительных целочисленных значениях аргумента n. На практике чаще всего дискретные сигналы задаются на неотрицательных n, т. е. n = 0,1,2.3, ... , и, кроме того, имеют ограниченное число отсчетов N, при этом последний отсчет – (N – 1)-й .

В системах анализа данных дискретные сигналы обычно получаются дискретизацией с помощью аналогово-цифровых преобразователей (АЦП) исходных непрерывных сигналов:

Здесь Т – шаг дискретизации (здесь и далее будем следовать традициям теории цифровой обработки сигналов, где такому обозначению временного интервала дискретизации отдается предпочтение по сравнению с более «привычным» ).

В этих случаях, чтобы подчеркнуть непрерывную «природу» сигнала и не потерять при преобразованиях размерность аргумента

отсчеты дискретного сигнала обозначают в виде – пользуется традиционное обозначение шаг дискретизации T = 1.

В теории дискретных линейных систем вместо s-преобразования Лапласа широко используется понятие Z-преобразования дискретного сигнала

, в общем случае определенные при от-

Если ис-

, то предполагается что

Z-преобразование имеет смысл для тех значений комплексной переменной z, где ряд (6) сходится.

Z-преобразование линейно и обладает еще рядом «полезных»

свойств, благодаря чему оно успешно используется при описании линейных дискретных систем. Исходная последовательность может быть восстановлена с помощью обратного Z-преобразования:

где С – замкнутый контур, охватывающий все особые точки функции

(6)

(7)

 

x n

 

X e



 

j t j n

X e x n e













 

j j n

x n X e e d

















 

X e



 

X e



eZ 

 

X e



,je



 

X e





 



 

 

0 2,



   



jXX

непр



 

X e



 

непр



 

X e

j T

неп





 

 



 









1 2

0, 1, 2, 3,..m   

Спектр Фурье дискретных сигналов

Спектром Фурье последовательности

называют ком-

плексную функцию

Формулы (8), (9) представляют собой пару преобразований Фурье. Выражение (9) показывает, как исходная последовательность может быть собрана из дискретизированных комплексных

синусоид различных частот, взятых с весами (8) с (6) показывает, что спектр Фурье

бразование, вычисленное на единичной окружности комплексной Z-плоскости.

NB. Отметим, что использование в записи аргумента ПФ дис- кретных сигналов

применяется для неявного указания на то, что это спектр именно дискретного сигнала, а также на его связь с Z-преобразованием. Свойства спектра Фурье дискретных сигналов подобны свойствам спектра Фурье непрерывных сигналов. Однако есть принципиальное отличие. Спектр

(8)

(9)

. Сравнение

есть просто Z-прео-

не частоты , а конструкции

периодичен по частоте с периодом

Поэтому его значения рассматривают на одном периоде – либо

, либо

Если дискретный сигнал был получен дискретизацией с неко-

торым шагом T непрерывного сигнала со спектром

какова связь между связь такова:

, то принципиальным является вопрос о том,

. Можно показать, что

(10)







max



 



 

 

X e



 

непр



max













 

   

 

sin

t nT

x t x nT

t nT







 







 

X e



т. е. спектр дискретного сигнала есть результат наложения сдвинутых копий спектра непрерывного сигнала. Величина сдвига кратна

. Отсюда вывод: если спектр непрерывного сигнала ограничен

частотой

можных сдвигах копий непрерывного спектра не произойдет их наложения, и на интервале

неискаженная копия

NB. Последнее утверждение фактически означает, что всякий непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть без информационных потерь представлен набором своих дискретных отсчетов при соответствующем выборе шага дискретизации

Действительно, если спектр дискретизированной после-

довательности (8) подставить в (1), где провести интегрирование в интервале

реме Котельникова

позволяющее однозначно восстановить значения исходного сигнала по его дискретным отсчетам при любых t.

То, что спектр Фурье дискретного сигнала есть непрерывная функция, не очень хорошо с точки зрения задачи разработки устройств и программ цифровой обработки. Хотелось бы и в частотной области иметь дело с последовательностями. Для этого, мы думаем, надо бы дискретизировать по частоте с достаточно

мелким шагом функцию

, то в спектре дискретного сигнала при всевоз-

в спектре

то получим известное выражение в виде тео-

Дискретное преобразование Фурье

просто будет

(11)

конечной длины N:

Далее будем вести речь о дискретных последовательностях

 

, 0 1

0, 0, 1

xn при n N

при n n N

   





  



 

x n

   

j kn

X k x n e









   

j kn

x n X k e









 

X e



 

X k X z e







 

 

X e





 

X e



 

x n

(12)

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательно- сти

тываемых по формуле

ляет восстановить исходную последовательность

есть последовательность N частотных отсчетов, рассчи-

k = 0, 1, 2, ..., N – 1. (13)

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) позво-

n = 0, 1, 2, ..., N – 1. (14)

Закономерен вопрос: как связаны коэффициенты ДПФ Z-преобразованием и преобразованием Фурье

Сравнивая (13) с (6), заключаем, что отсчеты ДПФ

для

конечного сигнала длины N совпадают со значениями X(z), взятыми в N точках, равномерно распределенных на единичной окружности

(15)

и, следовательно, с отсчетами спектра Фурье

шагом дискретизации

по частоте. (NB. Т. е. все-таки дискрети-

, взятыми с

зация в частотной области !!!).

Возникает вопрос: можно ли по отсчетам ДПФ (13) при необ-

ходимости восстановить весь непрерывный по частоте Фурьеспектр

. По идее, такая возможность должна быть. Ведь

ОДПФ (14) восстанавливает исходную последовательность длины N, а ей соответствует непрерывный Фурье-спектр (8). Дей-

ствительно, можно вывести точную интерполяционную формулу, для восстановления непрерывного спектра из ДПФ:

 

sin











 









 





 

x n

 

X e





 

X e



 

,xl

 

x n

 

x l

   



jXX

непр



 

   

X k x n e

jNkn









(16)

Формула (16) – аналог теоремы Котельникова для частотной области. Отметим, что для конечных сигналов естественным обра-

зом возник шаг частотной дискретизации бы мы не знали длины исходного сигнала

его непрерывный Фурье-спектр

рым достаточно мелким шагом спектр

отсчетов нечный временной ряд

на одном периоде и получили набор частотных длины L, применили ОДПФ и восстановили ко-

длиной L отсчетов. Однако следует

, дискретизировали Фурье-

. А что было бы, если

– N, но знали бы

. Мы бы задались некото-

иметь в виду, что этот ряд являлся бы результатом суммирования сдвинутых на L отсчетов копий оригинального сигнала

(можно получить формулу, подобную формуле (10) для частотной области). При этом если длина последнего N окажется больше чем

L, то в

будут присутствовать наложения от соседних копий.

Мы установили принципиальную возможность замены непрерывных представлений исходного сигнала и преобразования Фурье конечными последовательностями без потери информации. Основные условия – ограниченность по частоте (финитность) спектра исходного непрерывного сигнала

ограниченность во времени самого сигнала

Некоторые свойства ДПФ

Напоминаем общую формулу расчета ДПФ

, k = 0, 1, 2, ..., N – 1.

   

X k X N k 

 

1. Все отсчеты ДПФ в общем случае комплексные, кроме от-

счетов X(0) и X(N/2).

2. Имеется комплексно-сопряженная симметрия относитель-

но отсчета N/2 отображении часто ограничиваются рассмотрением первой поло-

вины ДПФ: k = 0, 1, 2, ..., N/2.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

БПФ есть математически эквивалентный, но более быстрый алгоритм вычисления ДПФ. Основная идея: можно достичь экономии в расчетах по формуле (13), если сначала разбить исходный ряд на два более коротких, выполнить ДПФ для них, а потом определенным образом собрать полное ДПФ. Соответственно, можно получить еще большую экономию, если при расчете ДПФ от половинок исходного сигнала тоже разделить каждую половинку на две части, и т. д. Подробности алгоритма БПФ есть в различных источниках. Особенность БПФ – требования к длине реализации N. Для достижения максимальной эффективности требуется, чтобы N было степенью двойки, т. е. 32, 64, 128, 256, 512, и т. д. Если в исходном сигнале число отсчетов N не кратно степени 2, то сигнал следует искусственно дополнить до ближайшей степени 2 нулями либо средним значением по имеющейся части.

Применения ДПФ(БПФ)

Применения ДПФ(БПФ) многочисленные. Обнаружение гармонических компонент и оценка их параметров (амплитуды, частоты). Статистический корреляционно-спектральный анализ. Вычисления сверток дискретных сигналов, и т. д. Но это рассмотрим в следующих работах.

Полезно знать приемы тригонометрической интерполяции на

основе ДПФ.

1. Интерполяция дискретного сигнала.

Проблема. Имеем дискретную реализацию конечного непрерывного сигнала влетворяющую условию теоремы Котельникова (т.е. формально

нет потери информации), но тем не менее зрительно воспринимаемую как весьма “дерганную”. Желаем представить ее в более гу-

и поэтому при графическом

некоторого

с финитным спектром, удо-

стой сетке отсчетов для улучшения зрительного восприятия сигнала. Для этого очевидно необходимо интерполировать значения сигнала в промежуточных точках. Мы знаем, что есть точная интерполяционная формула (11), но не хотим ее использовать в явном виде, потому что интерполируемые значения будут весьма долго считаться.

Решение. Рассчитываем ДПФ от исходного сигнала, длиной N, расширяем его за счет симметричной вставки в среднюю часть нулевых значений до длины L >> N, выполняем ОДПФ и получаем новую дискретную реализацию, в которой на той же исходной длине будет уже не N, а L >> N отсчетов и при этом все они точные.

2. Интерполяция спектра Фурье.

Проблема. Как правило, в графическом представлении отсчетами ДПФ непрерывного спектра Фурье от некоторого сигнала получается излишне резкий, «дерганный» вид. Хотелось бы интерполировать частотные отсчеты в более густую, подробную сетку, чтобы улучшить зрительное восприятие непрерывного Фурьеспектра.

Решение. Исходную реализацию дополняем справа нулями либо средним значением до новой длины L >> N, рассчитываем ДПФ и отображаем в результате существенно большее число отсчетов Фурье-спектра, которые следуют друг за другом более плавным образом.

Вычисление быстрого преобразования Фурье

Пусть 󰇛



числа j, где      (то есть   ло с двоичным представлением (  

Алгоритм быстрого преобразования Фурье

Вход. Вектор a = 󰇛  

Выход. Вектор   󰇛󰇜 󰇛 





󰇛󰇜



1. Положить 

2. Для          Выполнить следующие действия.

2.1 Положить 

2.2 Далее

2.2.1 Представить полином в виде

 󰇜 – двоичное представление целого







󰇜, где   







), а rev(j) – целое чис-

󰇜

󰇜 где 



для     .













 





<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]