Символьные вычисления в Python. Основы работы с библиотекой SymPy. Учебно-методическое пособие

61

4cos(3 ) cos(4 )

4cos( ),cos(2 ), , ,... .

94

xx



−−





Отдельные слагаемые в списке

можно получить в соответствии с правилами работы с ним, например так: s.an[0:6] или s.an[3].

Чтобы оценить точность аппроксимации, построим в двух графических подокнах графики исходной функции (x2 – линия синего цвета) и получившегося разложения в ряд Фурье. На первом графике при разложении в ряд использовались два слагаемых, а на втором – пять (линии красного цвета):

from sympy import *

from sympy.abc import x

from sympy.plotting import *

f = x**2

s = fourier_series(f, (x, -pi, pi))

s1 = s.truncate(n=2);s2 = s.truncate(n=5)

p1=plot(s1,f,(x,-pi,pi),legend=True, show=False)

p1[0].line_color = 'red'

p2=plot(s2,f,(x,-pi,pi), show=False)

p2[0].line_color = 'red'

PlotGrid(1,2,p1,p2)

Рис. 1.13. Аппроксимация функции y = x2 рядом Фурье

Из рис. 1.13 видно, что уже при пяти членах ряда значение функции и ее аппроксимация рядом Фурье на отрезке [-2, 2] практически

62

совпадают. Подробнее о преобразовании Фурье можно найти в пособии Л. Д. Романовой, Т. А. Шаркуновой и Т. В. Елисеевой3.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о й р а б о т ы

В приведенных заданиях α – это номер факультета, β – последняя цифра года поступления, γ и θ – две последние цифры номера группы, μ – первая цифра номера студента по списку, ν – последняя цифра номера по списку. Так, у пятого студента группы 425121 α = 4, β = 5, γ = 2,

θ = 1, μ = 0, ν = 5.

Задание 1:

а) раскрыть скобки у выражения (2х+α)

μ+3

;

б) выразить sin((ν+1)x) и tg((ν+1)x) через sinх и tg(x) соответственно;

в) вычислить

1

10 11

.С





+

++

;

г) разложить на множители дробь

2

.

( )(2 1)( 3)

xx

xx x

  

 

++

−−−+

;

д) в выражении

2

( )( 1)( 32 )

xx

xx x









++

− −+−

заменить x на sin(y), α на ех.

Вычислить значение получившегося выражения при x = 1 и y = π.

Задание 2. Построить полином, корнями которого являются числа ν + 2, α, μ + 3 и γ + 1.

Задание 3. Создать матрицу размерности μ + 1 на 4 с помощью лямбда-функции. Вывести на экран количество строк и столбцов этой матрицы. Транспонировать полученную матрицу. Добавить к получившейся матрице один столбец.

Задание 4. Перемножить матрицы A, B и С:

2 3+ 4- 3 4+ 1 3+ 4-

, 4 , 2 1 .

5 10 -2 5 10 -2 5 5- -2

A B C

     

     

  

−−

           

= = =

                 

3

Романова Л. Д., Шаркунова Т. А, Елисеева Т. В. Интегральные преобразования: учеб. пособие. Пенза:

Изд-во ПГУ, 2015. 80 с.

63

Задание 5. Сформировать симметричную матрицу размерно- сти 5×5 из целых случайных чисел, равномерно распределенных на от- резке [μ, ν + 15].

Задание 6. Вычислить определитель, ранг, вектор собственных значений матрицы G и матрицу, обратную ей. Найти уравнение характеристического полинома:

2 3+ 4+ 6

1 12

.

5 -2 16 1

2 7 11 -6

G



  



 

+



=



+

 

Задание 7. Добавить к матрице А матрицу В. В получившейся матрице переставить первую и третью строки:

2 3+ 4- 3 4+

, 4 .

5 10 -2 5 10 -2

AB

   

    



−

       

==

           

Задание 8. Известно, что в результате умножения матрицы A на матрицу B получена матрица С. Найти матрицу B, если

2 -5 7 -25 -17 78 8 1 9 , 11 89 76 .

3. -4 12 -5 24 115

AC

       

==

           

Задание 9. Найти матрицу, обратную матрице

2 3+ 4+ 6

1 1 12

5 -2 16 1

2 7 11 -6

W







 

+



=



+

 

и проверить правильность результата.

Задание 10. Найти жорданову форму матрицы и матрицу, приводящую матрицу к жордановой форме, для матриц:

2 0 0 0 1 3 0 3

2 0 0 1 3 4

4 2 0 0 2 6 0 13

1. 1 3 1 . 2. . 3. . 4. 0 2 2 . 3 1 2 0 0 3 1 3

1 1 1 0 1 3

1 2 1 2 1 4 0 8

−

   

   

−−

   

−−

   

−−

   

   

− − −

   

64

3 1 2 1 1 3 0 0

1 0 1 1 1 1

0 4 6 0 0 3 0 0

5. 0 1 1 . 6. . 7. . 8. 0 0 1 . 0 3 5 0 3 3 1 0

1 1 1 1 5 3

0 3 6 1 3 3 1 2

−

   

−

   

   

− − −

   

−

   

   

− − − − −

   

3 0 1 1 1

2 1 7 1

3 2 2 0 3 2 1 1 1 1 1

1 0 17 6

9. 0 10 5 . 10. 0 0 3 1 1 . 11. .12. 0 0 0 .

0 0 3 1

1 7 2 0 0 0 1 1 3 4 1

0 0 4 1

0 0 0 0 1





− − −

   



− − −

   



−

   



   

−



   



−−



 

2 0 0 0 1 3 0 3

1 0 0 0 0 3

4 2 0 0 2 6 0 13

13. 0 0 1 . 14. . 15. . 16. 0 3 0 . 3 1 2 0 0 3 1 3

0 1 0 0 0 0

1 2 1 2 1 4 0 8

−

   

   

−−

   

−−

   

   

− − −

   

3 1 0 0 0 1 1 1

1 1 0 5 3 2

1 1 0 0 1 2 1 1

17. 0 2 0 . 18. . 19. . 20. 0 5 4 .

3 0 5 3 1 1 1 0

1 0 1 0 0 5

4 1 3 1 1 1 0 1

−−

   

−

   

   

−−

   

−−

   

   

− − −

   

6 9 5 4 2 3 1 0

3 2 3 1 1 1

7 13 8 7 0 2 1 1

21. 4 10 12 . 22. . 23. . 24. 3 3 3 . 0 3 1 3 0 0 2 3

3 5 7 2 2 2

1 2 1 3 0 0 0 2

−

   

−−

   

   

−−

   

− − −

   

−

   

− − −

   

   

−

   

Пояснить полученные результаты.

Задание 11. Вычислить вторую производную каждого элемента

матрицы

2

( 1) sin sin

log sin

x x x

M

tgx x x







+

=

 

по переменной х.

Задание 12. Найти определитель матрицы

2

( 1)xx

M

x







+

=



−



и вычислить его значение при х = 2.

Задание 13. Найти корни полинома Чебышева степени ν + 2. Задание 14. Вычислить производные от функций:

65

32

3

1. sin( ). 2. . 3. 3cos . 4. ln 8(3cos 9).

cos 1

x

у x x у y x y x x

x

+

= − = = = + +

+

cos 5 6 5

5. 4 . 6. cos( ). 7. . 8. 5sin . cos 12

x

y у x x у y x

x

+

= = + = =

+

34

arcsin( 2) 5

22

9. sin 8(3cos 9).10. 2 .11. sin .12. . 3 cos 12

x

x x x

y x x y уу

x

−+



+−

= + + = = =



+



2

5 arcsin( 2 15)

13. 1 sin . 14. cos (12cos 19). 15. 2 . 16. sin .

xx

y x y x x y y x x

+−

= + = + = =

1

2

5

cos

2

1 2 1

17. . 18. ln sin . 19. 2 1 . 20. .

2

1

x

xx

у y x y xarctg x y e

x

−−

= = = − − =

+

22

2

3

21. tan( ). 22. . 23. 3 cos . 24. sin 2(3sin ). cos 1

x

у x x у y x x y x x x

x

−

= − = = = + +

+

Задание 15. Вычислить интегралы от функций:

2

42

arcsin

1. . 2. . 3. . 4. . 23

52

11

dx xdx xdx x

dx

x

xx

+

−

+−

   

2

5. 5 . 6. . 7. . 8. . 10

8

3cos 5

4

x

dx dx dx dx

x



−



−

 

   

2

1 2 1

9. (3 2 ) .10. . 11. .12. .

35

x dx x

x x dx dx dx

x x x x

+−



++



+



   

22

13. ( 7)sin . 14. ln .15. ( 2) 3 .16. ln(1 ) .

x

x xdx x xdx x dx x dx− +  +

   

2 2 2 2

( 1) ( 4) (6 1)

17. . 18. . 19. . 20. . 2 5 7 1 12 4 13

dx x dx x dx x

dx

x x x x x x x x

− − −

− + − − + − − +

   

2 2 2

53

2 4 2

2

( 3) (7 )

21. . 22. . 23. . 2 3 2 2 2 2 3

3 2 6 1

24. . 25. . 26. .

3

1

dx x dx x dx

x x x x x x

dx x x x

dx dx

x x x x

xx

+−

− + + + + − + +

− + +

−+

+

  

Задание 16. Вычислить определенный интеграл

6

22

1

sin

.

cos 3

х х x x

dx

xx









+

++ ++



Задание 17. Вычислить пределы:

66

3

4

30

5

3 1 2 1 3

1 2 . 3 .

3

0

11

. . . .

lim lim lim

sin

x

xx

x x x

xx

x

→→

− + − +

−

→

+−

4

1 0 0 0

1 5 1 ln(1 3 ) 1

4 . 5 . 6 . 7 .

sin3 2 arcsin5

2

. . . .

lim lim lim lim

xx

x x x x

x x e

x

x tg x x

ctg



→ → → →

− − + −

53

33

44

0 0 3 0

3 3 2 3

8 . 9 . 10 . 11. .

sin ln(1 )

3

. . .

lim lim lim lim

x x x x

e e arctg x x

x x tgx

x

→ → → →

− − − +

−

2

4

0 2 0

4

1 sin( 2) 2

12 . 13 . 14 . 15. .

sin4 ln(1 ) 2

11

. . .

lim lim lim lim

xx

x

x x x

x

ctgx e e x tg x

x x x

x



−

→ → →

→

− − − +−

+−

3 3 2

0 0 0 0

arcsin2 cos3 ln(1 4 )

16 . 17 . 18 . 19. .

4 1 cos

11

2

. . .

lim lim lim lim

x x x

xx

x x x x

x e x e e x

x

ex

x

tg

→ → → →

− − +

−−

+−

2

57

4

10

2 0 0 1

2 1 1 1 2 1 3 1

20 .21 . 22 . 23. .

2 sin

1

. . .

lim lim lim lim

x

x x x x

x x x x x

x x x

x

→ → → →

− + − + − + −

−

53

1 0 0 0

1 5 1 ln(1 3 )

24 . 25 . 26 . 27. .

sin3 2 sin

2

. . .

lim lim lim lim

x x x

x x x x

x x e e

x

x tg x x

ctg



→ → → →

− − + −

Задание 18. Разложить в ряд Тейлора функцию. Привести 5 чле-

нов ряда:

2

4

arcsin 6 1

1. ( ) 1. 2. ( ) . 3. ( ) . 82

16 3

x

f x f x f x

x

xx

x

= − = =

+−

−

2

sin cos tan sin

4. ( ) . 5. ( ) . 6. ( ) . 7. ( ) . 1

x x x x

f x f x f x f x

x x x

x

= = = =

+

22

tan cos

8. ( ) ln( 1). 9. ( ) . 10. ( ) . 11. ( ) . 1

41

x

e x x

f x x f x f x f x

x

x x x

= + = = =

+

++

2

23

12. ( ) . 13. ( ) lg(sin ). 14. ( ) sin(cos( )). 15. ( ) .

sin( )

1

xx

f x f x x f x x f x

x

= = = =

+

23

22

sin cos3 ln sec

16. ( ) . 17. ( ) . 18. ( ) . 19. ( ) . 3

81

x x x x

f x f x f x f x

xx

= = = =

+

++

3

2

cos 2

20. ( ) sin( ). 21. ( ) . 22. ( ) . 23. ( ) . ln 5 2

1

x x x

f x x f x f x f x

xx

x

= = = =

+−

+

2

ln(sin ) ln(cos ) 1 cos

24. ( ) . 25. ( ) . 26. ( ) . 27. ( ) .

2 6 2 1

2

x x x

f x f x f x f x

x x x

x

= = = =

+ + +

+

67

Задание 19. Вычислить сумму ряда:

1

1 0 1

2 3 4 8 3 1

1. . 2. . 3. . (2 1)(2 3)

6 10

n n n n

nn

n n n

nn

+

  

= = =

   



 + −

   



++



   

  

22

1 2 1

6 2 1

4. . 5. . 6. . (5 4)(5 1)

9 12 5 1

n n n

nn

n n n

  

= = =



   



   

−+

+ − −

   



  

1 2 1

2

1 1 1

1 3 4 1

7. . 8. . 9. .

( 1) ( 2)(3 1)

12

1 1 1

10. . 11. . 12. . ( 1) ( 3)

41

nn

n

n n n

n n n n

n

  

= = =

  

= = =



   

+



   

− − +

   



   



   



++

−



   

  

2

4

1 1 1

2

3

1 1 1

1 1 2 5

13. . 14. . 15. .

31

45

1

11

16. . 17. arcsin . 18. .

3

( 1)

n

n n n

n

n n n

n

nn

n

  

= = =

  

= = =



+

   



   



−

−+

   

+









+



  

1

1 1 1

3

11

2

1 1 1

1 1 6 5

19. . 20. ( 1) . 21. .

( 1)( 2)

3 10

1

22. ( 1) . 23. arc . 24. ( 1) . 12

n

nn

n n n

n

nn

n

n n n

n

n n n

nn

tg

n

  

+

−

= = =

  

++

= = =



−

   

−



   

++

   





   

−−



   

+

   



  

Задание 20. Решить алгебраическое уравнение

( )

3

2

2 17 0.x x x



+ − − − =

Получить графическое решение. Сравнить

результаты.

Задание 21. Найти корни алгебраического полинома

32

( ) 0.x x x

    

− + − + =

Привести графическое решение задачи.

Задание 22. Решить систему неравенств:

2

( 1) 1 0

.

13 5

xx xx





− + − − 

 

−





Задание 23. Решить систему линейных уравнений с помощью

функции solve:

68

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

3

4

.

5 7 5

6 6 3

x x x x

x x x

x x x x



  



+ + + =

 

− + + =

 

− − − = −

 

− + + =



Задание 24. Решить систему линейных уравнений с помощью

функции linsolve:

1 2 3 4

10

3 2 4 9

.

5 7 5

6 2 6

x x x x

    

  





+ + + = +

 

− + + = +

 

− + − − = −

 

− + + =



Задание 25. Решить уравнения. Получить графическое решение: a)     󰇛    󰇜 

б)     󰇛  󰇜     󰇛  󰇜   Задание 26. Решить систему нелинейных уравнений. Получить

графическое решение:

22

2

53

5. .

5

4cos 6

1

x y xy

y

x



+ = +  

+=



+



2

cos 5 3

6. .

5

46

ln( 1)

x y xy

y

xy

x



=+  

+ − =



+



2

22

2 cos 38

cos 5 3

1

3. . 7. .

5

4

3

ln( 6) 5

1

sin 2

x

x y e xy

x y xy

y

xy

yx

xy

x

−



+ + + =

=+



+

 

+ − =



+ + − =

++





+



22

2

3

2

cos( ) 1

0

4. . 8. . 4 12

12

1

x

xy x x y

ye x y x y

y

yx

x y xy

x

−

= + +



− + + + =

 

+ − =

+ + =





+



2

3ln sin 12

1. . 2 3 22

1

x

x y x y

x

y



+ + =  

+ − =



+



23

22

2 15

sin 2

2. . cos 17

x

xy

x

xy

y

x y e y

−



− + + =



+

 

+ − =



69

Задание 27. Решить дифференциальное уравнение:

( )

2 2 2 2

1. 1 . 2. 2 . . 3.

x

х у ху y e y x y xy y+  =  = +  = +

( ) ( )

4. 1 . 5. 2 6. 2. .

x

y x y y y e х у x y − =  − = +  = +

7. 2 . 8. . 9. 5 0.

x

y ytgx x y y xe y y y − =  = +  −  − =

2

10. 4. 16 1 1. . 1 2... 1

x

y y e уs

xy

yx

x

inx y

−



−= +

+= =+

13. 6 cos . 1 4. 4 5 0. 1 5. 4 8 2.y y x y y y x y y x− = − − − − = −  = − −

( )

222

16. 1 . 1 7. 1 8. 1 .1.

y

yx

x

y y x sinx y x y



−− = + +=+  = +

( )

2

.19. 20. 2 8 2 6 2 .y y y y y cos x sin x =  − + = −

21. . 22. 2 . 23. sin . у xsinх y y y x xy y x = + + =  + =

4

2

24. 1 . 25 .. 8 20 12 1

x

xy y y y y e

x

 = − + −  + =

+

Задание 28. Решить задачу Коши для дифференциального урав-

нения. Привести графическое решение:

32

60

6 9 9 2

(0) 0

1. (0) 0 . 2. . 3. (0) 0 . (0) 1

(0) 0 (0) 2

(0) 1

x

y y y

y y y e y y x x

y

yy

y

yy

y

  

− − =





   

+ + = + = +



=





==

  



=

  



= = −







=



2

3 2 2 3

4. (0) 0 . 5. (0) 0 . 6. (0) 0 . (0) 1 (0) 0 (0) 1

x x x

y y e y y e y y y e

y y y y y y

−

  

     

+ = − = + − =

  

= = =

     

  

= = =

  

1

2 sin 2 sin

(0) 0

7. . 8. (0) 0 . 9. (0) 0 .

(0) 0

(0) 0 (0) 1

(0) 0

yy

y y x x y y y x

y

yy

y

yy

y

 

+=



   

+ = + + =





=

  

==

  



=

  



= = −







=



2 5 0

2 2 1 cos( )

(0) 1

10. . 11. (0) 0 . 12. (0) 2 . (0) 2

(0) 0 (0) 0

(0) 0

y y y

y y y y y x

y

yy

y

yy

y

  

+ + =



   

− + = + =





=−

  

==

  



=

  



==







=



2

sin

2 cos

(0) 1

13. (0) 1 . 14. . 15. (0) 1 .

(0) 1

(0) 0 (0) 1

(0) 0

y y x

y y y x y y x

y

yy

y

yy

y

 

+=



  

+ + = + =





=





==

  



=

  



= = −







=



2 5 3 1

(0) 31

16. . 17. (0) 1 . 18. (0) 1 .

(0) 1

(0) 0 (0) 0

(0) 0

y y x

y y y y y

y

yy

y

yy

y

 

+=



  

+ + = + =





=

  

==

  



=

  



==







=



2 2 1 4 2 5 1

19. (0) 0 . 20. (0) 1 . 21. (0) 0 .

(0) 0 (0) 0 (0) 0

y y y y y x y y y x

y y y y y y

    

+ + = + = − + = −

     

= = =

     

  

= = =

  

0 cos

(0) 0 (0) 2

(0) 0

22. . 23. . 24. . (0) 1 (0) 0

(0) 2

(0) 2 (0) 0

(0) 0

x

y y y y x

y y e

yy

y

yy

y

yy

y

  



+ = + =

 



+=





= = −

=

     



= − =



=

     

 

==



=





Задание 29. Решить краевую задачу для дифференциального

2 8 3

(0) . (10) 1

x

y y y xe

y y



−



 

− − =



=

 

=+



( ) 2 ( ) ( )

( ) 9 ( ) 3 ( )

.

(0) 1

x t x t y t

y t x t y t

x

y







=−

 



=−

 

=+

 

=+



3

2

1. ( ) cos , [ , ]. 2. ( ) ,[ , ]. 3. ( ) , [ , ]. 2

4. ( ) cos , [ , ]. 5. ( ) 2 ,[ , ]. 6. ( ) 1 ,[ , ].

x

f x f x x f x x

f x x x f x x f x x

     



= − = − = −

 

= − = − − = + −

уравнения второго порядка. Дать графическое решение:

Задание 30. Решить задачу Коши для системы двух дифференци-

альных уравнений первого порядка. Дать графическое решение на интервале [0, 5]:

Задание 31. Разложить в ряд Фурье функцию на заданном от-

резке. Графически оценить точность аппроксимации:

70