Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Символьные вычисления в Python. Основы работы с библиотекой SymPy. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

from sympy.matrices import Matrix

m=Matrix([[1, 2, 3], [2, 3, 1],[-3, .6, 7]])

m=m.row_insert(0,Matrix([[-4, 3, 0]]));m

Результат:

4 3 0 1 2 3

2 3 1

3 0.6 7

−

    

−



Матрицы можно складывать, вычитать, умножать в соответствии с правилами работы с матрицами:

from sympy.matrices import Matrix

A=Matrix([[1, 2, 3], [2, 3, 1],[-3, .6, 7]])

B=Matrix([[-2, 4, 8], [12, 13, -1],[0, 3.6, 2]])

A+B

A*B

2*A

f = lambda x: x**2;A.applyfunc(f)

Результат:

Некоторые полезные функции при работе с матрицами:

from sympy import *

v1 = Matrix([4,1,3])

v2 = Matrix([4,-1,2])

# перекрестное произведение двух векторов

v3 = v1.cross(v2) # [1*2-3*(-1),-4*2+3*4,4*(-1)-1*4]'=[5 4 -8]'

# скалярное произведение двух векторов

v1.dot(v2) # 4*4+1*(-1)+3*2=21

v2.dot(v3) # 0

d=Matrix(3, 2, [1,2,3,4,5,6])

d.row_swap(1,0);d # переставляет 0 и 1 строки матрицы

d=Matrix(3, 2, [1,2,3,4,5,6])

g=Matrix(3, 1, [0,0,0])

g1=Matrix(1, 2, [9,8])

d.row_swap(1,0);d # переставляет 0 и 1 строки матрицы

d.row_join(g) # добавляет к матрице d матрицу g

# (Столбец в нашем примере) Исходная матрица не меняется

d.col_join(g1)

Еще одна полезная прикладная функция для всей матрицы – это функция подстановки:

from sympy.matrices import Matrix

from sympy.abc import *

z=Matrix([[1, x, y], [2, n, 1],[-3, m, 7]])

z.subs({x:4,n:2,m:sin(h)})

Определитель матрицы А можно вычислить следующим образом:

from sympy import *

A=Matrix([[1, 2, 3], [2, 3, 1],[-3, .6, 7]])

det(A) # 17.0

Функция minor() позволяет вычислить определитель матрицы, удалив из нее указанную строку и столбец:

from sympy.matrices import Matrix

from sympy.abc import *

A = Matrix([ [2, -3, 4], [1, -4, 1], [-1, 6, -5] ])

A.minor(1,1)# -6

Функция rank возвращает ранг матрицы:

from sympy.matrices import Matrix

from sympy.abc import *

A = Matrix([ [2, -3, 4], [1, -4, 1], [-1, 6, -5] ])

A.rank() # 3

Транспонировать матрицу можно с помощью функции transpose() или метода T:

from sympy.matrices import *

from sympy import *

m=Matrix([[1, 2, 3], [2, 3, 1],[-3, .6, 7]])

p=m.T;# или p=transpose(m)

Результат:

1 2 3

2 3 0.6 3 1 7

−

   



Сопряженную матрицу можно создать с помощью метода H или функции adjoint(m):

from sympy.matrices import *

from sympy import *

m=Matrix([[1, 2, 3], [2, 3, 1],[-3, .6, 7]])

adjoint(m)

m.H

Поскольку в данном примере матрица состоит из действительных чисел, сопряженная к ней будет транспонированная матрица.

След матрицы, т. е. сумму диагональных элементов, вычисляют с помощью функции trace():

from sympy.matrices import *

from sympy import *

m=Matrix([[1, 2, 3], [2, 3, 1],[-3, .6, 7]])

trace(m) # 11

Еще один пример, когда среди элементов матрицы есть символьные переменные:

from sympy.matrices import *

from sympy import *

from sympy.abc import *

m=Matrix([[x**2, 2, 3], [2, 3*x, 1],[-3, .6, 7]])

trace(m)

Обратную матрицу можно вычислить с помощью функции

inv_quick():

from sympy.matrices import *

from sympy import *

from sympy.abc import *

m=Matrix([[1, 2, 3], [2, 3, 1],[-3, .6, 7]])

inv_quick(m)

Результат:

Проверим правильность результата:

Очевидно, что обратную матрицу можно было вычислить как m**(-1). SymPy предоставляет множество специальных типов классов матриц. Некоторые из них: identity, eye, zeroes, ones, diag. Примеры:

from sympy.matrices import *

a=identity(3)

b=eye(2)

c=zeros(2, 3)

d=ones(3,4)

e=diag(1,6,3)

Первая из них (а) имеет тип numpy.ndarray. Это матрица

3 3,

по диагонали которой стоят 1.0, остальные элементы – нули. Остальные приведенные в коде матрицы относятся к классу SymPy Matrix

(sympy.matrices.dense.MutableDenseMatrix). Их значения:

C помощью функции charpoly() можно найти уравнение характе-

ристического полинома для квадратной матрицы. Вспомним, как строится характеристический полином для матрицы А размерности

.nn

Наряду с матрицей

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

...

..........................

...

n n n nn

a a a a a a a a

A a a a a

a a a a

   

 

 

рассмотрим матрицу

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

...

................................................

...

n n n nn

a a a a a a a a

A a a a a

a a a a



−

 

−

 

=−

 



−



. Определитель этой матрицы

() АЕ



 = −

представляет многочлен степени n и называется харак-

теристическим многочленом матрицы А. В SymPy уравнение этого

многочлена находят с помощью функции charpoly().

Пример 1.10. Найти уравнение характеристического многочлена

для матрицы

2 7 12 3 5 18 . 9 6 4

−

  

 

Решение: from sympy import Matrix

M = Matrix([[2, 7, -12], [3, 5, 18], [9, 6, 4]]);M.charpoly() 󰨙󰇛     󰨙󰨙  ℤ󰇜

Если нас интересует только часть выражения в скобках, напри-

мер только уравнение многочлена, его можно получить следующим образом:

M.charpoly().args[0].

Собственные значения матрицы находят, решив матричное уравнение det(A-λE)=0. Для вычисления собственных значений матрицы применяют функцию eigenvals().

Пример 1.11. Найти собственные значения матрицы

2 2 1 3 5 1 . 3 6 4

−

  

 

Решение:

from sympy import Matrix

M = Matrix([[2, 2, -1], [3, 5, 1], [3, 6, 4]])

M.eigenvals() # {2 – sqrt(3): 1, sqrt(3) + 2: 1, 7:1}

Получить результат в виде списка можно таким образом: list(M.eigenvals())

Вычисление собственных векторов. Собственный вектор матрицы – это вектор, умножение матрицы на который дает тот же вектор,

умноженный на некоторое число: AN=λN, где А – матрица, N – собственный вектор, λ – некоторое число.

Пример 1.12. Найти собственные векторы матрицы

−−

 



Решение:

from sympy import Matrix

M = Matrix([[-1, -6], [2, 6]]);M.eigenvects()

Пояснение. Первое значение (2) – собственное значение, 1 – крат- ность,

−

 



– собственный вектор. То же для второго собственного вектора:

1 6 2 4 2

2 6 1 2 1

− − − − −

       

               

3 9 3

2 2 2

1 3 1

     

−−

− − −



     



     



     

Покажем, как в библиотеке SymPy можно привести матрицу к жордановой форме.

Жордановой матрицей называется матрица вида

( ) 0 ... 0

0 ( ) ... 0

......................................

0 0 ... ( )



  

 

 

где

( ), ( 1, )

J i k



– жордановы клетки, а все остальные элементы мат-

рицы равны нулю. Жордановой клеткой порядка m называется квадрат-

ная матрица вида

1 0 0 ... 0

0 1 0 ... 0

( ) 0 0 1 ... 0 ,

............................

0 0 0 ...







   

 

 

в которой на главной диаго-

нали стоит одно и то же число λ, над главной диагональю – единицы,

а все остальные элементы равны нулю. λ является собственным числом матрицы

( ).



Если существует такая невырожденная матрица Р, что J = P-1MP – жорданова матрица, то матрица J называется жордановой формой матрицы М, а Р – матрицей, приводящей матрицу М к жордановой форме. Для приведения матрицы к жордановой форме служит функция jordan_form (). Функция jordan_form (M) возвращает две матрицы P и J, где J представляет собой блочную матрицу Жордана, а P – такая невырожденная матрица, что исходная матрица М = PJP-1. J = P-1MP.

Пример 1.13. Найти жорданову форму матрицы

−





−



и матрицу, приводящую матрицу М к жордановой форме.

Решение:

from sympy import Matrix

M = Matrix([[ 1, -3 ], [-3, 1]])

P, J = M.jordan_form()

P,J

Матрица, приводящая матрицу M к жордановой форме

−



 

жорданова форма матрицы М – матрица

−



 

Здесь

две жордановых клетки:

( )

( 2) 2J − = −

( )

(4) 4 .J =

Числа -2 и 4 – корни

характеристического многочлена матрицы М (

( 1) 9 0



− − =

Проверка: P*J*P**(-1).

Результат:

−

 

−



Функция diff() позволяет вычислить производные от каждого элемента матрицы по заданным переменным.

Пример 1.14. Вычислить производную каждого элемента мат-

рицы

log sin



 

по х.

Решение:

from sympy import *

from sympy.abc import *

M = Matrix([[x, x**2], [log(x), sin(x)]])

M.diff(x)

Результат:

Пример 1.15. В условиях примера 1.14 найти определитель полу- чившейся матрицы и вычислить его значение при х = 2.

Решение. Добавляем к коду примера 1.14 строку det(M.diff(x)).subs({x:2}).n(5) # −2.4161

Вторую производную от всех элементов матрицы М можно вычислить как M.diff(x,2), так и M.diff(x,x).

Пример 1.16. Продифференцировать все элементы матрицы

2 ln

tan cos sin(2 )

xy y

e y y x



 

сначала по x, а затем по y.

Решение:

from sympy import *

from sympy.abc import x, y

M = Matrix([[x*y, 2**x*log(y)], [exp(x)*tan(y), cos(y)*sin(2*x)]])

M.diff(x,y)

Результат:

Продифференцировать элементы матрицы М дважды по х, а затем по y можно следующим образом: M.diff(x,2,y).

Функция integrate() позволяет проинтегрировать каждый элемент матрицы.

Пример 1.17. Проинтегрировать каждый элемент матрицы

log sin



 

Решение:

from sympy import *

from sympy.abc import *

M = Matrix([[x, x**2], [log(x), sin(x)]])

M.integrate((x, ))

Результат:

Если нужно вычислить определенный интеграл, например от 1 до 5, нужно исправить последнюю строчку кода: M.integrate((x, 1, 5)). Методом n() можно получить элементы матрицы в виде десятичной дроби:

M.integrate((x, 1, 5)).n(5).

Можно вычислить предел каждого элемента в матрице М с помощью функции limit(). Пример записи: M.limit(x, 2).

Матрицу

34

из случайных целых чисел, принадлежащих ин-

тервалу [-6, 9], можно создать таким образом:

from sympy import *

from sympy.abc import *

randMatrix(3,4,-6,9)

Симметричную матрицу, состоящую из случайных чисел, можно создать следующим образом:

from sympy import *

randMatrix(3, symmetric=True)

По умолчанию предполагается интервал от 0 до 99. Если не задано количество столбцов, матрица предполагается квадратной.

Многие другие функции для работы с матрицами можно найти в документации по Sympy2.

1 . 7 . Р а з л о ж е н и е в ряд Т е й л о р а

Рядом Тейлора функции f(x) вещественной переменной х в точке a называется разложение функции по положительным степеням

двучлена (х-а):

()

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ... ( ) ...

2! !

f a f a

f x f a f a x a x a x a





= + − + − + + − +

Для разложения функции в ряд Тейлора в SymPy используется функция series(var, point, order). Производится разложение функции в ряд по переменной var в окрестности точки point с точностью до заданного порядка order. Рассмотрим работу функции на примере.

Пример 1.18. Разложить в ряд по степеням х в окрестностях нуля функцию

ye=

Решение:

from sympy import *

from sympy.abc import *

y=exp(x**2).series(x,0,20);y

Результат:

В полученный ряд нельзя подставить численное значение переменной разложения. Для этого сначала нужно убрать последний член О

󰇛



󰇜

 превратив тем самым отрезок ряда в многочлен. Сделать

это можно с помощью метода removeO(). Затем можно вычислить сумму: y.removeO().subs(x,0.1).n(8) # 1.0100502.

Проверим, насколько хорошо данная функция (y = e2x) аппроксимируется рядом Тейлора, когда в нем 3 и 4 слагаемых соответственно. Для этого построим два графика. На одном из них построим график исходной функции и ее аппроксимацию тремя членами ряда, на другом – четырьмя. Аппроксимацию проведем на отрезке [0, 1]:

Документация Sympy 1.12. URL: https://docs.sympy.org/latest/index.html.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]