Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Программные средства защиты информации. Конспект лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

При этом каждому узлу надо поддерживать не более





















ных ключей, но при этом можно генерировать потребуется.

Как и в предыдущем случае, нии ограниченного времени.

следует использовать на протяже-

столько, сколько

–1N

4. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ

4.1. Простые числа и взаимно простые числа

Простое число a – это такое число, которое не имеет других делителей, кроме

Например, 2, 3, 5, 7,…

Любое целое число может быть разложено на множители и единственным способом представлено в виде

и 1.

глав-



ap p p



где

имеют общих простых делителей, т.е. их единственный общий делитель – это единица:

– простые числа:

Например,

Наибольший общий делитель

|ka

обозначает, что k делит a без остатка. Например,

60, 24 12НОД 



Целые числа

Например, 8 и 15 – взаимно простые, так как

91 7 13 ,

pp p

и b называются взаимно простыми, если они не



12 n

,1НОД ab





,max : НОД ab k kaи kb





, где

8,1 51НОД



4.2. Арифметика вычетов

Будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления на натуральное число

, называемое модулем. Если два целых числа a

и b имеют одинаковые остатки от деления на m, то они называются











































сравнимыми по модулю

mod ab m

где

akmb  для некоторого целого k .

Иногда

ным

b по модулю

Операция том всегда является целое число из отрезка называется приведением по модулю.

Например,

Свойство операции приведения по модулю:

Свойства функции сравнения

1. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно склады-

вать:

2. Слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно пере-

носить в другую часть, изменив его знак на обратный:

b называют вычетом

mod ct означает остаток от деления

5 mod 3 2



mod mod mod mod ab m a m b m m 

mod mod mod mod ab m a m b m m 

mod mod mod mod ab m a m b m m 

mod ab m



1212



по модулю m, a – конгруэнт-

на t, её результа-

0; 1t



. Эта операция



mod aa bb m



mod abc m

3. К любой части сравнения можно прибавить любое число, крат-

ное модулю:

mod ab m

4. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно перемно-

жать:

mod ab m







mod ab m



mod acb m

mod amkb m

12 12



mod aa bb m



5. Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень.







6. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель,

взаимно простой с модулем.

7. Обе части сравнения и его модуль можно умножить на одно и то

же целое число или разделить на их общий делитель.

8. Если сравнение лям, то оно имеет место и по модулю, равному наименьшему общему кратному этих модулей.

9. Если сравнение имеет место по модулю по модулю

10. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая часть сравнения должна делиться на это же число.

11. К обеим частям сравнения можно прибавить одно и то же число; обе части сравнения можно умножить на одно и то же число, взаимно простое с модулем.

Числа, сравнимые по модулю m, образуют класс вычетов по мо-

дулю

остаток ется вычетом по модулю

Полная система вычетов – это совокупность вычетов, взятых по

одному из каждого класса вычетов.

Приведённая система вычетов по модулю

всех вычетов из полной системы, взаимно простых с модулем

d , равному любому делителю числа

. Все числа из одного и того же класса имеют один и тот же

от деления на m. Любое число a из класса вычетов называ-

имеет место по нескольким разным моду-

, то оно имеет место и

– это совокупность

4.3. Теоремы Ферма и Эйлера

Функция Эйлера

чисел, которые меньше

Например,

делитель 2, число 5 имеет общий с 10 делитель 5, а числа 1, 3, 7 и 9 не имеют общих делителей с 10 (кроме 1) и, следовательно, являются взаимно простыми с числом 10.

Если

10 4



– простое:

m

– это количество положительных целых



и взаимно простые с m.

, так как числа 2, 4, 6 и 8 имеют общий с 10

p

Если p, q – простые:

























     



Например, Теорема Эйлера. Для любых взаимно простых чисел

ведливо

Например, для

Следствие из теоремы Эйлера: Теорема Ферма. Если

лое число, которое не делится на

Пример. Пусть



    



21 7 3 6 2 12





1 mod

 .



7 7 7 121 7 mod1 9 

844

7 7 7 49 11 mod1 9 

16 8 8

7 7 7 1217 mod1 9 

, 10m

, 19p

7 49 11 mod1 9

422



– простое число, a – положительное це-

. Вычислим

 

3811 mod1 0





aam

, то



 



11npqpqpq

11npq pqppqq



mod

 .





1 mod





19 1

7 mod1 9?







и m спра-

18 16 2

7 7 7 711771 mod1 9

Что и требовалось доказать.



4.4. Первообразные корни

Целые числа a, взаимно простые с m, являются первообразными

корнями числа



, если для них выполняются сравнения



1 mod

 и



1 mod

am



 

1, 1lm

















Пример. 10m  .

Проверим выполнение сравнения



1a 

не подходит, так как



2a 

не подходит, так как

стое с 10;



3a 

подходит, так как

331 mod1 0

391 mod1 0

3271 mod1 0

3811 mod1 0

при которой

4a  …

Это способ нахождения первообразных корней по определению. Другой способ нахождения первообразных корней. Представим

m

в виде



где нем числа

простое с 10;

– простые делители. Тогда, чтобы a было первообразным кор-

1) число





Пример. Проверим выполнение сравнения



1a 

не подходит, так как



2a 



3a 

подходит, так как

4a  …



31 mod1 0





, нужно, чтобы:

было взаимно простым с числом m;

1 mod





10m  .

не подходит, так как





1 1 0amod



11 mod1 0



2,1 02НОД

3,1 01НОД 

, т.е. для 3a наименьшей степенью l ,

, является



42m

11 mod1 0





3,1 01НОД 

mp p





i.



;







4/2

1 1 0amod



;

2,1 02НОД





,  2 не взаимно про-

4lm

;

,  2 не взаимно

391 mod1 0



;

4.5. Сравнения первой степени



































Рассмотрим сравнение

Под решением любого сравнения понимается класс вычетов по модулю ному сравнению. Решить сравнение – значит найти все удовлетворяют данному сравнению, при этом весь класс вычетов по модулю

каждого класса вычетов и проверим выполнение сравнения, подставив их в сравнение. В результате получим, что данному сравнению удовле-

творяют Таким образом, у данного сравнения есть два решения: и

означает отыскание целых

получаем

, один элемент которого (а значит, и все) удовлетворяет дан-

считается как одно решение.

Пример. Найти решение сравнения 5-й степени:

Классы вычетов для

2x 

4 mod 7x 



Естественно, метод перебора затруднителен.

В случае сравнения первой степени, если

1 mod au m



Умножим (1) на

. Здесь u – это элемент, обратный к a по модулю m.

, так как

mod ax b m

: 0, 6 . Выберем по одному элементу из

35 0 mod 7

u, v

mod aux bu m

mod

bu m

. (1)



, которые

10 mod 7.xx



1029 0 mod 7



таких, что 1au mv

. С учётом

. (2)



, 1НОД am

, решение



1 mod au m

2 mod 7x 

 , т. е.

Значит, сравнение первой степени имеет одно решение по модулю

Если же мо, чтобы

сравнения нет решений. Если дет иметь

d делил b без остатка. Если d не делит b без остатка, то у

d решений:

, НОД am d



, то для решения сравнения (1) необходи-

d делит b без остатка, то сравнение бу-

 , ... ,



 .

В последнем случае решение сравнения можно получить либо ал-





































горитмом Евклида, либо способом Эйлера.

4.5.1. Решение сравнения алгоритмом Евклида

Рассмотрим алгоритм Евклида для нахождения наибольшего

общего делителя

Выполним следующие деления с остатком:

, НОД ab



abq r



brq r



12 2

rrq r

1233



0 rb

0 rr



. . . . .

Тогда

rrqr

21nnnn



rrq

11nnn

, , , ...

НОД ab НОД br НОД rr r













112



, т. е.

равен последнему отличному от нуля остатку в алгоритме Евклида.

Чтобы найти линейное разложение НОД

выражать друг через друга до тех пор, пока все остатки не будут вы-

ражаться через

Пример. Решить сравнение

111, 321 3НОД d



37 25 mod1 07x



всех его частей на

и b .

111 75 mod 321x



. Чтобы найти

, полученное из исходного сравнения делением

d .

Найдём линейное разложение

107 37 2 33

 ,

raubv



, решим сравнение

1au bv :

, надо остатки



, НОД ab



73314

 ,

33 4 8 1

,

414

 .





           











1 33 4 8 33 37 33 8 107 37 2 37 107 37 2 8









9 107 26 37



Значит,

Подставляя

37 25 mod1 07x

111 75 mod 321x



Теперь находим решения исходного сравнения



26u  , 9v



99 1 mod 321 206 mod 321

 

 



99 2 mod 321 313 mod 321

 

 

в (2), получаем решение сравнения

26 25 mod1 07 99 mod1 07x   

99 mod 321x 

321



321

 



4.5.2. Решение сравнения расширенным алгоритмом Евклида

Основным недостатком обычного алгоритма Евклида является не-

удобство нахождения через друга.

Рассмотрим Данный алгоритм позволяет найти

, НОД am d



Необходимо работать с системой равенств

расширенный алгоритм Евклида.

и v с помощью выражения остатков

и v в au mv d

друг

 ,

ya y m y

  



12 3



za zm z

  



12 3



  

tat mt

12 3



На первом шаге полагаем:







































, , 1, 0, yy y m

123

На очередном шаге проверяем: если

d ,

алгоритмом Евклида.

равны

u, v

Иначе производим деление с остатком:

После чего переходим к следующему шагу.

Пример. Решить сравнение

Решение:

, , , , z z z y qz y qz y qz



123 1 1 2 2 3 3

соответственно.

, , , , ttt z z z

123 1 2 3

, , , , yy y ttt

123 123



, , 0,1 , zz z a

, , 0, 0, 0tt t 



  

111 75 mod 322x

1 0 322y 



, то искомые значения

qz r





расширенным

01111z 

Шаг 1. Так как

322 2 111 100  . Значит,

1 2 0 0 2 1 322 2 111 1 2 100z     



, то производим деление с остатком:

. Далее вычисляем:

01111t 

0 1 111y 



Шаг 2.























































Так как

Значит,

, то производим деление с остатком: 111 1 100 11

0z 

1q 

. Далее вычисляем:

.

Шаг 3. Так как

Значит,

Шаг 4. Так как

Значит,

1 2 100t 

0 1 1 1 1 2 111 1 100 1 3 11z    



12100y 

, то производим деление с остатком: 100 9 11 1

0z 

9q 

. Далее вычисляем:

1311t 

1 9 1 2 9 3 100 9 11 10 29 1z     



1311y 

, то производим деление с остатком: 11 11 1 0

0z 

11q 

. Далее вычисляем:

10 29 1t 

1 11 10 3 11 29 11 11 1 111 320 0z   



.

 .



10 29 1y 

Шаг 5. Так как

, то найдено разложение:

0z 

, 1d НОД am y





29uy

10vy

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]