2. Исследование кода Хэмминга

1. Согласно данным из табл. 2 составить образующую матрицу.

2. Составить уравнения проверочных символов из полученной образующей матрицы:

H_7,4 =

3. Составить порождающий полином из минимальных полиномов.

Порождающий полином для кода Хэмминга (7,4) - g(x) = 1011 = x³+х+1

4. Закодировать сообщение.

u(x) = 0101 = 1+х²

y(x) = u(x) * g(x) = (1+x²) * (x³+х+1) = x⁵ + x² + x + 1 = 0100111

5. Внести 1 ошибку в последний символ.

y’ = 0100110

6. Декодировать методом максимального правдоподобия.

d_min = 0100110 + 0100111 = 1

y = 0100111

7. С использованием программы Hamming.slx исследовать зависимость вероятности ошибки после декодирования от вероятности ошибки в канале до декодера.

Ниже представлен результат моделирования при Stop Time = 18200 и вероятности ошибки 0,2

Рис. 1 Результат моделирования для кода (7,4)

Рис. 2 График зависимости частоты ошибок от вероятности ошибок для кода (7,4)

8. Обосновать выводы и рекомендации.

Результаты моделирования в среде Simulink показывают, что при малых значениях вероятности ошибок код Хэмминга позволяет снизить частоту ошибок. При вероятности более 0,2 код Хэмминга «не справляется».

3. Исследование кода бчх

1. Согласно данным из табл. 2 составить проверочную матрицу.

2. Составить порождающий полином из минимальных полиномов.

Согласно таблице коэффициентов порождающих многочленов:

Для (15,11) g(x) = m₁(x) = 23₈ = 010011 = 1 + х + х⁴

3. Закодировать сообщение.

y(x) = g(x)*u(x) = (1+х+х⁴) * (х¹⁰ + х⁸ + х⁶ + х⁴ + х³ + х²) = х¹⁴ + х¹² + х¹¹ + х⁹ + х⁵ + х² = 101101000100100

4. Внести 1 ошибку в последний символ.

y’ = 101101000100101 = х¹⁴ + х¹² + х¹¹ + х⁹ + х⁵ + х² + 1

5. Декодировать методом Питерсона — Горенстейна — Цирлера (ПГЦ).

Для нахождения ошибки найдем синдром. Для этого просуммируем столбцы проверочной матрицы, соответствующие единице в принятой последовательности:

Вычислим синдром S₁ = 1 => ошибка есть

Для t=1 алгоритм ПГЦ сводится к λ(x) = 1*x+1.

Корнем данного многочлена будет х=1.

Определим по полученному корню локатор ошибки X=1/1= 1 => ошибка произошла в первом символе.

6. С использованием программы BCH.slx исследовать зависимость вероятности ошибки после декодирования от вероятности ошибки в канале до декодера.

Ниже представлен результат моделирования при Stop Time = 10000 и вероятности ошибки 0,8

Рис. 3 Результат моделирования для кода (15,11)

Рис. 4 График зависимости частоты ошибок от вероятности ошибок для кода (15,11)

7. Выводы

Результаты моделирования в среде Simulink показывают, что при значениях вероятности до 0.3 ошибок код БЧХ позволяет снизить частоту ошибок. При вероятности более 0.3 код БЧХ «не справляется».

8. С использованием программы koder2v2.mlapp на основе данных из таблицы 3 построить СК, описать его работу и процесс кодирования и декодирования с шумами и без шумов в канале.

Для построения свёрточного кода используем программу koder2v2.mlapp, введём значения первого, второго и третьего полиномов соответственно равных 11, 15 и 0 по основанию 8, а также входную последовательность и запустим симуляцию, сначала в канале без шума, затем с шумом. результат выполнения продемонстрирован на рисунке 5 и рисунке 6 соответственно.

Рис. 5 Результат работы программы koder2 без шумов

Рис. 6 Результат работы программы koder2 с шумами

9. Нарисовать таблицу кодирования информационного потока и диаграмму декодирования по методу Витерби.

Рис. 7 Сверточный кодер

Кодирование информационной последовательности 111001

Таблица 5. Процесс кодирования информационного потока

№ такта	Вход	Состояние регистра сдвига	Сумматор 1 g1[1001]	Сумматор 2 g2[1101]	Выходные кодовые комбинации
1	1	000	1+0=1	1+0+0=1	11
2	1	100	1+0=1	1+1+0=0	10
3	1	110	1+0=1	1+1+0=0	10
4	0	111	0+1=1	0+1+1=0	10
5	0	011	0+1=1	0+0+1=1	11
6	1	001	1+1=0	1+0+1=0	00

Закодированная последовательность: 110 100 100 100 110 000

Декодирование по Витерби

Рис. 8 Диаграмма декодирования Витерби

10) Обосновать значение асимптотической эффективности выигрыша от кодирования.

Эффективность помехоустойчивого кодирования обычно характеризуют энергетическим выигрышем кодирования (ЭВК), измеряемым в децибелах. Он показывает, на сколько дБ можно уменьшить энергию, приходящуюся на один бит передаваемых данных, чтобы при использовании избыточного кода обеспечить требуемую среднюю вероятность битовой ошибки   по сравнению с вариантом без кодирования.

В условиях слабых шумов (асимптотический режим) полезно рассматривать предельный ЭВК, который определяется исключительно скоростью кода   и его кодовым расстоянием  .