Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы для физиков-теоретиков. II
.pdf
3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 31
поскольку здесь существуют две степени свободы: после очередного шага
на H мы располагаем, во-первых, значением x(t + H), во-вторых, целым
семейством погрешностейE
,E
(3)
, ...,E
(k)
,гдеk — номер этапа, на
(2)
котором была достигнута сходимость.
Разумеется, мы можем превратить векторыE
чины погрешностей
для каждого
по времени обеспечит сходимость именно на m-ом этапе. Гипотетическая
зависимость
m найти то значение шага H
(m)
что мы начинаем со схемы второго порядка, так что начальная погрешность пропорциональна O(h
(m)
(см. раздел «Методы Рунге-Кутта»). После этого
от hmимеет вид
3
). На каждом этапе интерполяции по h2из
(m)
(m)
, которое при следующем шаге
0
= Amh
погрешности, которая представляет собой ряд по степеням h
(m)
вчисла—ввели-
2m+1
. Это связано с тем,
2
, вычитается
очередное лидирующее слагаемое, так что порядок схемы увеличивается на
два. Поэтому, совершенно аналогично тому, как мы выбирали новый шаг
для методов Рунге-Кутта:
1
(m)
H
=0.8H0/
0
Теперь возникает вопрос, какой именно шаг H
можных новых шагов H
(m)
следует выбрать.
0
Тривиальный ответ заключается в том, чтобы зафиксировать m
и навсегда, например, положить m
=6. Так что упрощенный рецепт с адап-
0
тивным изменением шага состоит в следующем: мы всегда
6-го этапа (даже когда сходимость достигнута раньше), дальше 6-го этапа
мы считаем только в том случае, когда
нового шага по времени мы берем H = H
(2m+1)
(m)
.
(m0)
из всех этих воз-
0
досчитываем до
(6)
>0.Послеэтоговкачестве
(6)
.
0
раз
0
Самый правильный (на первый взгляд) ответ заключается в том, что
мы выбираем m
этого вычисляем величины η
среди них максимальную η
, обеспечивающее максимальную производительность. Для
0
(m
(m)
max
(m)
= H
)
/Wmпри m =1, 2,...k инаходим
0
. После этого полагаем m0= m
max
.
К сожалению, реализовать эту идею на практике не так-то просто.
Во-первых, найденное таким образом значение m
ше k (мы ведь располагаем H
что m
k). При этом истинное значение m0, обеспечивающее максималь-
0
(m)
0
и η
(m)
только при m =1, 2,...,k,так
будет заведомо мень-
0
ную производительность, вполне может быть больше k, но мы не распола-
гаем механизмом для определения этого m
щего H
(m0)
. Во-вторых, наши оценки для H
0
и вычисления соответствую-
0
(m)
в общем-то не очень точны,
0
32 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФИЗИКОВ-ТЕОРЕТИКОВ
поэтому иногда оказывается, что максимальная производительность якобы
достигается при несуразных значениях m =2или m =11.Попыткаис-
пользовать соответствующие H
(m)
немедленно приводит к значительному
0
уменьшению производительности.
Итак, мы должны придумать способ, позволяющий выбрать m
Для этого необходимо оценить соответствующее H
рецепты для оценки гипотетических значений H
(k+1)
0
(m0)
. В принципе, есть
0
и η
(k+1)
,однакоэти
0
>k.
рецепты не слишком надежны. Простейший выход заключается в том, что
надо выполнять на один этап больше, чем нужно, т. е. после достижения
заказанной точности совершать еще один оборот алгоритма.
Итак, «теоретически-оптимальный» рецепт выглядит следующим образом:
• мы никогда не выбираем m
в том случае, когда m
равным крайним значениям (2 и 11), даже
0
равно 2 или 11.
max
• мы всегда выполняем один лишний (k +1)-ыйэтапалгоритма,врезультате чего находим величины H
(k+1)
0
и η
(k+1)
. Кстати, это не так уж
сильно снижает эффективность алгоритма, хотя мы делаем лишнюю
работу, но и точность при этом заметно растет.
• мы выбираем m
от k не более чем на единицу. Если η
m
= k +1,еслиη
0
ных случаях мы полагаем m
равным k −1, k или k +1,т.е.m0должно отличаться
0
(k−1)>η(k)
, то мы полагаем m0= k − 1,восталь-
= k.
0
(k+1)
(k)
>η
, то мы полагаем
Как нам кажется, «возня» с переменным шагом в интерполяционных
методах далеко не всегда оправдывается. Поэтому выбор между методом
с постоянным шагом H, упрощенным методом с фиксированным m
ипе-
0
ременным шагом H, и «теоретически-идеальным» методом с переменными
m
и H мы оставляем за читателем, в зависимости от его конкретной зада-
0
чи.
Итак, интерполяционные методы безусловно следует применять для
задач с относительно плавно меняющейся правой частью — они заметно
точнее и гораздо производительнее методов Рунге-Кутта. Для задач с резко
(и неаналитически) меняющейся правой частью их тоже можно применять,
но при этом следует помнить, что для этих задач лучше подходят методы
Рунге-Кутта.
3.3. Простейшие методы «предсказание-коррекция»
Как нам кажется, популярность этой группы методов совершенно
необъяснима. Они заметно проигрывают как методам типа Рунге-Кутта, так
3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 33
и интерполяционным методам, причем как по производительности, так и по
точности. Единственным их достоинством является относительная простота
написания. Тем не менее, мы (не слишком подробно) изложим эти методы.
Делаем мы это для того, чтобы не возникал соблазн их применить, если они
встретятся Вам при чтении литературы.
Методы «предсказание-коррекция» делятся на две группы: методы
с постоянным шагом (шаг фиксирован, и по ходу вычислений изменить
его невозможно), эти методы мы для краткости будем называть схемами
Адамса; и методы, в которых возможно адаптивное изменение шага, но
которые в точности совпадают со схемами Адамса при постоянном шаге.
3.3.1. Схемы Адамса
Идея метода очень проста. Пусть мы движемся по траектории, причем
шаг по времени h постоянный. Тогда, добравшись до n-й точки x(t
t
= nh, мы неизбежно должны были вычислить правые части ОДУ во всех
n
предыдущих точках, в частности, в точках t
везде будем писатьf
вместоfx(tm). Следовательно, мы можем оценить
m
старшие производные x(t) по времени в точке t
f
иf
n−1
n−2
f
n−2
:
f
n−1
d
f
d
x(t
=
d
=
dt
dt
x(t
) − h
n
) − 2h
n
n
dt
=
2
d
dt
2
d
2
x(t
dt
x(tn)+
2
x(tn)+
n
и t
n−1
n
. В дальнейшем мы
n−2
, пользуясь значениямиfn,
),
2
3
d
h
x(tn)+··· ,
3
2
dt
2
3
d
(2h)
2
x(tn)+··· ,
3
dt
),где
n
откуда
d
x(t
)=fn,
n
x(tn) ≈
3
x(tn) ≈f
3
dt
1
f
− 2f
n−2
2
− 2f
n−2
n−1
n−1
3
+
2
+fn.
f
,
n
2
d
h
2
dt
d
2
h
dt
Следовательно, мы можем сделать «предсказание»:
2
2
h
2
dt
≈ x(t
d
x(tn)+
2
)+
n
dt
d
x(t
)+
n
(t
x
)=x(tn)+h
n+1
h
12
3
3
d
h
x(tn)+··· ≈
3
6
dt
5f
n−2
− 16f
n−1
+23f
n
34 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФИЗИКОВ-ТЕОРЕТИКОВ
с точностью до O(h3). Довольно ясно, что точность такого предсказания
крайне невысока: вместо «прощупывания» траектории вперед и вычисления
правой части ОДУ в промежуточных точках (как это делается в интерполяционных методах и методах Рунге-Кутта), мы пользуемся исключительно
информацией с предыдущего отрезка траектории.
Положение до некоторой степени спасает второй шаг метода: мы вы-
числяемf
(правую часть ОДУ в точке x(t
n+1
)) и уточняем значения
n+1
старших производных:
h
2
h
2
d
x(tn)=−
2
dt
3
d
x(tn)=f
3
dt
1
2
n−1
f
n−1
1
+
f
2
− 2fn+f
n+1
n+1
,
,
после чего проводим «коррекцию»:
x(t
n+1
)=x(tn)+
12
h
−f
n−1
+8f
n−1
+5f
n+1
.
Полученная точка считается очередной точкой на траектории.
Разумеется, реализовать этот алгоритм очень просто, достаточно по-
просту запоминать значения правой части ОДУ в двух предыдущих точках.
Впрочем, когда мы стартуем из начальной точки, двух предыдущих точек
еще не существует, поэтому метод нуждается в двух «разгонных» шагах,
которые обычно делаются методом Рунге-Кутта.
Как нам кажется, простота есть единственное достоинство изложен-
ного метода. Во-первых, его точность — всего O(h
точность до O(h
что использованиеf
что t
было слишком давно, чтобы иметь отношение к t
n−3
на отрезке [t
4
) бессмысленно: непосредственная проверка показывает,
отнюдь не улучшает ситуацию — довольно ясно,
n−3
] мы вычисляем правую часть ОДУ всего в двух точ-
n,tn+1
3
), причем увеличивать
. Во-вторых,
n+1
ках, а даже в простейшем методе Рунге-Кутта четвертого порядка этих
точек в два раза больше, так что надеяться на высокую точность не приходится. Поэтому неудивительно, что схемы Адамса при данной заказанной
точности гораздо менее производительны, чем методы Рунге-Кутта или интерполяционные методы, причем это верно при любом (плавном или резко
меняющемся) поведении правой части ОДУ. В третьих, хотя в методе и заложена естественная оценка погрешности (она равна разнице между x
и x(t
)), адаптивное изменение шага реализовать невозможно — шаг по
n+1
(t
n+1
времени h фиксирован.
Обычно утверждается, что областью применения методов «предска-
зание-коррекция» являются задачи, в которых правая часть вычисляется
)
3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 35
с исключительно большим трудом. В методах «предсказание-коррекция»
минимальное количество вычислений правой части на единичный сдвиг
по времени. Это действительно так, но и точность полученного ответа будет гораздо хуже, чем при применении других методов. Поэтому, как нам
кажется, методы предсказание-коррекция следует применять в том случае,
когда нас совершенно не интересует точность полученного ответа. Еще раз
подчеркнем, что при данной заказанной точности методы Рунге-Кутта и интерполяционные методы требуют меньшего количества вычислений правой
части на единичный сдвиг по времени, чем методы «предсказание-коррекция».
3.3.2. Переменный шаг
Методы «предсказание-коррекция» легко избавить от одного из их
недостатков, а именно от фиксированного шага. Для этого достаточно запоминать не значения правой части ОДУ в двух предыдущих точках, а зна-
чения старших производных
дущих шагах. Разумеется, с помощью этих производных легко совершить
новый шаг по времени h
Перепишем все соотношения для схем Адамса в терминах четырех
m
величин
нами:
d
x(tn),гдеm =0, 1, 2, 3.Кn-ому шагу мы располагаем величи-
m
dt
2
d
h
2
dt
d
2
h
dt
2
d
x(tn) и
2
dt
, который отнюдь не обязан совпадать с h
n
x(t
d
x(t
dt
1
x(tn)=
3
x(tn)=f
3
f
2
n
)=fn,
n
n−2
n−2
3
d
x(tn), вычисленные на преды-
3
dt
),
3
− 2f
− 2f
n−1
n−1
+
2
+fn.
f
,
n
n−1
.
Выполняем «предсказание»:
2
h
2
d
dt
dt
d
dt
2
d
3
3
2
2
x(tn).
x(tn)+
2
x(tn)+
3
d
dt
)=
n+1
d
dt
3
3
d
dt
d
dt
)=
x(t
x(t
x(t
n+1
)+
n
)+h
n
2
d
x(tn)+h
2
dt
)=
(t
x
)=x(tn)+h
n+1
d
(t
x
dt
2
d
dt
2
n+1
x(t
x(tn),
3
3
h
d
6
dt
2
3
h
d
3
2
dt
3
x(tn),
3
x(tn), (∗)
36 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФИЗИКОВ-ТЕОРЕТИКОВ
После этого вычисляемf
n+1
≡fx(t
). Это позволяет нам про-
n+1
извести второй шаг («коррекцию»), при котором величину
12
h
5f
n−2
− 16f
n−1
+23f
x
(t
)=x(tn)+
n+1
n
надо заменить на
x(t
n+1
)=x(tn)+
12
h
−f
n−1
+8f
n−1
+5f
n+1
,
т. е. добавить к ней
5h
12
f
− 3fn+3f
n+1
n−1
−f
n−2
5h
3
Δ
=
12
.
f
n
Как и следовало ожидать, поправка пропорциональна третьей разностной
3
). Действительно, раз мы работаем с
производнойf (мы обозначили ее Δ
точностью до O(h
3
), то разница между двумя ответами для одной и той же
f
n
величины должна быть пропорциональна четвертой разностной производной x, которая совпадает с третьей разностной производнойf.Ясно,что
поправки в остальных
Действительно, поправка в h
3
d
2
x(t
h
3
dt
n+1
) − h
m
d
x(t
m
dt
3
d
2
x(t
3
dt
) также будут пропорциональны Δ
n+1
3
d
2
x(tn):
3
dt
n−1
n+1
)=
f
− 2fn+f
n+1
−
f
n
− 2f
n−1
+f
−
n−2
=Δ
3
f
n
3
.
f
n
.
Совершенно аналогично, поправка в h
2
d
x(t
h
2
dt
n+1
) − h
−
2
d
dt
3
f
− 2f
n
2
И, наконец, поправка в
d
) −
+
n
(t
x
dt
3
f
− 2f
n
2
dt
d
x(t
n+1
−
f
2
n+1
x(t
n−1
d
dt
n−1
n+1
x(tn):
)=
3
)=
2
1
f
+
n−2
2
f
n+1
1
f
+
n−2
2
2
d
x(tn) равна:
2
dt
f
n+1
+
fn− 2f
−
+
f
− 2fn+
n−1
− 2f
n
n−1
1
2
+f
f
+f
n−1
n−2
−
n−2
=
3
Δ
2
=Δ
3
.
f
n
3
.
f
n
4. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 37
Заметим, что, как только мы вычислимf
чение этой последней поправки. Она равна разности f
Следовательно, вычисливf
, мы тут же находим величину Δ
n+1
этого можно внести поправки во все остальные
, то немедленно получим зна-
n+1
n+1
m
d
x(t
m
n+1
dt
d
−
dt
3
f
).
x(t
n+1
.После
n
Так что окончательный рецепт очень прост:
m
d
• Располагая четырьмя величинами
m
d
x(t
m
dt
• Затем вычисляемf
) («предсказание»).
n+1
n+1
=fx(t
n+1
• После чего вносим поправки в
)=x(t
x(t
n+1
d
x(t
3
3
x(t
x(t
n+1
n+1
dt
)=h
)=h
2
d
h
2
dt
d
2
h
dt
x(tn),мы,пользуясь(∗),находим
m
dt
3
).НаходимΔ
m
d
x(t
m
d
dt
2
n+1
)=f
2
x(t
2
3
d
3
dt
n+1
)+
n+1
x(t
dt
n+1
n+1
=f
f
n
n+1
) («коррекция»):
5h
3
Δ
,
f
n
12
,
3
3
)+
n+1
)+Δ
,
f
Δ
n
2
3
.
f
n
d
−
x(t
n+1
dt
Выбор h для следующего шага по времени реализуется так же, как в методе
Рунге-Кутта. Действительно, в качестве погрешностиE можно рассмат-
5h
3
Δ
, причем она пропорциональна четвертой степени h:
риватьE =
E =Ah
4
.
f
n
12
Как и схемы Адамса, этот метод нуждается в двух «разгонных» шагах,
которые можно сделать методом Рунге-Кутта.
Разумеется, при адаптивном изменении шага результаты получаются
лучше, чем при постоянном шаге, но все равно этот метод существенно
проигрывает как методам Рунге-Кутта, так и интерполяционным методам.
Схемы Адамса и их аналоги с переменным шагом лучше не использо-
вать.
).
).
4. Краевая задача для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Вариантов краевой задачи для системы ОДУ существует великое множество. Тем не менее все они (с некоторой натяжкой) сводятся к такой постановке задачи: существует система N обыкновенных дифференциальных
38 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФИЗИКОВ-ТЕОРЕТИКОВ
уравнений для N неизвестных, которая рассматривается на конечном или
бесконечном интервале [t
]. Мы располагаем M граничными условиями
1,t2
на левом конце интервала:
L
x(t
)=0,k=1,...M
k
1
и, соответственно, N − M граничными условиями на правом конце интервала:
R
x(t
)=0,k=1,...N − M.
k
2
Необходимо найти решение системы ОДУ, удовлетворяющее этим условиям. Задачи на спектр дифференциальных операторов также можно описать
в этих терминах, если ввести лишнюю переменную x
му собственному значению. Переменная x
виальному уравнению движения
d
x
N+1
dt
должна удовлетворять три-
N+1
=0.
, равную искомо-
N+1
4.1. Метод «стрельбы»
Метод стрельбы не только самый тривиальный, но и самый эффективный метод решения краевой задачи. К сожалению, он далеко не всегда
работает. Общая же рекомендация очень проста: если стрелять можно, то
нужно стрелять.
4.1.1. Общий рецепт
Пусть M N/2. Тогда прежде всего следует параметризовать решение M уравнений L
найти такие x
i(α1
k
,...α
x(t
)=0спомощьюN − M параметров αk,т.е.
1
N−M
),чтоL
x(α
,...α
k
1
)=0для всех k.
N−M
Часто встречается рекомендация просто выразить какие-то M штук
x
) через остальные N − M штук xi(t1) с помощью уравнений Lk.
i(t1
Этой рекомендации лучше не следовать. Например, если граничное условие имеет вид x
1
2
+ x
=1,тополагатьx2= ±1 − x
2
2
весьма неразумно.
1
2
Во-первых, мы получаем неоднозначное выражение. Во-вторых, производная dx
и записать решение уравнения x
x(α
/dx1бесконечна при x1= ±1. Куда разумнее ввести параметр α
2
Каждый фиксированный набор (α
, ... α
1
), который удовлетворяет граничным условиям Lkна левом
N−M
2
2
+x
=1ввиде:x1=cos(α), x2=sin(α).
1
2
,...α
1
) дает нам вектор
N−M
конце интервала. Будем рассматривать этот вектор как начальное условие
для задачи Коши на интервале [t
]: x(t1,α1,...α
1,t2
)≡x(α1,...α
N−M
N−M
Решим эту задачу Коши, т. е. «произведем выстрел». В результате мы получим значения x(t
, α1, ... α
2
) на правом конце интервала.
N−M
).
4. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 39
Разумеется, результат этого «выстрела», скорее всего, будет неудачным:
величины x(t
ничным условиям R
условия R
вой задачи, ведь x(t, α
левом конце интервала и является решением системы ОДУ. Однако условия R
k
, α1, ...α
2
, полученное решение задачи Коши было бы и решением крае-
k
k
), почти наверняка, не будут удовлетворять гра-
N−M
на правом конце интервала. Если бы не граничные
,...α
1
) удовлетворяет граничным условиям на
N−M
все портят: почти наверняка, R
x(t
k
2,α1
,...α
)=0, иными
N−M
словами, «выстрел не попадает в цель».
Следовательно, чтобы решить нашу краевую задачу, нам надо так подобрать параметры α
удовлетворяло граничным условиям при t = t
,...,α
1
(«прицелиться»), чтобы x(t, α1,...α
N−M
. Иными словами, нам надо
2
N−M
решить систему N −M уравнений
R
x(t
1
для N −M неизвестных α
аналитическим выражением для R
чтобы вычислить R
2,α1
,...α
)=0,...,R
N−M
,...α
1
N−M
x(t
для каждого данного набора α1,...α
k
k
мо решить задачу Коши на интервале [t
Решать систему уравнений R
относительно неизвестных αiпридется
k
N−M
x(t
2,α1
,...α
N−M
)=0
. При этом мы не располагаем явным
2,α1
1,t2
,...α
].
). Действительно,
N−M
N−M
,необходи-
методом Ньютона (см. часть I, раздел «Многомерные корни»). Именно, выбрав некоторуюначальную точку α
соответствующие значения R
, и, во-вторых, значения производных ∂
k
(0)
1
,...α
(0)
,мывычисляем,во-первых,
N−M
Rk.
α
i
К сожалению, производные в данном случае можно вычислить только совершенно варварским методом варьирования по α
1
∂
α
i
Rk=
R
x(t
k
,...,αi+ ,...,α
2,α1
−R
x(t
k
i
)−
N−M
,...,αi,...,α
2,α1
:
)
N−M
,
)
причем нельзя брать ни слишком большим (это будет уже не производная), ни слишком маленьким (в этом случае мы найдем не производную,
а разность в ошибках округления). Оптимальное значение зависит от
конкретной задачи. Вычислив производные, мы решаем систему линейных уравнений для смещений δα
приближение к корню α
(1)
i
R
Напомним, что следует установить некоторую максимальную длину Δ
для вектора δα.Еслиδα длиннее Δ
ется, а длина укорачивается до Δ
, которые позволят получить следующее
i
(0)
= α
+ δαi:
i
+ ∂
k
Rkδαi=0.
α
i
, то направление вектора сохраня-
max
. Опять-таки, выбор Δ
max
зависит от
max
max
40 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФИЗИКОВ-ТЕОРЕТИКОВ
конкретной задачи. Заметим, что только для того, чтобы найти следующее
приближение к корню α
чу Коши на интервале [t
будет с достаточной точностью найден искомый корень системы уравнений
R
x(t
k
2,α1
,...,α
(1)
, нам приходится (N − M +1) раз решать зада-
i
]. Процедура повторяется до тех пор, пока не
1,t2
)=0, что и завершит решение краевой задачи.
N−M
В том случае, когда M N/2, мы просто меняем местами левый и пра-
вый концы интервала, т. е. «стреляем» не слева направо, а справа налево.
При этом начальной точкой для задачи Коши является t
точка t
.
1
,аконечной—
2
К сожалению, далеко не всегда системе ОДУ все равно, в какую сторону по времени t мы движемся (см., например, следующий раздел). Поэтому
часто возникают ситуации, когда приходится «стрелять» из обеих концевых
точек в направлении некоторой промежуточной точки t
∈ [t1,t2].Приэтом
3
решение левых граничных условий мы параметризуем N −M параметрами
α
,...α
1
направо) и получаем точку x
вых граничных условий параметризуем M параметрами α
решаем задачу Коши на интервале [t
лучаем точку x
стему N уравнений x
неизвестными α
, решаем задачу Коши на интервале [t1,t3] («стрельба» слева
N−M
R(t3,αN−M+1
L(t3,α1
,...αN.
1
L(t3,α1
,...α
2,t3
). Аналогично, решение пра-
N−M
N−M+1
] («стрельба» справа налево) и по-
,...αN). После чего необходимо решить си-
,...α
)=xR(t3,α
N−M
N−M+1
,...αN) с N
,...αN,
Еще раз напоминаем, что «стрельба» есть самый эффективный способ решения краевой задачи, если только ее удается применить к данной
системе ОДУ.
4.1.2. Уравнение типа Шредингера
Формально говоря, задача поиска дискретного спектра квантовомеханической системы решается общими методами, описанными в предыдущем
разделе. Однако, при решении этой задачи необходимо учитывать столько
специфических деталей, что она требует отдельного обсуждения.
Итак, пусть мы ищем уровни энергии с помощью уравнения типа Шредингера
6
:
ψ
(x)+Eρ(x) − V (x)ψ(x)=0.
Ранее мы обозначали переменную, по которой идет дифференцирование,
буквой «t» и называли ее «временем». Для уравнений Шредингера это было
6
Напомним,что большинство задач о спектре дифференциальногооператора второго порядка можно свести к этому виду. Достаточно провести замену переменной x и переопределить
функцию ψ. Более того, можно даже добиться, чтобы из уравнения исчез вес: ρ(x) можно
сделать равным 1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]