Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы для физиков-теоретиков. II
.pdf
8. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 111
нулять высокочастотные гармоники нельзя, их следует именно подавить,
причем тем сильнее, чем больше частота (волновое число). Так что в качестве функционала надо брать|f
|2F (k), где функция подавления F (k)
k
почти равна нулю для низкочастотных гармоник и достаточно велика для
высокочастотных.
Если задача линейна, то и функционал дополнительного условия имеет
смысл выбирать линейным, т.е. представлять его в виде (ˆRx −r)
2
. Величи-
ны r для большинства условий, встречающихся на практике, равны нулю.
А теперь, чтобы найти приближенное решение нашего линейного уравнения, которое еще к тому же будет удовлетворять дополнительному условию (например, условию регулярности), мы должны найти минимум функционала
Φ(x)=(ˆAx −b)
2
+ (ˆRx)2,
где — некоторая константа. Если размер матрицы позволяет, то можно
попросту решать СЛУ:
т
ˆ
A
A + ˆR
т
ˆ
ˆ
Rx =ˆA
т
b,
в противном случае следует искать минимум функционала Φ(x) спомощью
стандартных алгоритмов поиска минимума.
Очевидно, что ответ будет зависеть от константы . Возникает естественный вопрос, как ее выбирать. Универсального ответа не существует.
В принципе существуют алгоритмы автоматического выбора , но гораздо
надежнее проконтролировать этот процесс вручную. Ясно, что при очень
маленьких мы получим очень маленькую невязку и не слишком гладкое
решение (случай =0соответствует полному отсутствию регуляризации).
Напротив, при достаточно большом мы получим весьма гладкое решение, но с большой невязкой. Иными словами, полученный результат (хотя
и гладкий) не будет хорошим решением исходной задачи. Поэтому следует
искать компромисс между гладкостью и невязкой где-то посередине между
этими крайними случаями. Что именно является удовлетворительным решением, зависит от конкретной задачи. Как правило, есть целое семейство
таких удовлетворительных решений (с не слишком большой невязкой и довольно гладких), соответствующее отрезку ∈ [
min,max
].Болеетого,эти
решения довольно похожи друг на друга (не очень сильно отличаются друг
от друга). При <
решение становится нерегулярным, а при >
min
max
резко растет невязка.
Еще раз подчеркнем, что определять, какая невязка еще удовлетворительна и какое именно решение еще можно считать достаточно гладким,
приходится в зависимости от конкретной задачи.
112 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФИЗИКОВ-ТЕОРЕТИКОВ
9. Задачи для вычислительного практикума
Задача 1
Решить задачу Коши для трехмерного движения трех тел:
¨
x
= −g12(x1−x2)|x1−x2|
m
1
1
¨
m
x
= −g12(x2−x1)|x2−x1|
2
2
¨
m
x
= −g13(x3−x1)|x3−x1|
3
3
Значения констант m
, x3,˙x1,˙x2,˙x3приведены во входном файле. Найти координаты
x
2
, m2, m3, g12, g13, g23и начальные данные x1,
1
частиц в момент времени t = 250. Добейтесь глобальной абсолютной точности не хуже 1.0 ·10
3/7
− g13(x1−x3)|x1−x3|
3/7
− g23(x2−x3)|x2−x3|
3/7
− g23(x3−x2)|x3−x2|
−9
(при изменении локальной точности
в 10 раз ответ должен меняться не более чем на 1.0 · 10
3/7
,
3/7
,
3/7
.
−9
). Используйте интерполяционный метод и метод Рунге-Кутта. Сравните их
скорости (при данной точности).
В этой задаче особого физического смысла нет, но оценить эффективность соответствующих методов она позволяет. Здесь надо обратить внимание на то, чтобы студенты находили правую часть ОДУ разумным образом,
т. е. не вычисляли по два раза одно и то же.
Если уровень подготовки студентов невысок, то можно отказаться от
сравнения методов, тогда будет два варианта задачи — с интерполяционным
методом и с методом Рунге-Кутта.
Задача 2
Найти уровни энергии квантовомеханической частицы в потен-
циале:
ψ
(x)+E −V (x)ψ(x)=0,
V (x)=−α ∗
1.0 − 0.8 ∗ cosβ ∗ (x − 0.01)
cos h(γ ∗x)
,
где α =20, β =0.41, γ =0.42. Найти 6 нижних уровней энергии,
начиная с основного состояния E
должнабытьнеменее10
−11
. Точность определения уровней
1
.
Эта сравнительно несложная задача имеет непосредственный физиче-
ский смысл. Физик-теоретик безусловно должен уметь искать дискретные
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ПРАКТИКУМА 113
уровни для уравнения Шредингера. Кроме того, эта задача позволяет напомнить свойства спектра в двойной яме.
Задача 3
Найти 3 нижних p-уровня энергии квантовомеханической части-
цы в сферически-симметричном потенциале:
ψ
(r)+E −V (r)ψ(r)=0,
l(l +1)
V (r)=−
α
+
r
2
r
β
+
,
4
r
для α =1,l=1,β=0.0
идля α =1,l=1,β=0.001.
Точность определения уровней должна быть не менее 10
−10
.
Эта задача про особую точку в радиальном уравнении Шредингера.
Случай β =0.0 позволяет сравнить численный ответ с точным. Теоретики
безусловно должны уметь находить уровни энергии атома водорода.
Задача 4
Дана система двух уравнений типа Шредингера:
0.2
ψ
=0,
2
r
0.2
+
2
ψ
=0.
1
r
ψ
ψ
2
+E +
1
+E +
2.2
r
2.2
r
+
−
ξ
3
r
2.0 · 10
r
2.0 ·10
−
−10
ψ
+
4
r
1
−10
4
ψ
−5
Для каждого из значений ξ =0.0, ξ =1.21 ·10
ξ =1.401 · 10
−5
, ξ =1.413 · 10−5надо найти по 4 нижних уровня
, ξ =1.31 · 10−5,
энергии.
Это, в общем-то, излишне усложненная задача. Здесь и особая точка,
и две компоненты волновой функции в уравнении Шредингера. (Впрочем,
это попросту спиновые компоненты из уравнения Паули). Зато это настоящая задача «из жизни физика-теоретика». Кроме того, здесь хорошо виден
эффект «завала» уровней энергии в более узкую часть потенциальной ямы
при возрастании коэффициента ξ, так что физический смысл в этой задаче
есть.
114 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФИЗИКОВ-ТЕОРЕТИКОВ
Задача 5
Решить задачу Коши для уравнения Шредингера
i∂
ψ(x, t)=−∂
0
V (x)=U
2
ψ(x, t)+V (x)ψ(x, t),
1
δ(x + a)+U0δ(x − a).
0
Начальные условия выбрать в виде гауссового пакета, причем средняя энергия должна совпадать с энергией главного резонанса. Подобрать диапазон изменения координаты x и диапазон изменения времени t так, чтобы можно было проследить всю картину рассеяния
пакета. Подобрать ширину пакета и величину потенциала так, чтобы
были видны колебания метастабильного уровня и экспоненциальные
хвосты пакетов после рассеяния.
Это полуаналитическая-полусчетная задача, в которой главным является правильная «подгонка» параметров. Поэтому давать ее можно только при
очень высоком уровне подготовки студентов. Тем не менее (при благоприятном исходе), эта задача очень полезна для лучшего понимания процессов
рассеяния в квантовой механике.
Задача 6
Решить задачу Коши для уравнения
2
u(x, t)=∂
∂
0
на решетке x
u(x
) и ∂0u(xi,t0) при t0= −72.28593 приведены во входном
i,t0
...x
1
файле. Найти u(x
2
u(x, t) − sinu(x, t)
1
сшагомdx =0.005. Начальные данные
10000
) при t1=72.28593.
i,t1
Разумеется, здесь решается задача, для которой известен точный аналитический ответ.
Прекрасно известны решения для рассеяния пары солитон-солитон:
4 arctg
v shx/
chvt/√1 − v
√
1 − v
2
,
2
для рассеяния пары солитон-антисолитон:
4 arctg
√
shvt/
v chx/√1 − v
1 − v
2
2
9. ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ПРАКТИКУМА 115
4 arctg
√
sinvt/
v chx/√1+v
1+v
2
.
2
Надо попросту подобрать подходящую скорость v так, чтобы за ра-
зумный временной интервал [t
] происходил полный цикл рассеяния
0,t1
или полный цикл эволюции бризера. При этом скорость не должна быть
ни слишком маленькой — тогда потребуется слишком много времени, ни
слишком большой — тогда упадет точность счета.
Задача 7
Решить уравнение
3
−Δϕ(x, y)+ϕ(x, y)+2ϕ
(x, y)=0
вквадрате0 x 1, 0 y 1 с граничными условиями:
ϕ(x, 0) = sin(π ·x),ϕ(x, 1) = sin(2π · x),
ϕ(0,y)=sin(π · y),ϕ(1,y)=sin(2π ·y).
Использовать равномерную сетку 301 × 301, dx = dy =1/300,
= i ∗ dx, yj= j∗dy, i, j =0...300. Невязка во всех узлах сетки не
x
i
должна превышать 1.0 ·10
чения ϕ(x
), j =0...300. Используйте чебышевское ускорение
150,yj
−8
. Выходной файл должен содержать зна-
и метод минимизации невязки. Сравните их скорости.
Вообще, это чисто иллюстративная задача, особого смысла у нее нет.
Если уровень подготовки студентов невысок, то можно отказаться от сравнения методов, тогда получится два варианта задачи — с классическим
чебышевским методом и с методом минимизации невязки.
Задача 8
Найти основное состояние (дискретный уровень с наименьшей
энергией) в прямоугольной потенциальной яме для уравнения:
−ψ(x + i)+ψ(x −i) − 2ψ(x)+E −V (x)ψ(x)=0,
V (x)=−V
θa −|x|.
0
116 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФИЗИКОВ-ТЕОРЕТИКОВ
Чтобы найти уровень, решите интегральное уравнение
ψ(x)=dy g(k, x − y) V (y) ψ(y),
здесь
g(k, x)=−
1
sin k
sh(π − k)x
sh(π − 0)x
,
где E =2cosk −2.
Это настоящая задача «из жизни физика-теоретика». При высоком
уровне подготовки студентов можно не указывать метод решения задачи через интегральное уравнение — пусть сначала попробуют продолжить функцию на комплексную плоскость с помощью интерполяции (достаточной
точности при этом не получится).
Литература
Общий для всего курса численных методов список рекомендованной
литературы и комментарии к нему мы уже привели в части I. Здесь мы
приводим этот список еще раз для удобства читателей.
[1] Н. Н. Калиткин «Численные методы». — М.: «Наука», 1978.
[2] Н. С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г. М. Кобельков «Численные методы». —
М.: «Наука», 1973; М.: «Наука», 1987.
[3] А. А. Самарский «Введение в численные методы». — М.: «Наука», 1982;
М.: «Наука», 1987; М.: «Наука», 1997.
[4] Л. И. Турчак «Основы численных методов». — М.: «Наука», 1987.
[5] В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырский «Начала теории вычис-
лительных методов». — Минск: «Наука и техника», 1986.
[6] Е. А. Волков «Численные методы». — М.: «Наука», 1982.
[7] В. И. Приклонский «Численные методы в физике». — М.: МГУ, 1999.
[8] В. И.Косарев «12 лекций по вычислительной математике». — М.:
МФТИ, 1995.
[9] М. К. Гавурин «Лекции по методам вычислений». — М.: «Наука», 1971.
[10] А.А. Самарский «Введение в теорию разностных схем». — М.: «Наука»,
1971.
[11] А. А. Самарский, А. В. Гулин «Численные методы математической фи-
зики». — М.: «Научный мир», 2000.
[12] А.Н. Тихонов, В. Я. Арсенин «Методы решения некорректных за-
дач». — М.: «Наука», 1986.
118 ЛИТЕРАТУРА
[13] Р. Рихтмайер, К. Мортон «Разностные методы решения краевых за-
дач». — М.: «Мир», 1972.
[14] StoerJ., BulirshR. «Introduction to numerical analysis». — New-York:
Springer-Verlag, 1980.
[15] W. H. Press, S.A. Teukolsky, W. T.Vetterling, B. P. Flannery «Numerical
recipes in C». — Cambridge University Press, 1995.
[16] F. S. Acton «Numerical methods that work». — Washington: Mathematical
association of America, 1990.
[17] D.E. Knuth «The art of computer programming». — Reading, MA: Addison-
Wesley, 1989.
[18] G. H. Golub, C. F.Van Loan «Matrix computations». — Baltimore: John
Hopkins University Press, 1989.
Ильина Вера Алексеевна
Силаев Петр Константинович
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФИЗИКОВ-ТЕОРЕТИКОВ
ЧАСТЬ 2
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерная верстка Ю. С. Кирьянова
Корректор Н. В. Сухих
Подписано в печать 09.02.19. Формат 60 × 841/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 6,86. Уч.изд. л. 6,43. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ №177.
АНО «Институт компьютерных исследований»
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]