Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы методов контроля и испытания. Учебное пособие
.pdf
– 81 –
ni
iСР
t
n
t
1
1
ˆ
1
ˆ
r
i
i
rn
r
tftPL
1
r
t
r
etP
i
t
i
etf
r
i
i
r
i
r
t
r
rnt
r
i
t
rnt
eeeeL
1
)(
1
)(
ставлять 1000 – 10 000 часов. Следовательно, время испытания может
оказаться неприемлемо большим.
Среднее время наработки на отказ устройства можно определить
по формуле
. (2.23)
2.9.2.2. План NBr (r < N)
На практике стремятся уменьшить время испытаний или ограни-
чить время приемлемыми значениями. Самым простым методом является ограничение количества объектов, вышедших из стоя при испытании. Т.е. время испытания ограничивается временем tr, где r – число
отказавших устройств (r < N).
Для проведения таких испытаний применяется следующая схе-
ма.
Перед началом испытания ограничивают количество устройств,
которые могут выйти из строя (r). Для каждого вышедшего из строя
устройства определяют момент времени отказа (t1, t2, t3, …, tr).
Данная схема значительно снижает время испытания, т.к. tr << tn.
К моменту времени tr число исправных устройств равно n–r, число
вышедших из строя r.
Определим оценку интенсивности отказа методом максимально-
го правдоподобия. Функция правдоподобия может быть записана в
виде
, (2.24)
где P(tr) – вероятность безотказной работы для экспоненциального
закона в момент времени tr, т.е.
; f(ti) – значение плотно-
сти распределения в момент времени ti, т.е. в момент отказа i–го изде-
лия,
; n – r – число исправных устройств к концу испыта-
ния. Тогда
. (2.25)
– 82 –
ri
ir
trrntL
1
ln)( ln
0
1
)(
ln
1
ri
ir
trrnt
L
ri
ir
trnt
r
1
)(
ˆ
ri
i
t
1
)( rntr
n
tr
tF
r
r
ˆ
t
etF 1
r
t
r
etF
ˆ
1
ˆ
Прологарифмируем функцию правдоподобия:
. (2.26)
Возьмем частную производную логарифма функции правдоподобия по и приравняем ее к 0:
. (2.27)
Из полученного выражения можно определить оценку параметра
интенсивности отказа
. (2.28)
Полученное выражение представляет собой суммарную нара-
ботку всех устройств, принимавших участие в испытании, т.е.
суммарная наработка всех отказавших устройств,
– суммар-
–
ная наработка устройств, оставшихся по окончании испытания исправными.
Недостатком метода является необходимость постоянно контролировать работоспособность устройств во время испытания (обеспечить непрерывный контроль устройств на испытании).
2.9.2.3. План NBT (T = tr)
Процесс испытания можно упростить: вместо непрерывного
контроля параметров объекта проводить испытания фиксированное
время (tr), а после завершения испытания подсчитать количество устройств, вышедших из строя (r). По полученным результатам можно
определить оценку функции распределения:
. (2.29)
Для проведения испытания применяется экспоненциальный за-
кон распределения
или
.
Приравнивая значения выражений, можно определить оценку
интенсивности отказов
– 83 –
r
r
t
n
tr
1ln
ˆ
rо
t
r
e
tr
n
1
. (2.30)
Для получения оценки интенсивности отказа перед началом ис-
пытания задают приемлемое временя испытания t
, проводят испыта-
r
ния в течение данного времени. После окончания испытания определяют количество вышедших из строя устройств (r). Для правильного
проведения испытания необходимо знать минимальное количество
объектов, направленных на испытания.
Из последней формулы выразим n:
, (2.31)
где tr – предпочтительное время испытания (задается производителем
для проведения испытания); о – ожидаемая интенсивность отказа
устройства, или интенсивность отказа для устройств, аналогичных
испытываемым; r – максимальное число устройств, которое может
выйти из строя при испытании.
Для определения объема выборки для испытания необходимо:
1) задать приемлемое время испытания;
2) задать приблизительное значение интенсивности отказа.
Данное значение можно выбрать из предыдущих испытаний
подобных объектов или из литературных данных;
3) задать максимальное количество отказов при проведении
испытания.
Аналогичным образом можно получить формулы для показате-
лей надежности для других планов испытаний [4].
2.9.3. Метод последовательных испытаний
Метод последовательных испытаний (последовательного анали-
за) относится к методам проверки статистических гипотез. Метод по-
зволяет установить соответствие фактического уровня надёжности
изделий требованиям ТУ. Метод применяют для контрольных испы-
таний на надёжность и контроля качества изделий. Метод последова-
– 84 –
тельных испытаний не позволяет получить количественные оценки
показателей надежности.
Идея методов проверки статистических гипотез состоит в том,
что получаемые статистические оценки сравнивают между собой по
какому–либо признаку, называемому гипотезой. Гипотезы представ-
ляют собой некоторые утверждения относительно распределений совокупности. Все гипотезы делят на нулевые и альтернативные. Нуле-
вые (проверяемые) гипотезы Н0 утверждают, что различие между
сравниваемыми величинами отсутствует. Наблюдаемые отклонения
объясняются лишь случайными колебаниями в выборках. Альтерна-
тивные гипотезы Н
– все гипотезы, противоположные проверяемым.
1
В результате проверки гипотез возможны ошибки первого и вто-
рого рода. Ошибка первого рода
есть ошибка отклонения верной
гипотезы. Ошибка второго рода есть ошибка принятия ложной ги-
потезы. Ошибки и возможны за счёт ограниченности статистиче-
ских данных. Они являются неизбежной платой за вынесение реше-
ния. Величины и влияют на длительность испытаний и необходи-
мый объем выборки, поэтому их оговаривают до испытаний путем
соглашения между поставщиком и заказчиком.
В промышленных испытаниях – риск исполнителя (поставщика), вероятность браковки годных изделий; – риск заказчика (потребителя), вероятность принять негодные изделия.
Конечным результатом испытаний партии изделий на надёжность может быть одно из двух решений:
а) надёжность соответствует установленным требованиям – принять партию изделий;
б) надёжность не соответствует установленным требованиям –
забраковать партию изделий.
Эти решения содержат некоторую вероятность ошибки первого
рода, когда хорошая партия бракуется, и второго рода, когда плохая
партия принимается.
Метод дает точное правило для принятия в любой момент времени одного из трех решений:
1) принять проверяемую гипотезу;
– 85 –
)(
)(
0
1
HR
HR
1
;
1
ВА
2) отвергнуть проверяемую гипотезу;
3) продолжить испытания для получения новой информации.
Для проведения последовательных испытаний прежде всего за-
даются гипотезами Н0 и Н
. Для известного закона распределения из-
1
меряемой величины составляется отношение правдоподобия:
, (2.32)
где R(Н1) – вероятность получения интересующей нас статистики при
условии, что верна гипотеза Н
условии, что верна гипотеза Н
; R (Н0) – аналогичная вероятность при
1
.
0
Это отношение правдоподобия определяется на каждом этапе
испытаний и сравнивается с двумя положительными величинами А и
В . Величины А и В определяются по коэффициентам
В результате сравнения
, A, B принимаются следующие реше-
. (2.33)
и :
ния:
если B , то вся партия изделий считается годной;
если А, то вся партия изделий считается бракованной;
если B< <A, то необходимо продолжить испытания.
Какое из этих трех решений принять, зависит от исхода наблю-
дения к моменту принятия решения. При достаточной продолжитель-
ности испытания всегда заканчиваются решением о приемке или бра-
ковке. Чем меньше риск
и , тем больше длительность испытаний.
Испытания по методу последовательного анализа, как правило,
более экономичны по сравнению с другими методами. Для метода
характерно то, что число отказов заранее не задано.
2.9.3.1. Последовательные испытания
для распределения Пуассона
Распределение Пуассона применяется при простейшем потоке
отказов. Поток называется простейшим, если отказы устройств явля-
ются независимыми, одинарными и без последствий. Вероятность
появления r отказов за время t определяется формулой:
– 86 –
tr
et
r
t λ, r,R
)(
!
1
)(
0
01
t
r
t
r
t
r
e
et
r
et
r
trR
trR
tr
)(
0
1
0
1
0
1
01
0
1
)(
)(
!
1
)(
!
1
),,(
),,(
),(
Btr
пр
),(
Atr
бр
),(
01
0
1
lnln
Brt
пр
01
0
1
lnln
Аrt
бр
, (2.34)
где – постоянная интенсивность отказов в период нормальной работы устройства; t – время эксплуатации или испытания устройства; r –
число отказов устройства, целое число.
Пусть
– заданная максимально допустимая интенсивность от-
1
казов, при которой изделие принимается;
величина интенсивности отказов такая, что
Определим гипотезу Н
, что
0
– некоторая произвольная
0
<
.
0
1
, и гипотезу H
, что
1
. Составим отношение правдоподобия:
. (2.35)
Это отношение сравнивается с величинами А и В при определен-
ных
и , чтобы принять решение о приёмке или браковке изделий.
Величина
устанавливается ТУ на изделия. Величину
1
указы-
0
вает сам изготовитель с определенным технологическим запасом так,
что
<
.ДЛЯ заказчика наиболее важными являются величины
0
1
. Время испытаний зависит от величин
ется с уменьшением
,
и с увеличением
, β,
/
1
1
при заданной
0
, .Оно увеличива-
0
1
и
1
.
Определим минимальное необходимое время испытаний, чтобы
принять решения о приемке и браковке изделия. Из условия приемки
и
получим:
При фиксированных значениях A, B,
,
и
испытания не могут
1
2
. (2.36)
закончиться быстрее, чем через tпр. Испытаниям могут подвергаться
как один, так и несколько образцов изделий. В последнем случае время испытаний пропорционально уменьшается. Отказы фиксируются в
моменты их возникновения.
– 87 –
rnrr
n
qqСq n, r,R
)1()(
rnr
q
q
q
q
qnrR
qnrR
nr
0
1
0
1
0
1
1
1
),,(
),,(
),(
Bnr
пр
),(
Аnr
бр
),(
0
1
01
10
1
1
ln
)1(
)1(
lnln
q
q
qq
qq
rB
n
пр
0
1
01
10
1
1
ln
)1(
)1(
lnln
q
q
qq
qq
rА
n
бр
2.9.3.2. Последовательные испытания для биномиаль-
ного распределения
На испытание направляется ограниченная выборка n, по окончании испытания вышло из строя r устройств. Необходимо по результатам испытания либо принять всю партию как годную, либо как бракованную.
Вероятность того, что в выборке объема n дефектными окажутся
r изделий, выражается биномиальной формулой
где q – вероятность брака всей партии изделий, неизвестная величина.
Определим гипотезы: нулевая гипотеза H0 состоит в том, что q =
= q0, альтернативная гипотеза H1 состоит в том, что q=q1.
Вероятность q1 задана ТУ, вероятность брака q0 которой задается
поставщиком, q0 < q1.
Для гипотез H1 и H0 определим отношение правдоподобия
, (2.37)
. (2.38)
Это отношение сравнивается с величинами А и B при определен-
ных и
, для принять решение о приемке или браковке изделий.
Из условия
и
определим минималь-
но необходимое количество приборов на испытании n:
,
. (2.39)
Результаты расчетов округляют до ближайшего целого числа.
2.9.3.3. Графический метод последовательных
испытаний
Данный метод упрощает проведение испытания. Перед началом
испытаний по исходным данным составляется график функции r(t)
[или r (n)] с указанием областей приемки, браковки и неопределенно-
– 88 –
ΑtrΒ ,
21
r
0
1
01
0
1
0
1
01
0
1
ln
)(
ln
ln
ln
)(
ln
ln
t
A
r
t
B
0
1
1
ln
ln
B
С
0
1
01
2
ln
)(
С
0
1
3
ln
ln
A
С
tCCrtCC
2321
Рис. 2.13. График последовательных испытаний для распределения Пуассона
сти. В процессе испыта-
ний после каждого этапа
по имеющейся информа-
ции определяется поло-
жение точки на графике
по координатам r, t (или
r, п). В зависимости от
того, в какую область
попадает точка, принима-
ется соответствующее
решение. Таким образом,
отпадает необходимость
выполнять расчёты.
Условие принятия решения можем выразить неравенством
. Это неравенство можно преобразовать относительно
числа отказов r:
Если рассматривать число r как функцию объема выборки или
времени испытаний, то r =
приемки, r =
– границей области браковки.
2
Для распределения Пуассона с учетом формул (2.36) границы
описываются выражением:
Введем следующие обозначения
Тогда уравнение примет вид
Граница является прямыми линиями с угловым коэффициентом
C2, причем всегда C3 > 0; C2 > 0; C1 < 0.
На рис. 2.13 показан вид графика последовательных испытаний.
.
будет уравнением границы области
1
. (2.40)
;
;
. (2.41)
.
– 89 –
e
0
1
1lnln
0
1
e
B
B
C ln
ln
ln
0
1
1
A
A
C ln
ln
ln
0
1
3
1
0
1
01
2
63,0
ln
C
.
1
;
1
,63,0ln;63,0ln
11
ABгде
tArtBr
БРПР
nSSrnSS
2321
1
0
0
1
1
1
ln
1
q
q
q
q
h
BhS ln
1
1
0
2
1
1
ln
q
q
hS
AhS ln
3
Две параллельные линии rБР, rПР делят пространство на три области:
приемки, браковки и неопределенности.
По оси абсцисс откладывается суммарная наработка t всех об-
разцов изделий, находящихся одновременно на испытаниях. В процессе испытаний периодически по наработке t и зафиксированному
числу отказов r определяется положение точки с координатами r , t на
графике. Между линиями приемки и браковки вычерчивается ступенчатая кривая, которая представляет количество отказов r к моменту t.
Эту ступенчатую кривую называют графиком последовательных ис-
пытаний. В зависимости от области, в которую попадает точка, принимается соответствующее решение.
Минимальное время испытаний t
определяется точкой пере-
MIN
сечения линии приемки с осью времени (см. рис. 2.13). Испытания не
могут быть закончены раньше времени t
MIN
.
Формулы для коэффициентов C1, C2, C3 принимают простой вид,
когда
, тогда
. При этом условии получаем
;
;
.(2.42)
Тогда уравнение граничных линий примет вид:
(2.43)
Рассмотрим построение графика для биноминального распреде-
ления. С учетом выражений (2.39) можно получить неравенство:
где
;
;
, (2.44)
;
.
График последовательных испытаний приведен на рис. 2.14, как
и в предыдущем случае на графике можно выделить три области: об-
– 90 –
Рис. 2.14. График последовательных испытаний
для биноминального распределения
Рис. 2.15. График усеченных испытаний
ласть приемки, область брака, область неопределенности. По резуль-
татам испытания наносят точки на график. В результате строится ступенчатая функция. По положению точек делают выводы по качеству
партии устройств.
2.9.3.4. Усеченные последовательные испытания
Метод состоит в том, что заранее ограничивают время испыта-
ний (объем выбор-
ки) или число отка-
зов при заданных
вероятностях оши-
бок. Все простран-
ство делится на две
области: область
приемки и область
браковки, вместо
трех при обычных
последовательных
испытаниях. Линия
границы проходит
через начало коорди-
нат графика. Вначале
проводят обычные
последовательные
испытания. Если по
достижении заранее
обусловленного вре-
мени или объема вы-
борки определенного
решения принять
нельзя, то оно прини-
мается по правилу
усеченных испытаний.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]