Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория принятия решений. Конспект лекций
.pdf
51
единичного отрезка:
22
0;
45
1
x
22 22 18
;
45 45
2
x
22 18
;1
45
3
x
0
x
– для мероприятия
,
–
для мероприятия
,
– для мероприятия
. Если генери-
руемое случайное число при преобразовании этих интервалов в десятичный формат окажется в пределах [0; 0,48], то выбирают мероприятие 1, если оно попадает в диапазон [0,49; 0,88], то выбирается
мероприятие 2, и если это число колеблется в пределах [0,89; 1], то
выбирается мероприятие 3.
Длины этих интервалов равны компонентам
, при этом для ис-
пользования датчика случайных чисел интервалы с такими длинами
можно расположить в другом порядке внутри единичного отрезка.
Реализация решения построенной игры с помощью физической
реализации состоит в том, чтобы включить в состав профилактических
мероприятий все 3 вида данных мероприятий в соотношении 22 : 18 : 5,
что гарантирует получение выигрыша в 31,5 тыс. руб., равного найденной цене игры.
52
2 m
2n
2 m
2 m
11 12 1 1
21 22 2 2
, ,..., ,...,
, ,..., ,...,
jm
jm
a a a a
A
a a a a
12
( , )x x x
1
,...,
m
y y y
1 1 2 2
( 1, )
jj
a x a x v j m
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
... ,
... ,
mm
mm
a y a y a y v
a y a y a y v
21
1
12
1 ; 1,
0; 0; 0; 1, .
m
j
j
j
x x y
x x y j m
Л е к ц и я 9
ИГРЫ ПОРЯДКА
ОПИСАНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ ПОРЯДКА
И
ЧЕРЕЗ ВЫИГРЫШИ ИГРОКОВ
В играх порядка
гии, т. е. матрица выигрышей первого игрока имеет вид
первый игрок имеет только 2 чистые страте-
. (1)
Если такая игра имеет седловую точку, то ее легко найти и получить
решение.
Пусть в игре нет седловой точки. Тогда находят смешанные оптимальные стратегии
,
соответственно первого
и второго игроков и цену игры v, удовлетворяющие соотношениям:
, (2)
(3)
(4)
53
Поскольку данная игра не имеет седловой точки, то неравенство (3)
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
... ,
... .
mm
mm
a y a y a y v
a y a y a y v
1 1 1 2 2
( ) ( 1, )
j j j
M x a x a x j m
2
x
1 1 1 2 2
( ) ( 1, )
j j j
M x a x a x j m
1
()
j
Mx
2 m
1,jm
1
()
j
Mx
11
min ( ) ( ),
j
j
M x M x
1
()Mx
1
()Mx
1
x
1
0
11
max ( )
x
M x M x
0
M
0
M
0
11
xx
0
1
v M x
1
1
maxmin ( )
j
j
x
v M x
заменяется равенствами:
(5)
Для решения систем (3) – (5) используют графический способ, вводя обозначения для неравенств (2):
Подставив
из (4) и проведя элементарные преобразования, по-
.
лучают
где
– это средний выигрыш первого игрока при условии, что
,
он применит свою смешанную стратегию, а второй игрок применит
свою чистую стратегию.
РЕШЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ ПОРЯДКА
Каждому значению
выражающая график
соответствует прямая линия (рис. 1),
.
Цель второго игрока – это минимизация выигрыша первого иг-
рока за счет выбора своих стратегий. Поэтому вычисляется
где
– это нижняя граница множества огра-
ничений. Функция
самые нижние участки всех прямых.
Цель первого игрока – это максимизация своего выигрыша за счет
выбора
, дающего
Точка
– это максимум
, так как
изображается жирной линией, огибающей
.
при
, а цена игры
.
54
00
12
,x x x
01
,jj
0
M
1 0 1
( ) ,
jj
M x v j j
0
1
x
0 0 0
1 1 1
1 1 1 2 2
1 1 1 2 2
( ) ,
( ) .
j j j
j j j
M x a x a x v
M x a x a x v
12
1xx
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 2 1 2
1 1 2 1 2
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
j j j j
j j j j
M x a a x a v
M x a a x a v
Рис. 1
Так графически определяется максимальная смешанная стратегия
первого игрока и пара чистых стратегий второго игрока
, образующие при пересечении точку
превращается в равенство.
Тогда можно решать систему уравнений
и точно определить значения
приближенно).
Таким образом, решается следующая система уравнений:
Пользуясь тем, что
уравнений к следующей:
. Здесь неравенство (2)
и v (графически они определяются
, можно преобразовать эту систему
55
Здесь два неизвестных,
1
x
0
j
y
1
()
j
Mx
0
M
j
y
1
()
j
Mx
0
M
1 0 1 1
0 0 1 1
12
22
,
,
j j j j
j j j j
a y a y v
a y a y v
0 0 1 0
0 0 1 0
11
22
(1 ) ,
(1 ) .
j j j j
j j j j
a y a y v
a y a y v
0
jj
00
12jj
aa
1
x
O
0
M
0
N
1
N
x
1
M
x
М
1
1
х
1
v
0
М
3
М
М
0
N0
все значения
при тех j, для которых
и v, и решение легко получается, а положив
не образуют точку
, определяют
при j, для которых
образуют точку
.
Система уравнений (5) принимает следующий вид:
или после преобразований:
Остальные yj равны нулю.
Если при некотором
стратегия второго игрока образует мак-
симальное значение нижней границы множеств ограничений и
, то эта граница есть отрезок, параллельный оси
Он заключен между точками
и
с координатами
(рис. 2).
и
Тогда первый игрок имеет бесконечно много оптимальных значений
.
Рис. 2
56
0
1
x
в пределах
11
,
NM
xx
00
12
jj
v a a
0
jj
0
1, 0
jj
yy
0
jj
2n
2n
11 12
21 22
12
12
... ...
... ...
ii
nn
aa
aa
А
aa
aa
2n
2
1 1 2
( 1, )
iy
a y a v i n
11 1 21 2 1
12 1 22 2 2
... ,
... .
nn
nn
a x a x a x v
a x a x a x v
2 1 1
1
12
1 ; 1,
0; 0; 0; ( 1, ).
n
j
j
y y x
y y x i n
1
( ,..., )
n
x x x
12
( , )y y y
2 m
, а цена игры
. У второго игрока
есть чистая оптимальная стратегия
при
.
ОПИСАНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ ПОРЯДКА
, т. е.
ЧЕРЕЗ ВЫИГРЫШИ ИГРОКОВ
Матричные игры порядка
решаются также с помощью графического метода. Матрица выигрышей первого игрока в этом случае
имеет вид
Уравнения, необходимые для решения игры порядка
. (6)
, в дан-
ном случае имеют вид
,
Смешанные стратегии
первого и второго игроков определяются аналогично, как и в случае
игры порядка
,
соответственно
.
57
РЕШЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ ПОРЯДКА
2n
1
y
1
()
i
Ey
( 1, )in
11
( ,1 )y y y
1
()
i
Ey
1
y1
y1
0
Е
v
Е
0
E3
E2
E1
E4
11
max ( ) ( )
ii
E y E y
1 1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )
i i i i i i
E y a y a y a a y a
1
()Ey
1
()Ey
1
y
1
0
11
min ( )
y
E y E y v
0
1
Ey
0
E
0
i
1
i
1
y
1
1
minmax ( )
i
y
i
Ey
Отложим по горизонтальной оси значения
кальной оси – значение среднего выигрыша
применении им своей i-й стратегии
второго игрока
. Тогда
от 0 до 1, по верти-
первого игрока при
и смешанной стратегии
могут быть изображены
рядом прямых (рис. 3).
Рис. 3
Первый игрок старается максимизировать свой средний выиг-
рыш, поэтому стремится найти max
.
Функция
– это верхняя граница множества ограничений,
изображаемая жирной линией.
Второй игрок старается минимизировать
за счет выбора своей
, где
стратегии
, т. е. величина y соответствует
На рисунке значение
Другими словами, определяются две стратегии
ка и вероятность
равенство
для второго игрока, при которых достигается
.
обозначено точкой
.
,
первого игро-
.
58
Когда решают уравнения вида
1 0 1
,,
i
E y v i i i
00
11
0 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2
,
.
i i i
i i i
E y a y a y v
E y a y a y v
00
11
0 1 1 1 2 1
1 1 1 1 2 1
(1 ) ,
(1 ) .
i i i
i i i
E y a y a y v
E y a y a y v
0
E
0
1
y
0
E
12
( , )y y y
01
( , )i i i
0
i
x
01
,i i i
0 0 1 1
0 0 1 1
11
22
,
.
i i i i
i i i i
a x a x v
a x a x v
0 0 1 0
0 0 1 0
11
22
(1 ) ,
(1 ) .
i i i i
i i i i
a x a x v
a x a x v
01
ii
00
12ii
aa
1
y
O
0
E
0
F
1
E
y
1
F
y
0
1
y
11
,
EF
yy
00
12ii
v a a
01
ii
0
1
i
x
0
i
x
0
ii
ляются в виде
, они представ-
Далее эта система решается в следующем виде:
Цена игры v – это ордината точки
цисса точки
.
, а вероятность
(7)
– это абс-
Из системы (7) находят оптимальную смешанную стратегию второго игрока
тегию первого игрока для
и цену игры v. Оптимальную смешанную стра-
находят из системы (другие
):
Она приводит к следующей системе уравнений:
,
Если при некотором
нимальное значение верхней границы множеств ограничений и
, то эта граница есть отрезок, параллельный оси
ченный между точками
рой игрок имеет бесконечно много оптимальных значений
лах
, а цена игры
оптимальная стратегия
стратегия первого игрока образует ми-
и заклю-
и
с координатами
и
. Тогда вто-
в преде-
. У первого игрока есть чистая
, т. е.
,
при
.
59
k
x
1
( ,..., ), 1, ,
k k k k k
f f x x k s x x
k
f
k
f
1s
1
, 1,
k
f f k s
2s
12
ff
1
( ,..., ),
ks
f x x
1,ks
r
x
k
X
()
kk
fz
()kt
Л е к ц и я 1 0
ИГРЫ В ФОРМАЛИЗОВАННОМ ВИДЕ
И ИХ ВЗАИМОСВЯЗИ
КРИТЕРИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ И ИХ СВЯЗИ
В РАЗЛИЧНЫХ ИГРАХ
Если в игре s лиц k-й игрок имеет стратегию
, то это описыва-
ется как максимизация функции
.
Ее называют критерием эффективности действий участника игры.
Поэтому любое принятие решений k-м участником процесса может
рассматриваться как целеустремленное, направленное к увеличению
значения некоторой величины
.
Игру, рассматриваемую с позиции одного игрока или с позиций
всех тех, у кого интересы, т. е. критерии
, совпадают, называют
операцией этого игрока, а его самого – оперирующей стороной.
Обычная оптимизация соответствует либо
интересов всех игроков
Антагонистическая игра получается при
.
, либо совпадению
, если
.
Пусть в операции присутствуют s игроков, каждый из которых
стремится увеличить свой критерий эффективности
, осуществляя выбор вектора
из некоторого множества
.
Существует ряд простейших видов связей между этими критериями (интересами):
1) совпадение интересов, когда тождественны
, где
– монотонно растущая функция, а z – величина, одинаковая для
всех игроков;
60
2) противоположность интересов, когда
2s
21
()
k
ff
()t
21
f c f
( ),
k k k k k
f f x x x
2s
( , )f f x y
и
монотонно растущая функция. Антагонизм соответствует случаю
, где
; (1)
3) полная независимость интересов:
. (2)
Существует ряд характерных примеров игр с непротивоположными
интересами. Во всех этих играх
, т. е. имеет место игра двух игро-
ков, но выигрыши задаются матрицей, а не функционально.
ОТСУТСТВИЕ АНТАГОНИЗМА В ИГРЕ
И ЕГО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Существуют ситуации, когда в силу определенных причин антаго-
низм между игроками исчезает или, по крайней мере, снижается.
В этом случае игрокам, анализирующим условия имеющего место
конфликта, необходимо обнаружить такую ситуацию и не тратить ресурсы на противостояние с другим игроком, в противном случае ему
грозит проигрыш во всей игре.
Отсутствие антагонизма проявляется в двух основных случаях, ко-
торые связаны как с неразумным, так и с разумным противниками и
требуют специального анализа.
Первый случай – это наличие у природы критерия безразличия, по
которому можно предсказать ее поведение, что лишает ее «злонамеренности» по отношению к рационально поступающему игроку.
Второй случай – это игры с «запрещенными» ситуациями, когда
имеется два (или более) разумно действующих игрока и их стратегии
ограничены некоторой областью определения. Если игроки используют стратегии, лежащие вне этой границы, то антагонизм между ними
пропадает. При этом часто им не разрешается пользоваться этими
стратегиями и они становятся «запрещенными».
Каждый из перечисленных случаев имеет свои особенности и рас-
падается на ряд частных вариантов, характеристики которых влияют
на решение игры, которую они описывают.
Часто под игрой с природой понимается процесс, в котором имеется единственный «настоящий» игрок (оперирующая сторона), стремящийся к увеличению критерия
, где y – это факторы, не
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]