Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Схемотехника аналоговых электронных устройств. Учебное пособие
.pdf
ãäå fΔ – полоса рабочих частот; 231,38 10k−=⋅ – постоянная
R
−
I
=
Больцмана; Т – температура в градусах Кельвина;
мовое
сопротивление;
G – шумовая проводимость,
ø
– øó-
ø
GR
øø
1
= .
Рис. 8.1. Эквивалентные схемы активного шумового сопротивления
Для стандартной температуры Ò = 290 К эти формулы
можно упростить:
10
=⋅ Δ,
øø
1, 3 1 0
øø
−
1, 3 1 0URf
10
−
⋅Δ.
Gf
Спектральные плотности шумов по напряжению и току
составляют [17]:
ãäå
2
()
dU t
FkTR
RU
2
()dU t ,
ø
ø
==
df
2
ø
4
FkTG
,
RI
ø
()dI t – дифференциалы от среднеквадратич-
2
()
dI t
ø
==
df
4
ø
,
ных напряжений и токов шумов как случайных функций вре-
t, действующих в полосе пропускания df.
ìåíè
Любой активный элемент можно представить шумящим
четырехполюсником (рис. 8.2) и по данным формулам рассчитать его шумовые характеристики.
Рис. 8.2. Шумящий четырехполюсник
В [16] приведены выражения для шумовых параметров
БТ и ПТ нормированных спектральных плотностей шумов по
161
напряжению
R
−
−
I
S
I
R
R
R
RF kT= , ïî òîêó
ø
имной спектральной плотности
RU
/4
GF kT= è âçà-
ø
F , представляющих собой
ø
RI
/4
соответственно шумовое сопротивление, шумовую проводимость и взаимную спектральную плотность шумов.
Для БТ, включенного по схеме с ОЭ:
22
0,2 0,02
rIr IS
=+ + ,
ãäå
øá á ê
GI IgS
=+ ,
øê
10,02 0,02FIrIgS
=+ + ,
øááê
è
I в миллиамперах, g è
á
ê
0,2 0,02
á
á
учете фликкер-шумов для частот
f ≥ 10 Гц в данных выраже-
0
22
−
0
2
0
в миллисименсах. При
0
ниях следует принять:
′
=+
(1 500/ )IfI
á
′
á
,
(1 500/ )
=+ .
êê
fI
Для ПТ, включенного с ОИ:
0,75 /RS= ,
ø0
116,28FÑR ÑR=+ω =+ .
øçèø çèø
øøçè øçè
22 22
40GRÑ RfC=ω = ,
Данные формулы применимы и для других схем включения транзисторов.
Полагая равномерным спектральные плотности шумов,
согласно [16] можно получить выражение для коэффициента
шума каскада:
(2)/
FRRGR FR R=++ + .
ãøø øã ã
ã
Исследуя это выражение на экстремум, определяем оптимальное сопротивление источника сигнала
ром коэффициент шума каскада
ãopt ø ø
F минимален:
/
RG= .
При этом в большинстве случаев оказывается, что
не совпадает с
необходимой
, оптимальным с точки зрения получения
ã
f каскада (
â
R >
ãopt
). Выходом из данной
ã
R , ïðè êîòî-
ãopt
R
ãopt
ситуации является включение между первым и вторым каскадами цепи противошумовой коррекции (рис. 8.3).
162
Рис. 8.3. Простая противошумовая коррекция
τ
Введением противошумовой коррекции добиваются повышения коэффициента передачи каскадов в области ВЧ (путем внесения корректирующей цепью затухания на НЧ и СЧ),
компенсируя тем самым спад усиления на ВЧ за счет высокоомного
R .
ãopt
Приближенно параметры противошумовой коррекции
можно определить из равенства ее постоянной времени
постоянной времени
некорректированного каскада.
â
RC
Расчет шумов каскадно соединенных четырехполюсников
(многокаскадного усилителя) обычно сводится к расчету коэффициента шума входной цепи и входного каскада. Первый
каскад в таком усилителе работает в малошумящем режиме, а
второй и другие каскады в обычном режиме.
Расчет шумов в общем случае представляет собой сложную задачу, решаемую с помощью ЭВМ. Для ряда частных
случаев шумовые параметры могут быть рассчитаны по соотношениям, приведенным в [16].
8.4. Анализ чувствительности
Чувствительностью называется реакция различных
устройств на изменение параметров ее компонент.
Коэффициент чувствительности (функция чувствительности,
или просто чувствительность) представляет собой количественную оценку изменения параметров
устройства (в том числе и АЭУ) при заданном изменении
параметров его компонент.
163
Необходимость расчета функции чувствительности возни-
S
x
d
()
y
(
)
()
=
d
y
Δ
l
dyx
y
y
Δ
кает при необходимости учета влияния на характеристики
АЭУ факторов окружающей среды (температуры, радиации и
т.д.), при расчете требуемых допусков на параметры компонент, при определении процента выхода ИМС, в задачах оптимизации, моделирования и т.д.
Функция чувствительности
изменению параметра компонента
параметра устройства y ê
i
определяется как част-
i
ная производная
y
Sdx=
i
.
i
Данное выражение получено на основе разложения в ряд
x , ãäå
,..., ,...,
xx x x= ;
1
in
nnn
+Δ = + Δ + Δ Δ +
()() ...
yx x yx x x x
dy dy
∑∑∑
dx dx dx
iij
iij
111
===
1
iij
2
.
Пренебрегая частными производными второго и более порядка, получаем связь функции чувствительности и отклонения параметра
yx :
nn
yx yx x x S x
() ( )
+Δ ≈ Δ = Δ
dy
∑∑
ii
11
==
iii
dx
i
.
Существуют разновидности функции чувствительности:
y
– абсолютная чувствительность
клонение при этом равно
n
=Δ
Σ
i
=
– относительная чувствительность
носительное отклонение равно
– полуотносительные чувствительности
dy
r
QxS
==.
i
dx
ln
ii
i
Sdx= , абсолютное от-
i
i
;
Sx
ii
1
n
r
SS
==
i
dx y
ln
n
x
Δ
r
i
S
=
∑
1
i
=
;
i
x
i
QS
==,
ii
i
i
ln
dy
dx y
i
, îò-
i
1
164
Выбор вида функции чувствительности определяется ви-
K
ω
ϕ
S
дом решаемой задачи, например, для комплексного коэффициента передачи ( ) | | exp( )
jK j
=ϕ
относительная чувстви-
тельность равна относительной чувствительности модуля
(действительная часть) и полуотносительной чувствительности
фазы (мнимая часть):
.
rK
SjxSjQ
iii
[| | exp( )] | |
xdK j x dK d
ii
==+=+.
.
K
ϕϕ
dx dx dxK
iii
||
i
rK
||
r
Для простых схем вычисление функции чувствительности
может осуществляться прямым дифференцированием схемной
функции, представленной в аналитическом виде. Для сложных схем получение аналитического выражения схемной
функции представляет собой сложную задачу, возможно применение прямого расчета функции чувствительности через
приращения. В этом случае необходимо проводить n анализов
схемы, что для сложных схем весьма нерационально.
Существует косвенный метод расчета чувствительности по
передаточным функциям, предложенный Быховским [17].
Согласно этому методу функция чувствительности, например,
прямого коэффициента передачи равна произведению функций передачи с входа схемы до элемента, относительно которого ищется чувствительность, и передаточной функции «элемент – выход схемы» (рис. 8.4, à).
K
12
SKK=
i
à á
Рис. 8.4. Косвенный метод расчета функций чувствительности
12
ii
K
12
KKK K KK=+
1212
,
ij
iijj jjii
Так как расчет функции чувствительности сводится к
расчету передаточных функций, то для их нахождения возможно применение, например, обобщенного метода узловых
потенциалов. Косвенный метод расчета по передаточным
165
функциям позволяет находить функции чувствительности
=
более высоких порядков. На рис. 8.4, á проиллюстрировано
нахождение функции чувствительности второго порядка.
В общем же существует n! путей передачи сигнала, каждый
из которых содержит n + 1 сомножителей.
Ниже описывается метод расчета функции чувствительности, сочетающий прямой метод дифференцирования и косвенный по передаточным функциям, позволяющий за один анализ находить чувствительность к n элементам схемы [18].
Рассмотрим данный способ на примерах получения выражений для абсолютной чувствительности первого порядка
S-параметров электронных схем, описанных матрицей проводимости [
Y].
В матричном представлении характеристики электронных
схем, в том числе и параметры рассеяния [S], определяются в
виде отношений алгебраических дополнений матрицы [
Y] (ñì.
разд. 7.2). Изменяемый параметр входит при этом в некоторые элементы алгебраических дополнений. Определение
функции чувствительности сводится в этом случае к нахождению производных от отношений алгебраических дополнений (или алгебраических дополнений и определителя) по элементам, в которых содержится изменяемый параметр. В случае, когда изменяемый параметр входит в элементы дополнений определителя функционально, чувствительность определяется как сложная производная.
Для определения производных алгебраических дополнений по изменяемым параметрам входящих в них элементов
воспользуемся теоремой, утверждающей, что производная
определителя по какому-либо элементу равна алгебраическому
дополнению этого элемента. Доказательство теоремы основано
на разложении определителя по Лапласу
n
dY
d
Δ
dY dY
ij ij
Δ
ij ij
1
i
=
=Δ∑.
ij
Общее выражение для S-параметров через алгебраические
дополнения имеет вид (см. разд. 7.2)
Sk=ΔΔ−δ.
ij ij ji ij
/
166
Определим функции чувствительности параметров рас-
=
сеяния к пассивному двухполюснику
y , включенному между
0
произвольными узлами k è l (ñì. ðèñ. 8.5, à):
S
ij
SdSdyk
y
0
kk
−Δ Δ Δ=− Δ−Δ Δ−Δ Δ
ij ij
/( )/
==ΔΔ−ΔΔΔ=
ij ij ji
0
jk l k li
++
()()
jikl kl kl kl
++ ++
()() ()()
22
/[()()]/.
jk jl ki li
2
à
â ã
á
Рис. 8.5. Рсчет чувствительности S-параметров
При получении данного и последующих выражений используются следующие матричные соотношения [3]:
Δ=Δ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ,
ijkl ikl jkl++ + +
()() () ()
ΔΔ −ΔΔ =ΔΔ .
ij
kl il kl ij kl
()( )
ik il jk jl
,
Для электронных схем, содержащих БТ, моделируемые
ИТУТ (см. подразд. 2.4.1), определим чувствительность
S-параметров к проводимости управляющей ветви
1/gr= è
ýý
параметру управляемого источника α, включенных соответственно между узлами k, l, è p, q (ðèñ. 8.5, á):
S
ij
SdSdgk
g
ý
/[( )
==ΔΔ+αΔ Δ−
()]/
−Δ +αΔ Δ Δ =
=− Δ Δ +αΔ Δ =
ý
ij ij
kl kl kl pq
()() ()( )
++ ++
k
ij
()/
kli jkl jpq
++ +
() () ( )
()() ()( )
jikl kl ijkl pq
++ ++
2
ij
2
167
()[( )( )/,
=
=
y
y
S
k=− Δ −Δ Δ −Δ +α Δ −Δ Δ
ij jp jq
ki li jk jl
S
ij
SdSdk
α
kk
−Δ Δ Δ=− Δ−Δ Δ−Δ Δ
ij ij jp jq
/( )/
=α=Δ Δ−Δ ΔΔ=
ij ij ji
()()
jpq kli
++
()() ()()
ji k l p q k l p q
++ ++
22
/[()()]/.
2
2
ki li
Если электронная схема содержит ПТ, моделируемые
ИТУН (см. подразд. 2.4.1), то чувствительность параметров
рассеяния к крутизне S, включенной между узлами p, q при
узлах управления k, l (ðèñ. 8.5, â), равна
S
ij
SdSdSk
S
kk
−Δ Δ Δ=− Δ−Δ Δ−Δ Δ
ij ij pi qi
/( )/
==Δ Δ−ΔΔΔ=
ij ij ji
()( )
++
jk l p qi
()() ()()
++ ++
jikl pq kl pq
22
/[()()]/.
jk jl
2
Чувствительность параметров рассеяния к любому Y-ïà-
раметру подсхемы (рис. 8.5, ã), например
S
ij
SdSdyk k==ΔΔ−ΔΔΔ=−ΔΔΔ
y
kl
При известной чувствительности
/( )/ /.
ij ij ij ij
kl ji kl kl jl ki
,
y к параметру элемен-
kl
, будет равна
kl
22
та подсхемы x (ñì. ðèñ. 8.5, ã) чувствительность S-парамет-
ров полной схемы к этому параметру, в соответствии с понятием сложной производной, выразится как
SS
ij ij
SdSdydydxSS==.
(/)(/)
xx
ij
kl kl
kl
y
kl
Последнее выражение указывает на возможность применения метода подсхем при анализе чувствительности сложных
электронных схем.
Зная связь параметров рассеяния с вторичными парамет-
,,
рами электронных схем (
KZ Z и др.) и чувствитель-
âõ âûõ
U
ность параметров рассеяния к изменению элементов схемы,
можно найти функции чувствительности вторичных параметров к изменению этих элементов. Например, для коэффициента передачи по напряжению с i-ãî íà j-é óçåë
KS S=+ чувствительность к изменению параметра x
ij ji
(полагая, что ( )
/(1 )
11
Sfx= è ( )
ij
KS
ij ij
SdKdxS SSS S==+− +.
Аналогично для
/[(1) ]/(1)
ij ii ij iixxx
Z (
âõ(âûõ)
ZZ S S=+ −;
() ã(í) () ()
ii jj ii jj ii jj
(1 ) /(1 )
x=ϕ ) получаем
ii
Z ) имеем
()ii jj
S
ii
2
168
ZS
() ()
ii jj ii jj
SdZdxZSS S==− −.
xx
/2 /(1 )
() ã(í) () ()
ii jj ii jj ii jj
2
Данный способ столь же эффективно может быть использован при определении чувствительности более высоких порядков для всевозможных характеристик электронных схем.
Реализация полученных таким образом алгоритмов расчета
чувствительности сводится к вычислению и перебору соответствующих алгебраических дополнений, что хорошо сочетается
с нахождением других малосигнальных характеристик электронных схем.
8.5. Машинные методы анализа АЭУ
В разд. 2.3 приведена основная идея обобщенного метода
узловых потенциалов, на основе которого было получено
большинство соотношений для эскизного расчета усилительных каскадов. Однако наряду с несомненными достоинствами
(простота программирования, малая размерность получаемой
матрицы проводимости
Y, n×n, ãäå n – количество узлов схе-
мы без опорного), данный метод имеет ряд существенных
недостатков. В первую очередь следует отметить невозможность представления в виде проводимости некоторых идеальных моделей электронных схем (короткозамкнутых ветвей,
источников напряжения, зависимых источников, управляемых
током и т.д.). Кроме того, представление индуктивности проводимостью неудобно при временном анализе схем, что связано с преобразованием Лапласа (оператор Лапласа
p должен
быть в числителе для того, чтобы система алгебраических
уравнений и полученная в результате преобразования система
дифференциальных уравнений имела одинаковые коэффициенты).
В настоящее время наибольшее распространение получили топологические методы формирования системы уравнений
электрической цепи, наиболее общим из которых является
табличный [4].
В этом методе все уравнения, описывающие цепь, включаются в общую систему уравнений, содержащую уравнения
Кирхгофа для токов, напряжений и компонентные уравнения.
Уравнения Кирхгофа для токов можно представить в виде
169
0
=
−
A
−
=
AI ,
â
ãäå
A – матрица инценденции [4], описывающая топологию
öåïè;
I – вектор тока ветвей.
â
Уравнения Кирхгофа для напряжений имеют вид
t
0
=VAV ,
n
ãäå
V è
V – соответственно, вектора напряжений ветвей и
â
n
узловых потенциалов;
ценденции
À.
â
t
– транспонированная матрица ин-
В общем случае уравнения, описывающие элементы цепи,
можно представить в следующей форме:
+=YV ZI W,
ââ ââ â
ãäå
Y è âZ – соответственно, квазидиагональные матрицы
â
проводимости и сопротивления ветвей;
W – вектор, куда
â
входят независимые источники напряжения и тока, а также
начальные напряжения и токи на конденсаторах и индуктивностях.
Запишем приведенные уравнения в следующей последовательности:
t
0
=VAV ;
â
ââ ââ â
n
+=YV ZI W;
0
AI
â
и представим в матричной форме
ââ
â1 0
â0
YZ
ââ
00
n
n
t
V
−
A
A
â
⋅=
IW
ââ
V
n
0
0
или в общем виде
TX = W.
Табличный метод имеет главным образом теоретическое
значение, поскольку наряду с основным достоинством, выражающимся в том, что возможно нахождение всех токов и на-
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]