Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы искусственного интеллекта и машинное обучение. Учебное пособие
.pdf
Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широ-
x
R
ком смысле, но не наоборот.
Для стационарных случайных процессов
(, ) ();Rt t R
12
( ) ;mt m
22
() (0).tR
(50)
Среди стационарных случайных процессов выделяют важный подкласс эргодических.
Стационарный СП называется эргодическим, если при определении
его статистических характеристик усреднение по реализациям можно
заменить усреднением по времени одной достаточно длинной реализации.
Каждая реализация с увеличением ее длины становится все более
репрезентативной, т. е. более точно отображающей статистические
свойства случайного
процесса.
Математическое ожидание эргодического случайного процесса:
⎛⎞
() () lim () ,
mt xt xt dt
где T – длительность реализации, а
1
⎜⎟
∫
⎜⎟
T
T
⎝⎠
(51)
... – операция усреднения по вре-
мени.
Дисперсия эргодического случайного процесса:
⎛⎞
2
() lim () .
22
tm xtmdt
1
⎜⎟
∫
⎜⎟
T
T
⎝⎠
(52)
Корреляционная функция эргодического случайного процесса:
⎛⎞
() () ( ) lim ()( ) .
xt m xt m xt xt dt m
31
1
⎜⎟
∫
⎜⎟
T
T
⎝⎠
2
(53)
Достаточным условием эргодичности является затухающая корреля-
x
x
ционная функция:
lim ( ( )) 0,R
(54)
или
T
⎛⎞
1
lim ( ) 0.
T
Rd
T
∫
0
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(55)
Равенство нулю взаимной корреляционной функции двух случайных процессов ()
Если ()yt заменить на (),
t и ()yt означает их некоррелированность:
() () ( )
Rxtmytm
xy x y
lim ( ) ( ) 0.
T
⎛⎞
1
xt yt dt mm
⎜⎟
∫
⎜⎟
T
⎝⎠
t то () ()
⎡⎤
⎣⎦
xy
RR будет называться
xy xx
(56)
автокорреляционной функцией.
Стационарный гауссовский процесс определяется его математическим ожиданием и автокорреляционной функцией.
Некоррелированность гауссовских случайных процессов означает
их независимость. Для других распределений в общем случае такое
утверждение неверно.
Гауссовские процессы являются наиболее простыми для статистического анализа, что обусловило их широкое распространение в приложениях статистической
радиотехники, радиолокации и многих других
дисциплин.
На рис. 8 приведены временные реализации стационарного неэргодического гауссовского случайного процесса, на рис. 9 – стационарного
эргодического, а на рис. 10 – нестационарного процесса с негауссовским
распределением.
32
Рис. 8. Реализации стационарного неэргодического гауссовского СП
Рис. 9. Реализации стационарного эргодического гауссовского СП
Рис. 10. Реализации нестационарного рэлеевского СП
33
Случайному процессу ()xt в частотной области соответствует его
x
x
x
спектральная плотность
Sw
частоты (w – круговая частота). Значения
которая является случайной функцией
(),
x
– это случайные вели-
()
Sw
i
чины. Одной реализации случайного процесса соответствует одна реализация его спектральной плотности, называемая мгновенной. Временные реализации и спектральные плотности связаны парой преобразований Фурье.
Корреляционным функциям случайных процессов соответствуют
спектральные плотности мощности (СПМ), которые также связаны
парой преобразований Фурье. Автокорреляционной функции
() ()( )
Rxtxt соответствует СПМ
x
() () ,
Ww R e d
xx xx
∫
jw
где j – мнимая единица. Взаимной корреляционной функции двух слу-
() () ( )
чайных процессов ()
взаимная СПМ
t и ()yt вида
() () .
Ww R e d
xy xy
∫
Rxtyt
xy
jw
соответствует
Свойства спектральных плотностей и случайных процессов и соответствующие им СПМ, в том числе при выполнении условий стационарности, довольно подробно рассмотрены в литературе и здесь приводиться не будут.
2.2. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
В дисциплинах машинного обучения и систем искусственного интеллекта выборки случайных значений, характеризующиеся измерением в последовательные моменты, называются временными данными,
тогда как выборки значений без привязки ко времени измерения – пространственными данными.
Пространственным данным соответствуют пространственные модели, а временным данным – временные.
Если при регистрации входных данных происходит также и
регистрация моментов, то расположенная в хронологическом порядке последовательность значений называется временным рядом. Временные
34
ряды относятся к подвиду временных данных. Элементы временного
E
ряда часто называются отсчетами.
Если процесс измерения значений носит непрерывный характер,
то ему соответствует непрерывный временной ряд.
Если процесс измерения значений носит дискретный характер,
то ему соответствует дискретный временной ряд.
Среди дискретных временных рядов можно выделить подклассы
с постоянным (или линейным) и с
непостоянным (нелинейным) шагом
по времени.
Основные отличия пространственных данных от временных рядов:
элементы временного ряда всегда упорядочены по времени;
элементы временного ряда могут не быть статистически незави-
симыми;
элементам временного ряда могут соответствовать разные законы
распределения случайной величины.
Определение и описание характеристик временных рядов соответствуют случайным процессам. К ним неприменимы обычные методы
анализа пространственных данных – методы анализа отдельных случайных величин, но применимы положения статистической теории случайных процессов.
Обозначим факторы, определяющие значения временных рядов.
1. Долговременные факторы ():
Tt формируют общие тенденции,
которые оказывают постепенное влияние на значения временных рядов
на всем времени их построения и анализа.
2. Циклические факторы ():Ct формируют периодически повторя-
емые изменения. Периоды изменения значений не связаны с определенными (абсолютными значениями) моментов.
3. Сезонные факторы ():St формируют периодически повторяемые
изменения. Периоды изменения значений связаны с
определенными
(абсолютными значениями) моментов, т. е. причина изменения связана
со абсолютным значением момента.
4. Случайные факторы ():
t формируют случайные изменения.
Модель временного ряда строится отдельно для каждого из факторов.
1. Долговременные факторы ():Tt неслучайная, как правило, моно-
тонная функция тренда. Фактически может рассматриваться как посто-
35
янное или медленно (относительно сезонности и цикличности) меняю-
E
x
x
щееся математическое ожидание случайного процесса.
2. Циклические факторы ():Ct неслучайная периодическая функ-
ция цикличности. Представляет собой неслучайную периодическую составляющую в составе случайного процесса, не связанную с абсолютными значениями времени.
3. Сезонные факторы ():St неслучайная периодическая функция
сезонности. Представляет собой неслучайную периодическую составля
ющую в составе случайного процесса, связанную с абсолютными значениями времени.
4. Случайные факторы ():
t случайная функция, описывающая
влияние случайных факторов на результат измерения.
Модель временного ряда, определяемая выражением
-
() () () () (),
tTtCtStEt (57)
называется аддитивной. Рекомендуется к применению, когда амплитуда
периодического изменения значений временного ряда слабо изменяется
с течением времени.
Модель временного ряда, определяемая выражением
() () () () (),
tTtCtStEt (58)
называется мультипликативной. Рекомендуется к применению, когда
амплитуда периодического изменения значений временного ряда существенно изменяется с течением времени.
Мультипликативная модель приводится к аддитивной путем лога-
рифмирования.
Допустимо использование комбинированных моделей.
На рис. 11 приведены реализации тренда (а), цикличности (б) или
сезонности и случайных факторов (в). На рис. 12 показана аддитивная
модель
временного ряда, полученная по выражению (57). На рис. 13
представлена мультипликативная модель временного ряда, полученная
по выражению (58).
36
а
б
в
Рис. 11. Реализации тренда (а), цикличности (б) или сезонности и случайных
факторов (в)
37
Рис. 12. Аддитивная модель временного ряда
Рис. 13. Мультипликативная модель временного ряда
Алгоритм анализа временного ряда состоит из нескольких этапов.
1. Определение структуры временного ряда: определение набора
неслучайных и случайных функций для разложения.
2. Оценивание неслучайных функций, которые были определены
в структуре временного ряда.
38
3. Построение модели случайных факторов (),Et которая в таком
E
E
E
E
E
x
представлении имеет смысл модели остатков.
Простейшая модель содержит только случайный компонент ().
При этом предполагается, что ()
t является стационарным дельта-кор-
t
релированным случайным процессом. Часто ограничиваются применением только нормально распределенных ().
t
Выявление неслучайных компонентов в наборе входных данных
производится путем регистрации отклонений наблюдаемых значений
отклика от ожидаемых по уравнению модели. Регистрация наличия неслучайных компонент часто осуществляется по невыполнению условия
постоянства математического ожидания ( ) const,mt оцениваемого
по набору отсчетов исходных данных. Так как простейшая модель содержит только (),
t то наличие неслучайного компонента приведет
к изменению оценки математического ожидания и нарушению стационарности ().
t
Выделяют следующие методы оценки неслучайных компонент во
временных рядах.
Алгоритмические: производится оценка значений неслучайных компонент в каждый момент. Пример: обнаружение сигнала на фоне шумов
с применением метода скользящего среднего.
Аналитические: строятся регрессионные модели неслучайных функций с оценкой значений параметров. Пример: построение модели тренда
на основе выборки по методу
МНК.
Модель неслучайной функции тренда определяется по выражению
() () ().
tTtEt (59)
Существует множество способов оценки ()Tt , например:
графический анализ: визуальный или по точкам;
анализ характеристик прироста;
использование последовательных разностей;
перебор всех известных функций для аппроксимации и выбор
наиболее подходящей по какому-либо выбранному критерию;
алгоритм «включения и исключения».
39
Модели сезонности и цикличности определяются выражениями
x
x
() () ();
tStEt
() () ().
xt С tEt
(60)
Способы выделения компонентов:
вычисление индексов сезонности;
аппроксимация известными периодическими функциями;
введение фиктивных переменных;
спектральный анализ.
На рис. 14 показана область спектра временной реализации аддитивной модели временного ряда, представленной на рис. 12. В рассматриваемой области спектра можно легко выявить составляющую, соответствующую неслучайному периодическому изменению.
Рис. 14. Область спектра реализации временного ряда с наличием
неслучайного периодического компонента
Аддитивная модель временного ряда при наличии нескольких видов
неслучайных компонент может быть построена по следующему алгоритму.
1. Структура модели временного ряда определяется как
tTtCtEt
() () () ().
2. Строится модель тренда
по входным данным. Наличие цик-
()Tt
личности игнорируется.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]