Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Репетитор по физике. Электростатика. Учебное пособие
.pdf
где
r
ϕ
q
Eq
pi
1
Eq
1
2
C
C
22
22
()
ϕϕ
12
C
q
U
– расстояние между i-м и j-м зарядом. Вводя обозна-
ij
чение
N
1
=
i
4
πε ε
0
∑
j
ji
j
,
r
1
=
ij
≠
эту энергию можно также записать в виде
=
2
∑
i
ϕ
. (2.9)
i
Формула (2.9) позволяет представить потенциальную
энергию заряженного проводника в форме
=
p
ϕ
, (2.10)
где q – заряд проводника; ϕ – его потенциал.
Заметим, что уединённые заряженные проводники можно
охарактеризовать понятием ёмкости, которая определяется
как отношение заряда проводника q к его потенциалу ϕ:
q
=
. (2.11)
ϕ
Данное понятие позволяет выразить энергию заряженного проводника через q и С либо через ϕ и С:
C
E
q
==
p
ϕ
. (2.12)
Систему двух разноимённо заряженных проводников
(конденсатор) с зарядами q и -q можно охарактеризовать понятием взаимной ёмкости (или просто ёмкости), которая
определяется как отношение заряда проводника q к разности
потенциалов U=− >
ϕϕ
12
между проводниками:
= . (2.13)
31
По аналогии с предыдущим это понятие позволяет вы-
qU
2
C
22
22
Ew
=⋅
∫
22
2
ε
DE
ϕ
ϕ
Eq
pp
12
12
==
ϕϕ
=−
()
12
ϕϕ
разить потенциальную энергию конденсатора
E
=
p
(2.14)
через q и С либо через U и С:
E
= =
p
q
. (2.15)
CU
Полученные выше выражения для энергии электрического поля можно записать и в несколько иной форме,
а именно как интеграл по объёму V:
p
dV
(2.16)
от плотности энергии поля
w
где
=
ε
– вектор электрического смещения.
0
ED
=
⋅
E
p
0
=
, (2.17)
Такая форма записи энергии поля является более общей
по сравнению с приведёнными выше выражениями для Ep.
Механические характеристики электрических систем
определяются законами динамики. Например, работа электрических сил А по перемещению заряда q из точки с потенциалом
потенциальных энергий Eq
AE Eq
в точку с потенциалом
1
=−
pp
12
будет равна разности
2
è :
. (2.18)
Подобным образом определяются и другие механические характеристики.
В заключение приведём табл. 2.1, в которой собран ряд
формул, встречающихся в задании, связанных с вычислением
потенциала и потенциальной энергии электрического поля.
32
Таблица 2.1
∫
ϕ
∫
ϕ
ϕ
ϕ
σ
τ
τ
ϕ
rR
rR
C
RR
21
RR
12
C
d
εε
Физическая величина Формула Обозначения
Связь между Е и ϕ
в одномерном случае
Связь между Е и ϕ
в трёхмерном сферически-симметричном
случае
Потенциал заряженной
плоскости
Потенциал заряженной
нити
d
E
=−
dx
Edx
=− +
ϕ
E
E
p
d
=−
dr
Edr
=− +
p
d
=−
dr
Edr
=− +
ϕ
ϕ
=⋅+
2
∫
πε ε
p
0
const
const
const
ln r const
х – координата оси;
Е – составляющая
поля по оси Х
r – расстояние от на-
чала координат;
Е – радиальная составляющая поля
– поверхностная
плотность заряда;
х – расстояние от плоскости
– линейная плотность заряда;
r – расстояние от
нити
Потенциал заряженной
металлической сферы
Энергия заряженной
металлической сферы
Энергия плоского конденсатора
q
4
=
4
E
p
E
p
πε ε
q
πε ε
=
=
0
0
8
R
r
πεε
qd
2
εε
,
,
2
q
R
0
2
S
0
q – заряд сферы;
<
r – расстояние от центра сферы;
R – радиус сферы
>
q – заряд сферы;
R – радиус сферы
q – заряд конденсатора;
d – расстояние между
обкладками;
S – площадь обкладок
Ёмкость сферического
конденсатора
=−4
πε ε
RR
12
0
внутренней и внеш-
– радиусы
è
ней обкладок
Ёмкость плоского конденсатора
S
0
=
S – площадь обкладок;
d – расстояние между
обкладками
33
2.2. Классификация задач и пути их решения
dq dV=
ρ
ϕ
ρ
1
Встречающиеся в данном разделе задачи можно разде-
лить на три типа:
1. Задачи, связанные с вычислением электрического
поля по заданному распределению потенциала (и обратные
задачи).
2. Задачи, связанные с нахождением потенциала по заданному распределению зарядов (и обратные задачи).
3. Задачи, в которых рассматриваются вопросы вычисления потенциальной энергии, работы и электрических сил
в системах заряженных тел.
Задачи первого типа решаются на основе прямого ис-
пользования соотношений (2.2), (2.3).
Задачи второго типа допускают решение двумя способами. Первый способ используется для расчёта потенциала
протяжённых заряженных тел неправильной формы и заключается в следующем. Тело разбивается на элементарные
объёмы dV, заряд которых
заряда. После этого потенциал ϕ определяется как сумма
потенциалов элементарных зарядов dq с помощью формулы
, где ρ – плотность
где r – расстояние от элементарного объёма dV до точки на-
блюдения.
Аналогично определяются потенциалы тел, заряд которых распределён по поверхности или по линиям.
Второй способ заключается в первоначальном нахождении напряжённости поля Е и лишь затем потенциала ϕ по
формуле (2.3). В основном он применим для тел, обладающих элементами симметрии. При решении задач как первым,
так и вторым способом следует привести рисунок с указанием расстояний, области, по которой проводится интегрирова-
=
4
πε ε
0
34
∫
, (2.19)
dV
r
ние, направления поля и т. д. Обратные задачи встречаются
значительно реже. Поэтому останавливаться на них не будем.
Отметим только, что решение этих задач, как правило, основано на соотношениях, связывающих плотность заряда с локальным значением потенциала в данной точке.
Задачи третьего типа решаются следующим образом.
Сначала рассчитывается потенциальная энергия системы.
В том случае, если рассматриваются проводящие тела, для
вычисления энергии используется формула (2.9) либо следующие из неё формулы (2.10), (2.12), (2.14) и (2.15).
При вычислении энергии непроводящих тел более удобным представляется использование формул (2.16), (2.17),
требующих знания значений напряжённости поля во всех
точках пространства. После нахождения потенциальной
энергии рассматриваются выражения для работы и сил. Работа электрических сил по изменению состояния системы
определяется как разность потенциальной энергии начального состояния системы и конечного (при условии замкнутости системы). Электрические силы, действующие между телами, определяются при этом как взятые с обратным
знаком производные от потенциальной энергии по соответствующим расстояниям между телами.
2.3. Примеры решения задач
Задача 1
Найти работу, которую нужно затратить, чтобы вынуть
диэлектрик, расположенный между обкладками плоского
конденсатора, для двух случаев: когда заряд на обкладках
является постоянным и равным q и когда напряжение между
обкладками поддерживается постоянным и равным U. Площадь пластин конденсатора и расстояние между пластинами равны соответственно S и d. Толщина диэлектрика равна
d1, а его диэлектрическая проницаемость ε.
35
Рис. 2.1
A
2
2
UU
12
è
q
UU
=−
()
2
21
UU
12
σ
q
S
UE
=⋅
0
Решение
Рассмотрим сначала первый случай, когда заряд q на обкладках является постоянным. Работа внешних сил А по
удалению диэлектрика из конденсатора равна взятой с обратным знаком работе электрических сил Aýë.
Согласно закону сохранения энергии, работу электрических сил
ной энергией конденсатора
можно определить как разность между началь-
ýë
qU
1
=
и конечной
E
p
1
E
=
p
2
qU
2
,
где
– соответственно начальное и конечное напряже-
ние на конденсаторе (т. е. напряжение с диэлектриком и без диэлектрика).
Следовательно,
Чтобы найти
AE E
=−
pp
21
, воспользуемся известными выра-
è
. (2.20)
жениями для напряжённости электрического поля Е между
обкладками плоского конденсатора:
σ
где
E =
– поверхностная плотность заряда.
=
вдиэлектрике,
εε
0
σ
внедиэлектрика,
ε
0
(2.21)
Подставляя данные выражения в формулу для U:
d
∫
36
, (2.22)
dx
где направление оси Х выбирается ортогональным плоско-
Ud
εε
U
d
⋅
σ
()
A
EA
=−+
2
2
qq
=−
()
21
qq
12
U
qq
=−
()
2
12
qq
12
Ud
εε
сти обкладок, получим:
σ
1
=−+
0
=
2
d
1
d
1
, (2.23)
, (2.24)
ε
0
и, как следствие,
2
qd
A
=
1
εε
0
1
ε
−
. (2.25)
S
Рассмотрим теперь второй случай, когда напряжение на
обкладках U поддерживается постоянным (например, за
счёт внешнего источника питания). Как и в предыдущем
случае, работа А по удалению диэлектрика из конденсатора
будет равна взятой с обратным знаком работе электрических
сил
. Однако последняя в данном случае будет опреде-
ýë
ляться несколько иным образом:
qU
где
E
1
=
p
1
конечная энергия конденсатора;
AE
ppqýë
12
, (2.26)
ýë
– начальная энергия конденсатора;
AU
q
ýë
qU
E
2
=
p
2
– работа
–
по переносу электрического заряда от источника питания, а
è – соответственно начальный и конечный заряд на
конденсаторе.
Следовательно,
Определяя заряды
по аналогии с предыдущим случаем можно записать в виде
AE E
=−
pp
12
è из выражения для U, которые
σ
1
=−+
0
37
. (2.27)
d
1
d
1
, (2.28)
U
σ
σσ
==
S
S
ε
d
ε
11
E
pp
=−
21
AE E
pp
=−
12
qqqqqq
== ==−è
α
= 60
q
где
1
1
è
и, как следствие,
d
2
, (2.29)
=
ε
q
2
2
, получим:
q
=
1
q
0
ε
US
0
dd
−+
1
US
0
=
2
(2.30)
;
d
1
; (2.31)
2
US
0
2
dd
ε
A
=
−+
d
1
ε
. (2.32)
−
d
1
Подобным образом решаются и другие задачи, в которых
требуется найти работу А по изменению состояния системы.
Сначала, как правило, находится начальная энергия системы
, а затем конечная
p
1
либо как
AE E
. После этого работа А определяется
E
p
2
(в случае замкнутых систем), либо как
(в случае незамкнутых систем, т. е. систем, свя-
занных с внешними источниками питания).
Задача 2
Определить суммарную энергию взаимодействия точечных зарядов
13 24
в вершинах ромба со стороной а и острым углом
, расположенных
как это показано на рис. 2.2.
,
Рис. 2.2
38
Решение
qqrqq
r
==∑== ++
1
4
000
121213
13
πε
qqqrqqrqqrqq
r
14142323242434
34
+++
r
ij
qr
ii
,
2
;c
α
r = 100ìì
q = 50 ìêÊë
q070= ,ìêÊë
E
q
0
E
∂∆
Данная задача решается непосредственно на основе об-
щей формулы для энергии системы точечных зарядов.
где
qq
1
E
p
24 4
qqrqq
1
4
πε
121213
0
++
r
13
ij
∑
πε πε
r
ij
,
ij
≠
ij
qqqrqqrqqrqq
14142323242434
+++
– расстояние между i-м и j-м зарядом. Подставляя
ij
,
ij
<
qq
ij
r
ij
, (2.33)
r
34
в приведённую формулу для энергии соответствующие значения
rrrrar a
==== =
12 14 23 34 13
и учитывая, что
j
2
os
,
получим:
2
E
p
q
=− −
a
4
πε
0
1
3
. (2.34)
3
Сходным образом решаются и другие задачи.
Задача 3
Тонкое проволочное кольцо радиусом
электрический заряд
. Каково будет прираще-
имеет
ние силы, растягивающей проволоку, если в центре кольца
поместить точечный заряд
?
Решение
Данная задача решается в два этапа: сначала ищется прира-
щение энергии
при помещении в центр кольца заряда
p
а затем – приращение растягивающей силы ΔF по формуле
∆F
=−
p
, (2.35)
∂
39
,
где
= 2πr
∆=Eq
ϕ
δ
δδ
δ
q
ϕ
δ
==
q
q
44
00
42
==
=−
()
}
{
ai k=+3
– длина кольца.
Приращение энергии определяется соотношением
p 0
, (2.36)
где φ – потенциал, создаваемый зарядом кольца в центре.
Для нахождения φ разобьём кольцо на элементарные отрезки длиной
и зарядом
qq=
. (2.37)
Суммируя затем потенциалы, создаваемые каждым элементарным зарядом
в центре кольца, получим:
∑
πε πε
r
. (2.38)
r
В результате будем иметь:
qqrqq
∆= =E
p
0
πε ε
0
0
. (2.39)
0
Продифференцировав приведённое выражение для Δp
по , найдём:
qq qq
∆=
F
0
2
28
επε
0
0
202
r
. (2.40)
50
H
Настоящая процедура вычисления ΔF пригодна и для
других электростатических задач, в которых ищутся силовые характеристики систем.
Потенциал электрического поля имеет вид
ϕα
пряжённости электрического поля в точке
направление вектора
Задача 4
xy z2, где α – постоянная. Найти проекцию на-
M 12 3, −
на
.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]