Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории электрических цепей. Учебное пособие для СПО.pdf
[ ]
LL
C
eAeA
Z
I
γγ
−
⋅+⋅−=
212
1
,
LL
eAeAU
γγ
−
+=
212
+
=
−
=
−
.
2
,
2
22
2
22
1
L
C
L
C
e
IZU
A
e
IZU
A
γ
γ
[ ]
+=
+
−=
⋅
+⋅
−=
−
−−
,)(
,
1
)(
21
2121
xx
xxxx
C
eAeAxU
eBeBeAeA
Z
xI
γγ
γγγγ
+
==
−
==
−
.
2
,
2
222
2
221
1
L
C
C
C
L
C
C
C
e
Z
IZU
Z
A
B
e
Z
IZU
Z
A
B
γ
γ
)(
22
)(
22
22
)(
xL
C
xL
C
e
IZU
e
IZU
xU
−−−
+
+
−
=
γγ
)
(
22
)(
22
22
)(
xL
C
C
xL
C
C
e
Z
IZU
e
Z
IZU
xI
−−−
+
+
−
−=
γγ
2
2
I
U
Z
Н
=
+
+
−
=
−−− )()(
2
22
)(
xL
Н
CН
xL
Н
CН
e
Z
ZZ
e
Z
ZZ
UxU
γγ
.
Решая систему уравнений (складывая и вычитая уравнения), найдем постоянные интегрирования
(5.16)
и получим
(5.17)
где
(5.18)
Подставляя в (5.17) значения (5.16) и (5.18), получим
Используя соотношение для сопротивления нагрузки,
, (5.21)
получим
, (5.19)
. (5.20)
, (5.22)
49
51
+
+
−
−
=
−
−− )()(
2
22
)
(
x
L
C
CН
xL
C
CН
e
Z
ZZ
e
Z
ZZ
I
xI
γγ
. (5.23)
{ }
{ }
{ } { }
+==
⋅+⋅−==
−
−
,Re)(Re),(
,Re)(Re),(
21
21
tjxtjxtj
tjxtjxtj
eeAeeAexUxtu
eeBeeBexIxti
ωγωγω
ωγωγω
{ }
( ) ( )
),,(),(
coscos
Re),(
21
21
xtuxtu
xteAxteA
eeAeeAxtu
ПАДОТР
xx
tjxtjx
+=
=−++=
=+=
−
−
βωβω
αα
ωγωγ
),( xtu
ПАД
),( xtu
ОТР
( )
xteAxtu
x
ПАД
βω
α
−=
−
cos),(
2
x
constxt =−=
βωθ
Ф
V
θ
0
=−=
dt
dx
dt
d
βω
θ
По комплексным амплитудам тока и напряжения найдем их мгновенные
значения
тогда получим
(5.24)
где
и
- падающая и отраженная волны напряжения. Анало-
гично для тока проведите расчет самостоятельно.
5.4. Падающая и отраженная волны
Падающая волна напряжения представляет собой гармоническую функцию двух аргументов
. (5.25)
Под движением волны понимают перемещение (по оси
) точки фикси-
рованной фазы волны
.
Скорость ее движения
цируем фазу
по времени, тогда
называют фазовой скоростью волны. Продифферен-
и фазовая скорость равна
50
52
β
ω
==
dt
dx
V
Ф
0>
Ф
V
( )
xteAxtu
x
ОТР
βω
α
+= cos),(
1
β
ω
−==
dt
dx
V
ОТРФ
α
{ }
[ ][ ]
{ }
000000
ReRe GСjRLjYZ ++==
ωωα
0=
α
. (5.26)
Направление распространения волны – от источника к нагрузке, так как
и эту волну называют падающей.
Другую часть волнового процесса (5.16) называют отраженной волной,
, (5.27)
так как ее фазовая скорость
. (5.28)
отрицательна (получите результат самостоятельно) и волна распространяется
от нагрузки к источнику. Направления распространения этих волн показаны на
рис. 5.5, а их пространственные диаграммы для разных моментов времени –
на рис. 5.6.
Рис. 5.5
Как видно, падающая и отраженная волны затухают по направлению
распространения, затухание определяется коэффициентом затухания
.
При отсутствии потерь
.
51
53
λ
x
)(
ψβω
+− xt
λ
+x
))((
ψλβω
++−
xt
p
2
pψλβωψβω
2))(()( =++−−+− xtxt
β
p
λ
=
2
.
==
=−=
−
−
.)(,)(
,)(,)(
21
21
x
ПАД
x
ОТР
x
ПАД
x
ОТР
eAxUeAxU
eBxIeBxI
γγ
γγ
x
x
x
ПАД
ОТР
u
e
A
A
eA
eA
U
U
x
γ
γ
γ
ρ
2
2
1
2
1
)( ===
−
Длина волны
(рис. 5.6). Фаза в точке
Рис. 5.6
− это расстояние между точками с одинаковой фазой
равна
, а в точке
соответственно
, а их разность равна
, тогда получим уравнение
,
и в результате коэффициент фазы связан с длиной волны колебаний λ в линии
выражением
(5.29)
5.5. Коэффициент отражения
Комплексные амплитуды падающей и отраженной волн равны
Комплексные коэффициенты отражения по напряжению и току равны
,
52
54
xx
x
x
ПАД
ОТР
i
e
A
A
e
B
B
eB
eB
I
I
x
γγ
γ
γ
ρ
2
2
1
2
2
1
2
1
)( −=−=
−
==
−
+
=
−
=
−
.
2
,
2
22
2
2
2
1
L
C
L
C
e
I
Z
U
A
e
IZU
A
γ
γ
,)(
)(
2)
(
2
22
2
2
2
2
1
x
L
CН
C
Н
x
L
C
C
x
u
e
ZZ
ZZ
e
IZU
IZ
U
e
A
A
x
−
−−
−
+
−
=
+
−
==
γ
γ
γ
ρ
)(22
2
1
)(
xL
CН
CН
x
i
e
ZZ
ZZ
e
A
A
x
−−
+
−
−=−=
γγ
ρ
x
CН
CН
xL
CН
CН
iu
e
ZZ
ZZ
e
ZZ
ZZ
xxx
′
−−−
+
−
=
+
−
===
αα
ρρρ
2)(2
)()()(
Lx =
0=−=
′
xLx
CН
CН
ZZ
ZZ
Lx
+
−
=== )(
2
ρρ
CН
ZZ
=
.
Ранее, исходя из начальных условий в конце линии, были определены по-
стоянные интегрирования
Тогда для коэффициентов отражения получим
.
Модули коэффициентов отражения одинаковы и равны отношению
амплитуд отраженной и падающей волн,
.
На конце линии (при
или
) модуль коэффициента отра-
жения равен
. (5.30)
При удалении от нагрузки модуль коэффициента отражения падает. Как видно,
имеется особое значение сопротивления нагрузки
, при котором коэф-
фициент отражения равен нулю во всех точках линии.
В режиме бегущих волн в линии присутствует только падающая волна
напряжения или тока. Он возникает в линии с согласованной нагрузкой
5.6. Режимы работы длинной линии
5.6.1. Режим бегущих волн
53
55
CН
ZZ
=
. (5.31)
,
2
2
1
2
)()(
)(
2
)(
2
)(
2
2
2
)(
22
2
xLxL
Н
CН
xL
C
xL
C
x
ПАД
eUe
Z
ZZ
U
e
U
I
Z
Ue
IZU
eAxUxU
−−
−−−
=
+
=
=
+
=
+
===
γγ
γγγ
)(
2
)(
22
2
2
)
()(
xL
Н
xL
C
C
x
ПАД
e
Z
U
e
Z
IZ
U
e
Bx
I
xI
−−−
=
+
=
=
=
γγγ
,)(
)(2xL
eUxU
−
=
α
)(
2
)(
xL
Н
e
Z
U
xI
−
=
α
0=
α
,)(
2
UxU =
Н
Z
U
xI
2
)( =
В этом случае коэффициент отражения и амплитуда отраженной волны
равны нулю во всех точках линии. Комплексные амплитуды падающей волны
равны
.
Для амплитуд напряжения и тока в линии получим
.
Графики для амплитуды напряжения показаны на рис. 5.7.
В линии без потерь
и тогда
,
то есть в согласованной длинной линии без потерь амплитуды напряжения и
тока не зависят от расстояния.
Рис. 5.7
В режиме бегущих волн отражения отсутствуют и при отсутствии потерь
54
56
мощность от источника полностью передается от источника к нагрузке. В ли-
.,
1
,,0,
0
0
00
0000
C
L
Z
CL
V
CLjCLj
cФ
==
====
ωβαβωγ
1)
( =
+
−
=
CН
CН
RZ
RZ
x
ρ
0
=
Н
Z
∞→
Н
Z
НН
jXZ =
НН
jXZ =
( ) ( )
( ) ( )
1)(
22
22
=
+
+
=
+
−
=
CН
CН
CН
CН
RX
RX
RjX
RjX
x
ρ
xx
eAeAxU
γγ
−
+=
21
)(
[ ]
LL
C
eAeA
Z
I
γγ
−
⋅+⋅−=
212
1
нии с потерями часть мощности источника рассеивается (сигнал затухает).
Режим бегущих волн используется для передачи сигнала от источника к
нагрузке. Такую длинную линию называют фидером.
5.6.2. Режим стоячих волн в линии без потерь
При отсутствии потерь R
=0 и G0=0 получим
0
Эти выражения приближенно справедливы и в длинной линии с малыми по-
терями при условии R
<< ωL
0
, G
0
<< ωC0.
0
Режим стоячих волн возникает в линии без потерь, когда модуль коэф-
фициента отражения равен 1,
,
что можно обеспечить при следующих нагрузках:
- короткое замыкание (
- холостой ход (
- реактивная нагрузка (
);
);
).
В режиме стоячих волн амплитуда отраженной волны равна амплитуде
падающей.
В общем случае при
получим
Для комплексных амплитуд напряжения и тока, согласно (5.12) и (5.13)
.
,
,
55
57
где
+
=
−
=
−
,
2
,
2
22
2
22
1
L
C
L
C
e
IZU
A
e
IZU
A
γ
γ
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
,sincos
sincos
)(sin)(cos
22
22
)(
22
22
22
)(
22
)(
22
2222
′
⋅+
′
⋅=
=
′
⋅+
′
⋅=
=−+−=
=
+
+
−
=
=
+
+
−
=
−−−
−−
xI
X
R
xU
xIjZxU
xLIjZxLU
e
IZU
e
IZU
ee
IZU
ee
IZU
xU
Н
C
C
C
xLj
C
xLj
C
xL
C
xL
C
ββ
ββ
ββ
ββ
γγγγ
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
.sincos
)(sin)(cos
)(sin)(cos
22
1
)(
2
2
2
)(
22
)(
22
21
′
⋅−
′
⋅=
=
−−−=
=−+−=
=
+
+
−
−=
=⋅+⋅−=
−−−
−
x
Z
X
xRI
xL
Z
X
xLI
xL
Z
Z
jxLI
e
Z
IZU
e
Z
IZU
eAeA
Z
xI
C
Н
C
C
Н
C
Н
xLj
C
C
xLj
C
C
LL
C
ββ
ββ
ββ
ββ
γγ
0=
Н
Z
0
2
=U
[ ] [ ] [ ]
xIjRxIjZxUxU
CC
′
⋅=
′
⋅+
′
⋅=
βββ
sinsincos)(
222
[ ]
[ ] [ ]
xI
x
Z
X
xIxI
C
Н
′
⋅=
′
⋅−
′
⋅=
βββ
cossincos)(
22
тогда получим
Рассмотрим короткое замыкание нагрузки (
), тогда при
для комплексных амплитуд получим
а для амплитуд
,
56
58
,
( )
x
IRxU
C
′
⋅=
β
sin)(
2
, (5.32)
( )
xIxI
′
⋅=βcos)(
2
4
'
λ
=x
4
1
'
=
λ
x
,..2,1,0,
2
' =
=
kk
x
k
λ
,..2,1,0,
42
' =+= kkx
k
λλ
∞→
Н
Z
0
2
=I
( )
xUxU
′
⋅=
β
cos)(
2
. (5.33)
Зависимости амплитуд тока и напряжения показаны на рис. 5.8.
Рис. 5.8
Как видно, на нагрузке имеется максимум (его называют пучность) тока
и ноль (узел) напряжения. При удалении от нагрузки ток падает, а напряжение
растет, и при
или
имеется узел тока и пучность напряжения.
В общем случае для напряжения узлы расположены на расстоянии
,
а пучности при
.
Для тока положение узлов и пучностей противоположно.
При холостом ходе нагрузки (
)
, тогда аналогично преды-
дущему получим
, (5.34)
57
59
( )
x
R
U
xI
C
′
⋅=
β
sin)(
2
. (5.35)
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
,sincos
sincos)'(
2
22
′
⋅+
′
⋅=
=
′
⋅+
′
⋅=
x
X
Z
xU
xIjZxUxU
Н
C
C
ββ
ββ
[
]
[
]
′
⋅−
′
⋅= x
Z
X
xIxI
C
Н
ββ
sincos)'(
2
[ ] [ ] [ ]
ψβββ
+
′
⋅=
′
⋅+
′
⋅= xUx
X
Z
xUxU
Н
C
cossincos)'(
22
=
Н
C
X
Z
arctg
ψ
Зависимости амплитуд тока и напряжения показаны на рис. 5.9.
Рис. 5.9
Положение узлов и пучностей противоположно предыдущему.
5.6.3. Линия без потерь при реактивной нагрузке
Решение телеграфных уравнений имеет вид
(5.36)
. (5.37)
Рассмотрим напряжение в линии (5.28) (ток проанализируйте самостоя-
тельно):
,
,
а для амплитуды получим
58
60