Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы сопротивления материалов. Учебное пособие
.pdf
x
r
t
а б
Главные напряжения:
По 3-й теории прочности
m
Рис. 82
,, 0.
12 3
tm
экв 1 3
qr
x
q
[].
m
q
Сравнивая эквивалентные напряжения у сферической и цилиндрической оболочки, видим, что сферическая оболочка может выдержать в
два раза бо´льшую нагрузку.
Выполним расчет на жесткость.
1
qr
1
r
ttm
() ,
rE E
2
откуда
2
1
qr
2
rr
[].
E
121
15.2. ИЗГИБ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛOЧКИ
х
R
ПРИ СИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ
Выше был рассмотрен случай растяжения оболочек без изгиба
(безмоментная теория). Теперь остановимся на более общем случае,
когда в сечениях оболочки возникают и изгибающие моменты, и нормальные силы.
Рассчитаем на прочность симметрично нагруженный тонкостенный
цилиндр постоянной толщиной h и радиусом срединной поверхности R
(рис. 83).
R
F
Рис. 83
q
x
Обозначим через w радиальное перемещение, а через – угол
наклона касательной к образующей срединной поверхности (рис. 84, а).
При этом
dw
.
(101)
dx
Относительное удлинение
отрезка АВ, расположенного на рас-
стоянии у от срединной поверхности (рис. 84, б), складывается из
удлинения
срединной поверхности и удлинения, обусловленного
0
искривлением образующей цилиндра:
d
(102)
x
y
0
.
dx
Относительное удлинение в окружном направлении
w
z
122
.
(103)
х
x
y
0
w
z
а б
x
R
x
Рис. 84
d
dx
w
y
Отрезок АВ
h
R
Линейным деформациям
, связанные с ними обобщенным законом Гука:
z
EE
(), ().
22
11
и z соответствуют напряжения х и
xz zt zx
С учетом (102) и (103) эти выражения принимают вид:
Ewd
x
0
2
1
y
Rdx
Ewd
zt
0
2
1
Rdx
,
(104)
y
.
Рассмотрим элемент оболочки с размерами dx, dz, h (рис. 85, а).
Нормальные силы в площадках hdz и hdy, отнесенные к единице длины, будут
hh
22
Tdy Tdy
xx tt
hh
22
Eh w Eh w
00
22
11
,.
RR
(105)
123
x
M
x
x
M
M
x
R
dx
h
dz
y
t
dy
Tdz
Tdx
Qdz
dz
dz
R
t
pdxdz
dxM
t
dx
dM dz
xx
dx
t
()
TdTdz
(Q + dQ)dz
Tdx
xx
z
t
а б
Рис. 85
Изгибающие моменты, отнесенные к единице длины,
hh
22
dw dw
,,
22
dx dx
(106)
где
22
MydyDMydyD
xx tt
hh
22
3
D
Eh
2
12(1 )
– жесткость оболочки на изгиб.
Теперь составим уравнения равновесия. На рис. 85, а показаны силы и моменты, приложенные к граням элемента. К определенным четырем силовым факторам по формулам (105) и (106) добавлены поперечные силы Q и внешние силы, характеризуемые давлением р. При
переходе от передней грани с координатой х к задней грани с координатой x + dx силы получают соответствующие приращения.
Проецируя все силы на ось цилиндра, получаем 0, const.
dT T
x
Проецируем силы на направление радиуса:
dz
Tdx dQdz pdxdz
t
0,
124
откуда
x
x
R
x
p
x
M
x
D
dQ
T
t
p
(107)
dx R
Составляем еще одно уравнение равновесия:
.
m Qdzdx dM dz
zx
0,
откуда
dM
Qdx (108)
.
Преобразуем полученные уравнения. Из уравнений (104) исключа-
, а из (107) и (108) – поперечную силу Q. В результате получим:
ем
0
Исключаем из этих уравнений
2
dM
dx R
Наконец, исключим
Eh
TwT
tx
R
2
dM T
dx
x
22
p
2
T :
t
Eh
из полученного уравнения, используя
,
(109)
t
.
wT
.
R
первую формулу (106), и получим уравнение относительно одного неизвестного w:
4
dw p
dx
4
(110)
kw
4,
4
RD
T
где
2
4
4.
k
(111)
222
RD Rh
12(1 )
Eh
Решение уравнения (110) можно искать в виде
kx kx
где
w e c kx c kx e c kx c kx w
w
– частное решение, которое зависит от функции р(х).
( sin cos ) ( sin cos ) ,
(112)
12 34
125
Для определения четырех постоянных в уравнении (112) необхо-
М
D
димо задать четыре граничных условия и затем решить систему четырех уравнений.
Граничные условия
1. Край защемлен:
dw
0; 0.
wdx
2. Шарнирно опертый край:
2
wM
dw
0; 0 ( 0).
2
dx
x
3. Свободный край:
23
dw dw
0; 0 ( 0).
23
dx dx
Q
4. Край нагружен силой
Q и моментом
0
23
dw dw
23
dx dx
;.
MD Q
00
:
0
Наибольшие напряжения определяются выражениями (104) при
h
y
:
2
2
dx
,
2
.
Ewhdw
max 0
x
t
1
max 0
1
22
Ewhdw
22
126
R
2
dx
R
2
Если исключить отсюда при помощи выражений (105) и (106) ве-
В
личины
w w dw dw
00
,,,,
RR
22
22
dx dx
то получим
6
TM
max max
xt
xx
h
,
2
h
6
TM
tt
h
(113)
.
2
h
15.3. ИЗГИБ КРУГЛЫХ СИММЕТРИЧНО
НАГРУЖЕННЫX ПЛAСТИН
Будем считать, что прогибы пластины w существенно меньше ее
толщины h (такие пластины называются тонкими плитами). В этом
случае можно считать, что нормальные напряжения в сечениях, параллельных срединной плоскости, пренебрежимо малы по сравнению с
изгибными напряжениями, т. е. надавливание между слоями пластины
отсутствует.
Перейдем к определению напряжений в таких пластинах, нагруженных силами, симметрично расположенными относительно ее оси у
(рис. 86, а). Деформации, перемещения и напряжения будут также
симметричными относительно оси у. Прогиб w связан с углом поворота нормали
очевидным соотношением (рис. 86, б)
dw
.
(114)
dr
Знак «минус» в (114) берется в соответствии с рис. 86, б. С уменьшением прогиба w угол возрастает.
На рис. 87 показано осевое сечение пластины. Точки, расположен-
D
ные на нормали ВD, после изгиба пластины образуют нормаль
повернутую на угол
. Нормаль АС повернется на угол .d
11
,
Отрезок СD, расположенный на расстоянии у от срединной поверхности, получает относительное удлинение
d
.
y
r
127
(115)
dr
y
dr
d
y
r
w
r
h
а б
Рис. 86
A
B
h
C
D
у
dr r
d
A
1
B
1
y
C
1
D
1
Рис. 87
Относительное удлинение в точке D в окружном направлении
2( ) 2
ry r
t
2
rr
.
y
(116)
128
Двумя осевыми сечениями, проведенными под углом d друг к
M
M
M
M
другу, и двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и
rdr выделим элемент пластины, показанный на рис. 86 и рис. 88, а.
Поскольку в сечениях, параллельных срединной плоскости, нормальными напряжениями можно пренебречь, выразим напряжения через
линейные деформации
и t с помощью обобщенного закона Гука:
r
d
d
rr
EE
rrtttr
t
(), ().
22
11
y
d
prd dr
dr
r
t
r
dr
t
()()
dM r dr d
rr
(117)
rd
r
Qrd
dr
t
()()QdQrdrd
а б
Рис. 88
Подставив в (117) полученные выражения (115) и (116), получаем:
Ey d
r
1
Ey d
t
1
2
dr r
,
(118)
2
rdr
.
На гранях элемента возникают и касательные напряжения.
Из условий симметрии очевидно, что они могут возникать только на
площадках, перпендикулярных радиусу r, и только в вертикальном
129
направлении (рис. 88, а). Зная напряжения
M
p
M
и t , определим момен-
r
ты, приходящиеся на единицу длины сечения:
hh
22
rd rd ydy M dr dr ydy
rrtt
hh
22
,.
Подставляя в эти формулы выражения (117), получаем:
dd
где
D
Eh
12(1 )
MD MD
rt
dr r r dr
3
– жесткость пластины на изгиб.
2
,,
Составляем уравнения равновесия:
()() 0,Y Q dQ r dr d Qrd prd dr
откуда
(119)
mMdMrdrdMrd
zrr r
prdrd M drd Q dQ r dr d dr
dr
2
откуда
Подставляем (119) в (121):
d
()
rQr
; (120)
dr
()()
t
tr
2
dd Qr
r
2
dr
()() 0,
d
() .
Mr Qr
(121)
dr
.
dr r D
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]