Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели и алгоритмы дискретной математики в автоматизированных системах. Учебно-методическое пособие.pdf
31
Пример. Сколькими способами можно распределить 10 одинаковых пи-
2
12
1k
1kn
CС =
−
−+
.CC
2
9
1k
1n
=
−
−
рожных между 3 людьми так, чтобы.
1) каждый мог получить любое количество;
2) каждый должен получить хотя бы одно пирожное.
Решение.
1)
.
2)
.6. Формула включений и исключений
2
Пусть А1 и А2 – два конечных множества. Тогда если А
∪ А2 |=| А1 | + | А2 |.
| А
1
Если А
1∩А2
1∩А2
≠∅, то | А1 ∪ А2 |=| А1 | + | А2 | - | А1 ∩ А2 |. Таким образом, мы
=∅, то
выразили количество элементов в объединении двух множеств через количество элементов в их пересечении.
Для произвольного числа n≥2 конечных множеств А
… Аn эта формула
1
примет следующий вид: :
А
|
(|А
1∩А2∩А3
∪…∪ Аn | =(|А1|+…+ |Аn|) - (|А1 ∩ А2|+|А2 ∩ А3|+…+|А
1
|+…+|А
n-2∩Аn-1∩Аn
|) - … + (-1)
n+1
|А
1
∩…∩А
|.
n
∩ Аn|) +
n-1
Эта формула называется формулой включений и исключений.
ример. Пусть А
П
Тогда | А
ледствие из формулы. Пусть А – конечное множество, А
С
∪ А2 ∪ А3| = 3+4+4-1-2-1+1=8.
1
={a, b, c}, А2 ={b, e, f, g}, А3={a, b, m, p}.
1
подмножества. Тогда
ействительно,
Д
оэтому |A\( А
П
∪…∪ Аn)|+| А1 ∪…∪ Аn| = |A|, откуда и следует данная
1
формула.
Формула включений и исключений имеет еще одну интерпретацию.
Пусть А – конечное множество из N элементов, α
…α
1
– некоторые свойства,
n
которыми могут обладать или не обладать элементы множества A.
… Аn – его
1
32
Введем обозначения:
- N(α
N(α
) – число элементов множества A, обладающих свойствами α
i
N(α
α’
i
N(α’
Тогда N(α’
1,α2,α3
, α
) – число элементов, обладающих свойствами α
i
j
– элемент, не обладающий свойством α
…α’n)=N0 – число элементов, не обладающих ни одним свойством.
1
…α’n) = N - N(α1) -…- N(αn) + N(α1,α2) +…+ N(α
1
) -…- N(α
n-2,αn-1,αn
) +… +(-1)n N(α1,α2,…,αn).
и α
;
i
i
;
i
;
j
)-
n-1,αn
Пример. На курсе учатся 67 студентов. 27 из них знают язык программи-
рования Java, 15 студентов знают C#, 10 студентов знают Python, 7 – Java и C#,
5 – Java и Python, 3 – C# и Python, 2 – все три языка. Необходимо определить:
1) сколько студентов не знают ни одного из перечисленных языков про-
граммирования (N
);
0
2) сколько студентов знают только один язык программирования:
– только Java (N
);
1
– только C# (N2);
– только Python (N
).
3
3) сколько человек знают только два языка:
– Java и C# (N12);
– Java и Python (N
13
);
– C# и Python (N23).
Решение.
1
) N
=67-27-15-10+5+7+3-2=28.
0
2) N
3) N
Оч
=27-5-7+2=17.
1
N
=15-7-3+2=7.
2
N
=10-5-3+2=4.
3
=7-2=5.
12
N
=5-2=3.
13
N
=3-2=1.
23
евидно выполнение равенства:
тания;
N0+N1+N2+N3+N12+N13+N23+N
123
=N,
где N – общее число студентов на курсе.
Сделаем проверку:
28+17+7+4+5+3+1+2=67
пражнения
У
1. Цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9 записываются в случайном порядке. Определить:
– общее количество всех чисел, которые можно из них составить;
– количество чисел, в которых цифры записываются в порядке возрас-
33
– количество чисел, которые начинаются с цифры 5, а цифры 1 и 2 сле-
дуют друг за другом в порядке возрастания;
– количество чисел, в которых на четных местах в числе стоят четные
цифры.
2
з телефонной книги случайным образом выбирается номер, состоя-
. И
щий из 6 цифр. Считая комбинации цифр в телефонном номере равновероятными, найти:
– общее число возможных способов выбора номера
– чи
сло способов выбора номера, начинающегося с цифры 5;
– число способов выбора номера, не содержащего цифр 3 и
– ч
исло способов выбора номера, в котором три последние цифры оди-
;
6;
наковы.
3.Из 10 букв a, б, в, г, д, е, ж, з, и, к составляется 5-буквенное слово, в ко-
тором буквы не повторяются. Определить:
– общее число способов составления слов;
– число способов, при котором все гласные буквы входят в слово
исло способов, при котором слово содержит 2 гласных и 3 согласны
– ч
исло способов, при котором слово начинается с буквы «и» и имеет
– ч
;
х;
слог «ва»;
– число способов, при котором буквы «г» и «д» входят в состав слова и
не располагаются рядом;
– число способов, при котором слово начинается с гласной буквы и за-
канчивается согласной;
– число способов, при котором слово содержит хотя бы одну гласную букву.
4. Сколько можно составить 4-значных чисел из цифр 1 и 2
5
. Рассматривается число 1352142131.
?
– cколькими способами можно переставить цифры в этом числе?
– cколькими способами можно переставить цифры в этом числе, чтобы
цифры «3» располагались рядом?
– cколькими способами можно переставить цифры в числе, чтобы оно на-
чиналось и заканчивалось цифрой «1»?
6. Сколькими способами можно разделить 30 разных открыток между 3
людьми так, чтобы:
– каждый мог получить любое количество;
– каждый должен получить хотя бы по одной
дин получит 10 открыток, другой 15, третий 5
– о
Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспо-
7.
;
.
собность», чтобы:
– слово начиналось с буквы «т» и имело слоги «ро» и «но»
– в с
лове буквы «н» располагаются рядом
– б
уквы «б» в слове не располагаются рядом
;
.
;
34
8. В институтскую библиотеку пришли несколько студентов, каждый из
}x,...,{xX
n1
=
}u,...,{uU
m1
=
)x,(x
ji
которых взял хотя бы по одной книге. 10 из них взяли книги по курсу «Дискретная математика», 8 – по курсу «Высшая математика», 9 – по курсу «Физика». 5 человек взяли книги по курсам «Дискретная математика» и «Высшая математика», 3 – по курсам «Дискретная математика» и «Физика», 7 – по курсам
«Высшая математика» и «Физика». 2 человека взяли книги по всем трем дисциплинам. Определить:
– сколько студентов было в библиотеке;
– сколько человек взяли книги только по курсу «Дискретная математика»
9.
Студенческая группа из 20 человек сдавала сессию из 3-х экзаменов и
.
каждый студент сдал сессию. 10 человек получили «5» , 8 – «4». 9 – «3». 4 человека получили «5» и «4», 5 – «4» и «3», 2 – «5» и «3». Определить:
– сколько человек получили все 3 оценки
колько отличников в группе
– с
колько человек сдали сессию только на «3»
– с
. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически от-
10
.
.
.
крывается, если в определенной последовательности набрать 4 цифры из
имеющихся десяти. Определить:
– сколько различных комбинаций можно составить?
– сколько можно составить комбинаций, в которых первая и последняя
цифры были бы одинаковы?
– сколько можно составить комбинаций, при условии что полученное
число является нечетным и начинается с цифры «3»?
11. На кафедре работают 3 профессора и 10 доцентов и 2 ассистента.
Сколькими способами можно составить комиссию из 5 человек для проведения
госэкзамена при условиях:
– в комиссию должны быть включены все профессора.
– в комиссию должны быть включен хотя бы один профессор.
– в комиссию не должны включаться ассистенты.
12. В гостинице имеются 5 свободных номеров: один двухместный, один
трёхместный, один четырёхместный и два одноместных. Сколькими способами
можно расселить 11 человек по номерам?
3. ОС
3
.1. Ориентированные и неориентированные графы
Гр
афом G=(X,U) будем называть совокупность двух конечных мно-
жеств: множества вершин
, состоящего из некоторых пар элементов
НОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
и множества ребер (дуг)
множества X.
Геометрически граф может быть представлен в виде рисунка, в котором вершинам соответствуют точки, а ребрам – соединяющие их линии.
35
Если пары вершин
)x,(x
ji
)x,
(x
ji
)x,(x
ji
)x,(x
ji
>
j
i
x,
x<
i
x
j
i
x,x
)x,(x
ji
>x
,x<
ji
)x,(x
11
)x,(x
32
i
x
j
x
k
u
i
x
j
x
i
x
j
x
i
x
j
x
в множестве U являются неупорядоченными
(т.е., порядок соединения вершин несущественен), то граф называется неориентированным (неорграфом), а пары
– ребрами этого графа (рис. 3.1, а).
Рис. 3.1. Примеры графов
Если пары вершин
в множестве U являются упорядоченными
(т.е., порядок соединения вершин существенен), то граф называется ориенти-
рованным (орграфом), а пары
обозначать
. При этом
– дугами (рис. 3.1, б). Дуги орграфа будем
– начальная вершина дуги. При изображении
орграфа дуги обозначают стрелками. Графы, в которых имеются и неориентированные ребра, и дуги, называются смешанными (рис. 3.1, в). Заметим, что
любой неориентированный граф может быть представлен в виде орграфа путем
замены каждого его ребра двумя противоположно направленными дугами.
Пара вершин
ми), которые называют кратными. Количество одинаковых ребер
может соединяться двумя или более ребрами (дуга-
(дуг
) называется кратностью соответствующего ребра (дуги). Петлей на-
зывается дуга (ребро), с совпадающими начальной и конечной вершинами.
Граф с петлями и кратными ребрами (дугами) называется псевдографом.
Граф с кратными ребрами (дугами) и без петель называется мультиграфом.
Граф, не содержащий петель и кратных ребер, называется простым графом.
Так, граф, представленный на рис. 3.1, а является псевдографом, так как содержит петлю
и кратное ребро
; граф на рис. 3.1, б является муль-
тиграфом, граф на рис. 3.1, в – простым графом.
Две вершины графа
и
называются смежными, если существует со-
единяющее их ребро (дуга). Два ребра (дуги) смежны, если они имеют общую
вершину. Если ребро (дуга)
ребро (дуга) инциндентно вершинам
соединяет вершины
и
, а вершины
и
, то говорят, что
и
инциндентны
36
ребру (дуге)
k
u
5
x
596
u ,u ,u
610
u и u
1
x
6
x
)U,(XG
'''
=
XX'⊆, UU
'
⊆
)U(X,G
oo
=
)U(X,G =
G
Xxj∈
ji
x,x
x
i
x
i
)(x
i
-
ρ
. Так, на рис. 3.1, а вершина
инциндентна ребрам
,
ребра
являются смежными; смежными являются вершины
Подграфом графа G=(X,U) называется граф
. Остовным подграфом графа G=(X,U) называется граф
, содержащий все вершины графа G. Так, на рис. 3.2, а представ-
лен граф G, на рис. 3.2, б – один из остовных подграфов графа G.
ис. 3.2. Пример графа и одного из его остовных подграфов
Р
раф
Г
называется дополнением простого графа G=(X,U), если
и
.
, для которого
две вершины смежны в
тогда и только тогда, когда они не смежны в G. На
рис. 3.3, а представлен граф G, на рис. 3.3, б – его дополнение.
ис. 3.3. Пример графа и его дополнения
Р
асто граф задают парой (X,Г). При этом для орграфа Г(x
Ч
вершин
ство вершин x
Г(x
)= Г-1(xi) и означает количество вершин, смежных с вершиной xi.
i
Число дуг, исходящих из вершины
, для которых в графе существует дуга <
∈X, для которых в графе существует дуга <xk,xi>. Для неорграфа
k
ориентированного графа, называет-
) - множество
i
>; Г-1(xi) - множе-
ся полустепенью исхода вершины
и обозначается
. Число дуг, заходя-
37
щих в вершину
x
i
i
x
)(x
i
+
ρ
i
x
)(x
i
-
ρ
)(x
i
+
ρ
)(x
1
-
ρ
)(x
1
+
ρ
)(x
2
-
ρ
)(x
2
+
ρ
∑∑
∈∈
=ρ=ρ
Xx
i
+
Xx
i
-
ii
m)(x)(x
i
x
i
x
)(x
i
ρ
i
x
)(xiρ
)(x
4
ρ
)(x1ρ
2m)(x
Xx
i
i
∑
∈
=ρ
{
случае. противном в 0
смежны; xи xвершины если ,1
a
ji
ij
=
{
случае. противном в 0
>;x,x<дуга существует графе в если ,1
a
ji
ij
=
kaij=
)x,(x
ji
>x,x<
ji
, называется полустепенью захода вершины
и обозначает-
ся
. Если в вершине
Так, для орграфа, представленного на рис. 3.1, б
=3;
=2. Для любого орграфа с m дугами выполняется равенство
имеется петля, к
и
=1;
прибавляется 1.
=2;
.
неориентированном графе число ребер, инциндентных данной вершине
В
, называется степенью вершины
и обозначается
. Вершина графа,
имеющая степень 0, называется изолированной, а вершина, имеющая степень 1 -
висячей. Если в вершине
фа на рис. 3.1,.а
=4;
имеется петля, к
прибавляется 2. Для неогра-
=5. Для любого неографа с m рёбрами справед-
ливо следующее равенство:
.
3
.2. Матричный способ задания графов
М
атрицей смежности неориентированного графа G=(X,U) с n вершина-
ми называется квадратная матрица А порядка n, элементы которой определяются следующим образом:
Для ориентированного графа:
В псевдографе
, где k - кратность ребра
(дуги
).
Необходимо заметить, что если в графе нет петель, диагональные элементы
матрицы смежности равны 0.
Рассмотрим неориентированный граф:
38
Рис. 3.4. Пример неориентированного графа
)(x
i
ρ
ij
a
i
x
j
x
ij
a
Для данного графа матрица смежности имеет вид:
оки и столбцы матрицы соответствуют вершинам графа. Так как в
Стр
графе нет петель, диагональные элементы матрицы смежности равны 0. На пересечении строки и столбца ставится 1, если соответствующие вершины смежны и 0 в противном случае. Так как граф является неориентированным, матрица
смежности симметрична относительно главной диагонали. Кроме того, можно
видеть, что сумма элементов матрицы А неориентированного графа по i - й
строке (или по i-му столбцу) равна степени данной вершины
.
При построении матрицы смежности ориентированного графа учитывается направление дуг. Элемент
чальной вершиной
и конечной вершиной
равен 1, если в графе существует дуга с на-
. Если такой дуги нет, элемент
равен 0. Таким образом, рассматривается прямое направление дуг, причём
начальная вершина дуги берётся по строке, а конечная – по столбцу. Очевидно,
что при этом матрица смежности не будет симметрична относительно главной
диагонали.
39
Рассмотрим ориентированный граф:
1
x
2
x
12
a
2
u
7
u
1
x
16
a
15
a
)(x
i
-
ρ
)(x
i
+
ρ
ис. 3.5. Пример ориентированного графа
Р
учётом вышеизложенного построим матрицу смежности рассматривае-
С
мого ориентированного графа:
Н
апример, в первой строке матрицы всего один элемент равен 1, так как
существует всего лишь одна дуга, выходящая из вершины
в вершину
. Поэтому элемент
тивоположную сторону. Для них вершина
ответствующие элементы
и
равен 1. Дуги
и
является конечной. Поэтому со-
равны 0. Аналогично заполняются осталь-
. Эта дуга заходит
направлены в про-
ные строки матрицы смежности. Можно заметить, что для орграфа сумма элементов матрицы смежности по i-й строке равна полустепени исхода соответст-
вующей вершины
ни захода данной вершины
, а сумма элементов по i-му столбцу равна полустепе-
.
40
Матрицей инциндентности неориентированного графа G=(X,U) с n вер-
n
m×
{
случае.
противном
в
0
;
u
ребру
а
инциндентн
x
вершина
если
1
a
ji
ij
,
=
{
.u
дуге
аинциндентн
не
xвершина
если
0,
;u дуги вершина конечная - xвершина если 1,-
;u дуги вершина начальная - xвершина если 1,
b
ji
ji
ji
ij
=
шинами и m ребрами называется матрица В размера
определяются следующим образом:
Для ориентированного графа:
Построим матрицу инциндентности неориентированного графа, пред-
ставленного на рис. 3.4. Строки матрицы соответствуют вершинам графа, а
столбцы – рёбрам графа.
Построение матрицы инциндентности удобнее производить по столбцам.
Каждый столбец содержит две единицы, соответствующие двум вершинам, которые инциндентны данному ребру. Матрица инциндентности будет иметь вид:
, элементы которой
Построение матрицы инциндентности ориентированного графа осущест-
вляется аналогично с той разницей, что каждый столбец содержит 1 и -1. Знак
«+» соответствует начальной вершине дуги, знак «-« соответствует конечной
вершине дуги.
Для графа, изображённого на рис. 3.5, матрица инциндентности имеет вид: