Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы численного моделирования. Учебно-методическое пособие
.pdf
61
3. Уточнить корни уравнения методом касательных с заданной
точностью:
1) на листе Метод касательных создать и заполнить таблицу по
образцу (рис. 18);
Рис. 18. Шаблон уточнения корня методом касательных
2) в ячейки B5:B7 занести исходные данные;
3) в ячейку С11 занести формулу для проверки сходимости метода;
4) в ячейку D13 занести формулу для определения начального
приближения корня;
5) в ячейку B16 занести ссылку на начальное приближение;
6) в ячейках С16 и D16 вычислить значение функции и ее первой
производной в точке текущего приближения;
7) в ячейке B17 вычислить новое приближение корня по формуле
касательных;
8) в ячейку В18 занести формулу (если разность между двумя
предыдущими приближениями меньше ε, то равно « », в противном случае вычислить новое приближение);
9) в ячейку А18 занести формулу для вычисления номера итерации;
10) в ячейки С18, D18 занести соответствующие формулы;
11) скопировать нужные формулы вниз по таблице до уточнения
корня с заданной точностью.
62
4. Аналогично уточнить корень методом хорд на листе Метод хорд.
5. На другом листе решить уравнение, используя процедуру Под-
бор параметра. Сравнить полученные значения корня.
6. Реализовать алгоритмы методов уточнения корня нелинейного
уравнения с применением редактора Excel Visual Basic. Для этого на ли-
сте Все методы создать таблицу по образцу (рис. 19).
Рис. 19. Шаблон таблицы сравнительного анализа эффективности
численных методов уточнения корня уравнения
Составить программы для уточнения корня уравнения всеми методами. Результаты выдавать в соответствующих ячейках на рабочем
листе Все методы. На этом же листе создать кнопки для запуска каждой
из четырех программ.
В а р и а н т ы з а д а н и й
63
Ч И С Л Е Н Н О Е Р Е Ш Е Н И Е С И С Т Е М Л И Н Е Й Н Ы Х
А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К И Х У Р А В Н Е Н И Й
Многие практические задачи приводят к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
СЛАУ, состоящая из n уравнений, может быть записана в виде
где
– постоянные коэффициенты при неизвестных;
– неизвестные;
– свободные члены системы.
Решением СЛАУ является такая совокупность значений неизвест-
ных
, которая каждое уравнение системы обращает в истин-
ное тождество.
Диагональ матрицы, проходящая слева направо, называется глав-
ной диагональю. Матрица, все элементы которой, находящиеся ниже
главной диагонали, равны нулю, называется треугольной.
Необходимым и достаточным условием существования единственной СЛАУ является неравенство нулю определителя матрицы коэффициентов при неизвестных. В случае равенства определителя нулю
матрица называется вырожденной. При этом система либо не имеет решения, либо имеет их бесконечное множество. Системы, определитель
у которых близок к нулю, называются плохо обусловленными. Для таких
систем малые погрешности исходных данных могут привести к большим погрешностям решения.
Существуют две группы методов решения СЛАУ: прямые, в которых решение получается за конечное фиксированное число операций,
и итерационные, в которых результат достигается в процессе последо-
вательных приближений.
П р я м ы е м е т о д ы р е ш е н и я С Л А У
Прямые методы по существу являются аналитическими методами.
К ним относятся метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, метод прогонки и др. Эти методы целесообразно использовать
64
в тех случаях, когда число уравнений невелико. Эти методы просты,
универсальны и позволяют получить точный результат, если все вычисления вычислены абсолютно точно. К недостаткам прямых методов
следует отнести следующее:
– необходимость хранения в оперативной памяти компьютера
всей матрицы коэффициентов;
– накапливание погрешности вследствие округления результатов
арифметических и других действий над числами в вычислительном
устройстве;
– не учитывается структура матрицы, многие элементы которой
могут быть равны нулю.
Метод Гаусса. Это один из наиболее распространенных методов ре-
шения СЛАУ. Алгоритм вычислений по методу Гаусса содержит два
этапа: прямой ход и обратный ход. В процессе прямого хода происходит
последовательное исключение неизвестных из системы, т. е. матрица
СЛАУ с помощью равносильных преобразований преобразуется в верхнюю треугольную матрицу. В обратном ходе определяются неизвестные.
Пусть дана СЛАУ:
Запишем расширенную матрицу системы:
ведущая
строка
ведущий столбец
На первом шаге алгоритма Гаусса выберем диагональный эле-
мент (если он равен нулю, то первую строку переставляем с ка-
кой-либо нижележащей строкой) и объявляем его ведущим, а соответ-
ствующие строку и столбец, на пересечении которых он находится, – ве-
дущими. Обнулим элементы
ведущего столбца.
65
Для этого сформируем числа
.
Умножая ведущую строку на число
, складывая со второй
строкой и ставя результат на место второй строки, получим вместо эле-
мента нуль, а вместо элементов
- соответственно
элементы
Умножая ведущую строку на число
, складывая с тре-
тьей строкой и ставя результат на место третьей строки, получим вме-
сто элемента нуль, а вместо элементов
- соответ-
ственно элементы
Умножая ведущую строку на число
, складывая с n-й
строкой и ставя результат на место n-й строки, получим вместо эле-
мента нуль, а вместо элементов
– соответственно
элементы
Cохраняя ведущую строку неизменной, получим в результате первого шага алгоритма Гаусса следующую матрицу:
ведущая
строка
ведущий столбец
На втором шаге алгоритма Гаусса в качестве ведущего элемента
выбирается элемент
(если он равен нулю, то вторую строку вза-
имно меняем на нижележащую строку). Формируются числа
, которые ставятся около ведущей строки.
Умножая ведущую строку на число
и складывая результат
с третьей строкой, в третьей строке получим вместо элемента
ноль,
66
а вместо остальных элементов – элементы
.
Умножая ведущую строку на число
и складывая ре-
зультат с n-й строкой, в n-й строке получим вместо элемента
нуль,
а вместо остальных элементов – элементы
. Сохраняя первую
и вторую строки матрицы неизменными, получим в результате второго
шага алгоритма Гаусса следующую матрицу:
ведущая
строка
ведущий столбец
После (n-1)-го шага алгоритма Гаусса получаем следующую расши-
ренную матрицу, содержащую верхнюю треугольную матрицу СЛАУ:
В обратном ходе алгоритма Гаусса из последнего уравнения сразу
определяется , из предпоследнего –
и т.д. Из первого уравнения
определяется
.
Замечание. В результате прямого хода метода Гаусса можно вы-
числить определитель матрицы А исходной СЛАУ:
67
При этом с помощью множителя
, где р – число перестано-
вок строк в процессе прямого хода, учитываются соответствующие перемены знаков вследствие перестановок строк.
Пример. Методом Гаусса решить СЛАУ
Прямой ход:
Первый шаг:
Второй шаг:
Обратный ход:
9,653 = 9,653
= 1;
9,8 + 0,8 = 10,6
= 1;
10 + + = 12
= 1.
Ответ: .
Метод Крамера. Является прямым методом. Обычно он применя-
ется для систем с небольшим количеством уравнений.
68
Пусть дана СЛАУ
Запишем главный определитель системы:
Теперь запишем n дополнительных определителей. I-й дополнительный определитель системы получаются из главного определителя
системы путем замены его i-го столбца столбцом свободных членов.
Тогда решение представляется в виде
где Δ – главный определитель системы;
- i-й дополнительный опре-
делитель системы.
Таким образом, решение системы n линейных уравнений сводится
к вычислению n+1 определителя порядка n.
Пример. Методом Крамера решить СЛАУ.
69
Вычислим главный определитель матрицы.
Вычислим первый дополнительный определитель.
Вычислим второй дополнительный определитель матрицы.
Вычислим третий дополнительный определитель матрицы.
Находим значения неизвестных:
Ответ: .
Л а б о р а т о р н а я р а б о т а 7
Р Е Ш Е Н И Е С Л А У П Р Я М Ы М И М Е Т О Д А М И
Цель работы: формирование навыков решения СЛАУ прямыми
методами с применением инструментария табличного процессора Excel.
1. Решить СЛАУ методами Гаусса, Крамера, обратной матрицы.
Для этого в табличном процессоре Excel на Листе1 создать таблицу по
образцу (рис. 20).
70
Рис. 20. Шаблон решения СЛАУ прямыми методами
2. Решить СЛАУ методом Гаусса:
1) ввести матрицу коэффициентов при неизвестных и столбец сво-
бодных членов в ячейки A4:D7 и E4:E7 соответственно;
2) в редакторе EVB ввести текст программы, реализующей алго-
ритм Гаусса для решения СЛАУ. Исходные данные брать из ячеек
А4:Е7. Результаты поместить в ячейки I2:L2;
3) отладить программу;
4) создать кнопку Метод Гаусса для запуска программы на Листе1.
3. Решить СЛАУ методом обратной матрицы:
1) в ячейках I13:L16 вычислить обратную матрицу для матрицы
коэффициентов при неизвестных, используя функцию МОБР (для получения всех элементов обратной матрицы необходимо использовать
сочетание клавиш [Ctrl]+[Shift]+[Enter]);
2) в ячейках J18:J21 вычислить вектор неизвестных как произведение обратной матрицы на столбец свободных членов, используя
функцию МУМНОЖ ([Ctrl]+[Shift]+[Enter]);
3) полученные результаты поместить в ячейки I5:L5.
4. Решить СЛАУ методом Крамера:
1) в ячейке G10 вычислить определитель матрицы коэффициентов
при неизвестных, используя функцию МОПРЕД;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]