Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы численного моделирования. Учебно-методическое пособие
.pdf
51
Для наглядности рассмотрим ход решения, если за начальное при-
ближение принять
1) Итерация 1. Вычисляем первое приближение корня:
2) Проверяем, достигнута ли точность решения:
Заданная точность решения не достигнута.
3) Итерация 2. Вычисляем второе приближение корня:
4) Проверяем, достигнута ли точность решения:
Заданная точность решения достигнута.
5) Корень уравнения принимаем равным 2,3815.
Решение с точностью до 0,2 получено за две итерации. Графиче-
ская интерпретация хода решения показана на рис. 12.
Рис. 12. Геометрическая интерпретация метода простой итерации
52
Метод Ньютона (метод касательных). Пусть уравнение
имеет один корень на отрезке [a, b], первая и вторая производная
определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки
на отрезке [a, b]. Тогда для уточнения корня может быть применен метод касательных, который заключается в следующем.
1. За начальное приближение корня принять тот из концов отрезка
[a, b], для которого выполняется условие
, т. е. значение
функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки. Знак второй
производной функции определяет выпуклость кривой: если ,
то график функции имеет выпуклость вниз; если
, то график
функции имеет выпуклость вверх.
Если условие
не выполняется, сходимость ме-
тода не гарантируется. Но это условие не является обязательным: если
новое приближение окажется внутри отрезка [a, b], то сходимость будет
обеспечена.
2. В точке, соответствующей на графике функции
начальному приближению, провести касательную к графику функции
и найти точку пересечения касательной с осью абсцисс. Эта точка берется за новое приближение корня.
Уравнение касательной, проходящей через точку х0, имеет вид
Полагая y = 0, а х = х1, найти абсциссу точки пересечения касатель-
ной с осью абсцисс:
3. Приняв найденное значение х1 за начальное приближение
корня, провести касательную в новой точке и в точке пересечения касательной с осью абсцисс найти следующее приближение корня и т. д.
Общий вид итерационной формулы имеет вид
4. Вычисления продолжать до тех пор, пока не выполнится условие
.
5. Последнее вычисленное значение принять за корень уравнения.
53
Пример. Пусть необходимо уточнить корень уравнения
на отрезке [2; 3] с точностью методом касательных.
1) Вычисляем значение функции, стоящей в правой части уравне-
ния, и ее второй производной в точках a и b:
2) За начальное приближение корня принимаем точку b, так как
значение функции и ее второй производной в точке b имеют одинаковые знаки:
3) Итерация 1. Определяем первое приближение корня как точку
пересечения касательной, проведенной к графику функции f(x) в точке
, с осью абсцисс по формуле
На рис. 13 показана геометрическая интерпретация нахождения
первого приближения корня.
Рис. 13. Геометрическая интерпретация метода касательных
54
4) Проверяем, достигнута ли точность решения:
Заданная точность решения не достигнута.
5) Итерация 2. Определяем второе приближение корня как точку
пересечения касательной, проведенной к графику функции f(x) в точке
,
с осью абсцисс:
6) Проверяем, достигнута ли точность решения:
Заданная точность решения достигнута.
7) Корень уравнения принимаем равным 2,3815.
Решение с точностью до 0,2 получено за две итерации.
Метод хорд (метод секущих). Пусть уравнение имеет
один корень на отрезке [a, b], первая и вторая производные
определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a, b].
Сущность метода хорд заключается в следующем.
1. За начальное приближение корня принять тот из концов отрезка
[a, b], для которого выполняется условие
, т. е. значе-
ние функции и ее второй производной имеют разные знаки. Другой конец отрезка остается неподвижным.
2. Каждое приближение находить как точку пересечения хорды,
проведенной через точки, лежащие на кривой , с осью абсцисс.
Общий вид итерационной формулы в методе хорд имеет вид
где с – неподвижный конец.
3. Вычисления продолжать до тех пор, пока не выполнится усло-
вие
. Последнее вычисленное значение принимается за
корень уравнения.
Пример. Пусть необходимо уточнить корень уравнения
на отрезке [2; 3] с точностью методом хорд.
55
1) Определяем, какой из концов отрезка [2; 3] необходимо принять
за начальное приближение корня. Для этого вычисляем значение функции, стоящей в левой части уравнения, и ее второй производной в точках a и b:
За начальное приближение корня принимаем точку a, так как значение функции и ее второй производной имеют разные знаки в точке a.
Соответственно, за неподвижный конец принимаем точку b:
2) Находим первое приближение корня как точку пересечения
хорды, проведенной через точки на графике функции f(x) в точках, со-
ответствующих
(a) и c (b), с осью абсцисс по формуле
3) Проверяем, достигнута ли точность решения:
Заданная точность решения не достигнута.
4) Итерация 2. Определяем второе приближение корня как точку
пересечения хорды, проведенной через точки на графике функции f(x)
в точках, соответствующих x1 и c, с осью абсцисс:
5) Проверяем, достигнута ли точность решения:
Заданная точность решения достигнута.
6) Корень уравнения принимаем равным 2,674.
Решение с точностью до 0,2 получено за две итерации. Графическая интерпретация хода решения показана на рис. 14.
56
Рис. 14. Геометрическая интерпретация метода хорд
Л а б о р а т о р н а я р а б о т а 5
О Т Д Е Л Е Н И Е К О Р Н Е Й Н Е Л И Н Е Й Н О Г О У Р А В Н Е Н И Я
Цель работы: формирование навыков изоляции корней нелинейного уравнения графическим и аналитическими методами.
Отделение корней является первым этапом численного решения
нелинейного уравнения. Результатом данного этапа должны стать один
или несколько отрезков [a, b], внутри каждого из которых содержится
единственный корень уравнения.
1. Отделить корни уравнения графически на интервале [A;B]. Интер-
вал [A;B] выбирается в соответствии с областью допустимых значений
показателей моделируемого процесса или явления на основе априорных
знаний, экспертных оценок, профессиональной интуиции исследователя.
В работе исследовать интервал [-10; 10]:
1) на Листе1 протабулировать функции, представляющие собой
правую и левую части уравнения, с шагом 1;
2) на отдельном листе построить точечную диаграмму по получен-
ным значениям функций;
3) выбрать интервалы, каждый из которых содержит только один
корень уравнения.
57
2. Отделить в ячейках таблицы Excel корни уравнения аналитиче-
ски на интервале:
1) привести уравнение к виду ;
2) на Листе2 создать таблицу по образцу (рис. 15);
Рис. 15. Шаблон таблицы отделения корней аналитически
3) в ячейках, начиная с А9:В9, протабулировать функцию f(x) на
интервале [A;B] с шагом 1;
4) в ячейки С9 и D9 занести соответствующие формулы и скопи-
ровать их для всех нижележащих значений.
Ячейка С9 (значение начала отрезка а) должна принимать следующие значения:
– «корень найден», если значение функции f(x) в текущей точке
равно нулю;
– значение х в текущей точке, если функция f(x) имеет разные
знаки в текущей и последующей точках;
– значение « » – в остальных случаях.
Ячейка D9 (значение конца отрезка b) должна принимать следующие значения:
– значение х в последующей точке, если функция f(x) имеет разные знаки в текущей и последующей точках;
– значение « » – в остальных случаях.
5. Составить программу для отделения корней уравнения аналити-
чески на интервале [A;B]:
1) на листе Модуля ввести текст программы:
Function f(x)
f = ‘записать выражение своей функции
End function
Sub otdelenie_kornya()
REM описание всех переменных
DIM …
58
Rem i – номер строки, h – шаг табулирования
i = …
h = …
For x = -10 to …
If f(x) = 0 then
WorkSheets(…).Cells(…).Value = “корень”
Else
If f(x)*F(x+h)<0 then
WorkSheets(…).Cells(…).Value =x
WorkSheets(…).Cells(…).Value =x+h
End If
End If
i = i + 1
Next
End Sub
2) запустить и отладить программу;
3) на Листе2 создать кнопку для запуска программы.
Л а б о р а т о р н а я р а б о т а 6
У Т О Ч Н Е Н И Е К О Р Н Я Н Е Л И Н Е Й Н О Г О У Р А В Н Е Н И Я
Ч И С Л Е Н Н Ы М И М Е Т О Д А М И
Цель работы: формирование навыков уточнения корня уравне-
ния до заданной степени точности различными численными методами.
На втором этапе численного решения нелинейного уравнения осу-
ществляется уточнение корня уравнения на найденном на
этапе отделения корней отрезке [a, b] с заданной степенью точности ε,
которая определяется исследователем в соответствии со смыслом решаемой задачи и порядком числовых значений искомого показателя.
1. Уточнить корни уравнения методом половинного деления с за-
данной точностью:
1) на листе Метод половинного деления создать таблицу по об-
разцу (рис. 16) и заполнить ее;
59
Рис. 16. Шаблон таблицы уточнения корня методом
половинного деления
2) в ячейки В5:В7 занести исходные данные;
3) в ячейках В12, F12 указать ссылки на соответствующие ячейки;
4) в ячейку D12 занести формулу для определения середины от-
резка [a, b];
5) в ячейки С12, E12, G12 занести формулы для вычисления зна-
чения функции f(x) в соответствующих точках;
6) в ячейку А13 занести формулу, которая увеличивает значение
вышестоящей ячейки на 1;
7) в ячейку В13 занести формулу для вычисления начала от-
резка а в соответствии с алгоритмом метода половинного деления (если
длина отрезка [a, b] больше ε и f(x) ≠ 0 на предыдущей итерации, значит,
если корень находится на отрезке [a, x], то а = а, иначе а = х;
8) аналогично в ячейку F13 занести формулу для вычисления
конца отрезка b;
9) в ячейку Н12 занести формулу для корня (если f(x) = 0 на теку-
щей итерации, то корень равен х; иначе, если длина отрезка [a, b] на
текущей итерации больше ε, то корень равен « », иначе равен х;
10) скопировать нужные формулы вниз по таблице до нахождения
корня уравнения с заданной точностью.
2. Уточнить корни уравнения методом простой итерации с задан-
ной точностью:
1) преобразовать уравнение к виду х = φ(х);
60
2) на листе Метод простой итерации создать таблицу по образцу
(рис. 17) и заполнить ее;
Рис. 17. Шаблон уточнения корня методом простой итерации
3) занести исходные данные;
4) в ячейку D11 занести формулу для проверки сходимости метода
простой итерации;
5) в ячейку D13 занести формулу для определения начального
приближения корня;
6) в ячейки В16:С16 занести соответствующие формулы;
7) в ячейку В17 занести формулу для текущего приближения
корня;
8) в ячейку В18 занести формулу (если разность между двумя
предыдущими приближениями меньше ε, то равно « », в противном случае вычислить новое приближение);
9) в ячейку А18 занести формулу для вычисления номера итерации;
10) в ячейку С18 занести соответствующую формулу;
11) скопировать нужные формулы вниз по таблице до уточнения
корня с заданной точностью.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]