Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы численного моделирования. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
А п п р о к с и м а ц и я ф у н к ц и и м е т о д о м
н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в
При интерполировании, рассмотренном ранее, значения прибли-
жаемой и приближающей функций совпадают в узлах интерполяции
(наблюдаемых или экспериментальных точках). Однако при наличии
значительного числа экспериментальных точек, найденных с некоторой погрешностью, сглаживание с помощью многочленной интерполяции становится неразумным не только из-за неустойчивости (локальных выбросов) интерполирующей функции, но и из-за сильного колебания заданных точек. В этом случае дискретно заданную функцию
сглаживают в среднем. Такое сглаживание реализуется при построении
приближающей функции, коэффициенты (параметры) которой находят
с помощью минимизации отклонения сглаживающей функции от заданных точек в некотором среднеинтегральном смысле.
Одним из таких методов является метод наименьших квадратов,
суть которого заключается в следующем. Пусть функция f(x) задана
таблично в некоторых узлах xi:
xi x1 x2 … x
n
yi y1
y2 … yn
Поставим ей в соответствие функцию вида
где – базисные функции;
– коэффициенты, которые необходимо
определить. Если в качестве базисных функций использовать степенные
(
), задача сводится к поиску полинома степени m (m << n), при-
ближающего заданную таблично исходную функцию:
.
Требуется найти такие коэффициенты
, чтобы отклонение зна-
чений приближающей функции
от заданных табли-
цей значений yi, i = 1, n было минимально в некотором среднеинтеграль-
ном смысле.
В точечном методе наименьших квадратов используется функци-
онал
32
,
который геометрически представляет собой сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений yi от значений аппроксимирующей функции в точках xi, i = 1, n (на рис. 5 показаны двусторонними стрелками).
Рис. 5. Аппроксимирующая функция
Необходимым условием минимума функции многих переменных
является равенство нулю ее частных производных первого порядка по
независимым переменным. В функционале
такими не-
зависимыми переменными являются коэффициенты
раз-
ложения, которые до их определения являются не постоянными, а варьируемыми переменными. То есть необходимо решить систему уравнений:
Эта система называется нормальной системой метода наимень-
ших квадратов и представляет собой систему линейных алгебраиче-
ских уравнений порядка m + 1 относительно неизвестных
.
33
Её матрица является симметричной и положительно определенной. Ре-
шения
обеспечивают минимум рассматриваемому функ-
ционалу. Подставив найденные в результате решения системы значения
в сглаживающую функцию, получаем непрерывную функцию F(x), наилучшим образом приближающую дискретную приближаемую функцию в среднеквадратическом смысле.
Рассмотрим частный случай, когда приближающая (сглаживаю-
щая) функция представляет собой полином первой степени:
.
Тогда минимизируемый функционал принимает вид
Для линейной зависимости система нормальных уравнений:
Преобразуем ее к виду
Решение данной системы линейных уравнений может быть осу-
ществлено любым из известных методов, например методом Крамера.
Решая эту систему, находим значения параметров и
:
34
Пример. Точечным методом наименьших квадратов аппроксими-
ровать заданную таблицей функцию линейным и квадратичным полиномами:
Xi 2 3 4 5 yi 7 5 8
7
В случае линейного полинома имеем
Таким образом, получаем сглаживающий полином первой степени
В случае квадратичного аппроксимационного полинома
.
Тогда минимизируемый функционал примет вид
Для квадратичной зависимости система нормальных уравнений:
35
Преобразуем ее к виду
Подставим табличные значения:
Решив эту систему, получим
То есть
Сравним аппроксимацию линейным и квадратичным полиномами
(табл. 1).
Таблица 1
Сравнительные результаты аппроксимации
x
Значение y
Квадрат отклонения
Табличное
Расчетное
(аппроксимация)
Линейная
Квадратичная
Линейная
Квадратичная
2 7 6,3
6,55
0,49
0,20
3 5 6,6
6,35
2,56
1,82
4 8 6,9
6,65
1,21
1,82
5 7 7,2
7,45
0,04
0,20
Сумма квадратов отклонений
4,3
4,05
На рис. 6 представлены результаты аппроксимации заданной таб-
лично функции линейной и квадратичной замещающими функциями.
36
Рис. 6. Линейная и квадратичная аппроксимация
С увеличением степени m приближающего многочлена нормаль-
ная система метода наименьших квадратов становится плохо обусловленной, и решение ее связано с большой потерей точности. Поэтому
в методе наименьших квадратов, как правило, используют приближающий многочлен не выше третьей степени. Если степень аппроксимирующего многочлена равна числу табличных точек, то среднеквадратичный многочлен совпадает с интерполяционным. Поэтому хорошее сглаживание будет при m << n. Но если m очень мало, то для описания слож-
ной кривой коэффициентов может не хватить. При необходимости построения многочленов большей степени применяют приемы, позволяющие повысить обусловленность нормальной системы.
Иногда аппроксимирующую функцию удобнее выбирать не в виде
многочлена, а в виде других нелинейных функций. При этом задача аппроксимации табличной функции некоторой нелинейной функцией решается в два этапа:
– выбор вида сглаживающей функции с помощью метода «средних точек»;
– определение неизвестных параметров методом наименьших
квадратов.
Л а б о р а т о р н а я р а б о т а 4
А П П Р О К С И М А Ц И Я Т А Б Л И Ч Н О Й Ф У Н К Ц И И
М Е Т О Д О М Н А И М Е Н Ь Ш И Х К В А Д Р А Т О В
Цель работы: формирование навыков выбора наилучшей функциональной зависимости для аппроксимации заданной таблично функции
и определения ее параметров методом наименьших квадратов.
37
Часто перед исследователем в любой области возникает следующая
задача. Имеется объект исследования (ОИ), который характеризуется
набором переменных: входных – Xi (i = 1, m) и выходной – Y (рис. 7).
X1 X
2
X
k
Y
ОИ
Рис. 7. Объект «черный ящик»
Требуется найти зависимость выходной переменной от входных:
При этом считается, что механизмы процессов, протекающих внутри
объекта исследования, неизвестны, а имеются только значения входных
и соответствующие им значения выходной переменных. Такая задача
носит название задачи «черного ящика».
Рассмотрим простейший случай, когда на вход действует только
одна переменная:
Решение задачи моделирования в этом случае состоит из ряда этапов.
1. Провести эксперимент или сбор результатов наблюдения.
На вход подаются различные значения входной переменной X из возможного диапазона, и замеряются соответствующие значения выходной переменной Y. Пусть было получено n экспериментальных или
наблюдаемых точек. Результаты эксперимента или наблюдений представлены по вариантам в табл. 3.
1) На Листе1 рабочей книги табличного процессора Excel создать
таблицу по образцу (рис. 8).
2) Занести результаты эксперимента (наблюдений) в таблицу
(рис. 8, ячейки B6:C11).
3) По экспериментальным данным (B5:C11) построить график (то-
чечную диаграмму) на том же рабочем листе Excel.
2. Выбрать вид эмпирической зависимости. Необходимо подо-
брать функцию, которая могла бы описать экспериментальные (наблюдаемые) данные. В табл. 2 приведены основные типовые функции,
наиболее часто встречающиеся в задачах.
38
Рис. 8. Шаблон таблицы аппроксимации функции
Таблица 2
Типовые замещающие функции
№
п/п
Функция
Координаты
средних точек
Приведение к линейному
виду
Xk
Yk
1
U = A + bZ; U = lgY;
A = lga; Z = lgX
2
U = A + BX; U = lgY;
A = lga; B = lgb
3
U = a + b X; U = 1/Y
4
Y = a + bZ; Z = lgX
5
Y = a + bZ; Z = 1/X
6
U = A + BZ;
U = 1/Y; Z = 1/X;
A = 1/a: B = b/a
Для выбора вида зависимости воспользуемся методом средних точек.
1) В табличном процессоре Excel рассчитать координаты средних
точек (Xk и Yk) для всех предложенных функций (в ячейках B21:C26).
39
2) Нанести полученные средние точки на экспериментальный гра-
фик (выделить диапазон ячеек B21:C26 и перетащить мышью на график).
В качестве эмпирической зависимости, описывающей наши экспериментальные данные, выбираем ту функцию, средняя точка которой
лежит ближе всего к экспериментальной кривой.
3. Найти параметры (a и b) выбранной зависимости. Необходимо
определить такие параметры а и b выбранной зависимости, чтобы расчетная кривая лежала как можно ближе к экспериментальной кривой.
В качестве критерия близости выбираем минимум суммы квадратов отклонений между экспериментальными и расчетными значениями выходной переменной Y:
где i – номер эксперимента; n – количество экспериментов.
Чтобы минимизировать значение S, надо приравнять к нулю част-
ные производные от функционала S по каждому параметру математической модели. В результате получается система уравнений, которую
называют системой нормальных уравнений.
Для определения параметров нелинейной зависимости необхо-
димо сначала привести ее к линейному виду (табл. 2) U = A + BZ. Тогда
система нормальных уравнений примет вид
Решая эту систему, находим параметры A и B:
Зная А и B, находим параметры выбранной нелинейной зависимо-
сти а и b:
1) Заполнить ячейки E6:H11 таблицы Excel соответствующими
формулами (см. табл. 2). Внимание! Формулы заносить только для первой точки, для остальных точек копировать.
2) В ячейках E12:H12 вычислить суммы Z, U, Z2, ZU по всем экспериментальным точкам соответственно.
3) В ячейках B14 и B15 вычислить значения A и B соответственно.
40
4) В ячейках B17 и B18 обратным преобразованием определить
параметра нелинейной зависимости а и b (см. табл. 2).
5) Записать полученную зависимость.
1. Исследовать модель и сделать выводы:
1) В ячейках D6:D11 рассчитать значения выходной переменной
Y
расч
по полученной эмпирической формуле.
2) На отдельном листе диаграммы построить графики эксперимен-
тальной и расчетной кривых (по диапазону B5:D11).
3) По взаимному расположению экспериментальной и расчетной
кривых сделать вывод об адекватности полученной математической
модели.
4) В свободной ячейке таблицы (например, G25) вычислить коэффициент детерминации по формуле
где
,
– экспериментальное и расчетное значения Y в i-й точке;
– среднее экспериментальное значение Y; n – количество экспери-
ментальных точек.
Для этого необходимо:
– cкопировать значения ячеек C5:D11 в ячейки E16:F22 с помо-
щью команды Правка/Специальная вставка… (выбрать «значение»);
– в ячейках G16:G22 вычислить
в каждой точке;
– в ячейке Е23 вычислить среднее экспериментальное значение
с помощью функции СРЗНАЧ;
– в ячейках Н16:Н22 вычислить
для всех точек;
– в ячейках G23 и H23 вычислить
и
соответственно;
– в ячейке G25 вычислить значение R2.
Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выше адек-
ватность модели (если R2 > 0,65, то модель адекватна).
Сделайте вывод об адекватности модели по коэффициенту детер-
минации.
1. Определить вид и параметры эмпирической зависимости с помощью линии тренда:
1) На Лист2 рабочей книги Excel занести исходные экспериментальные значения в ячейки B5:C10 (рис. 9).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]