Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и средства исследований. Учебное пособие
.pdf
Точность измерений – качество измерений, отражающее
близость их результатов к истинному значению измеряемой
величины. Количественно точность равна обратной величине
модуля относительной погрешности. Например, если относительная погрешность измерения 10
-2
% = 10-4, то точность равна
104.
Правильность измерений – качество измерений,
отражающее близость к нулю систематических погрешностей в
их результатах.
Достоверность измерений характеризует доверие к
результатам измерений и делит их на две категории:
достоверные и недостоверные, в зависимости от того, известны
или нет величины отклонений от истинных значений
соответствующих величин, то есть если погрешность измерения
не известна, то оно считается недостоверным. Например, запись
результата достоверного измерения величины рН должна иметь
вид: рН= 3,5 ±0,1.
Виды погрешности измерений
Как бы тщательно не проводились измерения, какие бы
методы и способы не использовались, никогда нельзя узнать
истинное значение измеряемой величины. При проведении
повторных измерений каждый раз получают несколько
различающиеся результаты.
Каждый результат содержит какую-то погрешность
∆ Хi= Хi – Q,
е ∆ Х
гд
Х
– результат i–го измерения; Q – истинное значение
i
– абсолютная погрешность результата i–го измерения;
i
измеряемой величины.
Абсолютная погрешность выражается в единицах
измеряемой величины. Однако часто пользуются понятием
«относительная погрешность измерения». Это отношение
абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой
величины
21
X
∆
i
A
=
,%
Q
Из вышесказанного следует, как бы точно не измерялась
величина, ее истинное значение Q остается неизвестным, так же
как и числовое значение погрешности ∆ Хi.
Однако теория вероятностей дала метод оценки степени
приближения результата измерения к истинному значению
измеряемой величины Q, а также возможность оценивать
вероятные границы погрешностей, за пределы которых они не
выходят.
Эта оценка дается не с безусловной 100 %-ной
достоверностью, а с несколько меньшей (99 %; 95 %;90 %;80 %).
Погрешности измерений по характеру и причинам их
появления делятся на систематические и случайные. Кроме
того, в процессе измерения могут появляться очень большие
(грубые) погрешности, могут быть допущены промахи. Грубые
погрешности и промахи, как правило, отбрасываются и при
обработке результатов измерений не учитываются.
Систематическая погрешность измерений – это
составляющая погрешности измерения, которая остается
постоянной или знакопеременной, изменяющейся при
повторных измерениях одной и той же величины.
Иногда погрешность меняется по сложному закону. Ее
трудно учесть, но она изучена, и известно, что погрешность
находится в пределах какого-то значения.
Способы исключения систематических погрешностей
можно разделить на четыре основных группы:
устранение источников погрешностей до начала
1)
измерений (профилактика погрешностей);
2) исключение погрешностей в процессе измерения
способами замещения, компенсации;
внесение известных поправок в результат измерения
3)
(исключения погрешностей вычислением);
22
4) оценка границ систематических погрешностей, если их
нельзя исключить.
С систематической погрешностью можно справиться,
если она выявлена.
Случайная погрешность измерений – это составляющая
погрешности измерений, которая изменяется случайным
образом при повторных измерениях одной и той же величины.
Каждая случайная погрешность возникает при
одновременном воздействии многих факторов.
В каждый конкретный момент эти источники
погрешности проявляют себя по-разному, без закономерной
связи между собой, независимо друг от друга, поэтому и
суммарное их действие проявляется без закономерной связи с
предыдущими и последующими. Это и дало право говорить о
случайных погрешностях. Однако, если измерение проводить
многократно, то можно выявить закономерности изменения
случайной погрешности.
Изучением свойств случайных событий в больших
совокупностях занимается теория вероятности и математическая
статистика.
Законы распределения вероятностей
Закон Гаусса. Наиболее часто используется закон Гаусса,
или закон нормального распределения вероятностей, кривая
распределения которого является симметричной относительно
максимума и имеет колоколобразную форму.
Такому закону с некоторым приближением подчиняется
рассеяние погрешностей измерения размеров, массы и других
механических и физических величин. Закон Гаусса хорошо
описывает разброс экспериментальных данных, когда результат
измерения зависит от многих равнозначных по величине
факторов.
23
Симметричная кривая, изображающая плотность
распределения вероятности по нормальному закону
определяется уравнением
2
y
1
2
exp
−=
πσ
2
)(
−
Qx
,
2
σ
где y – плотность распределения вероятности Р; Q и σ –
параметры распределения Р; х – аргумент функции плотности
распределения Р, то есть случайная величина – (-∞ < х <∞).
Параметр Q называется математическим ожиданием
случайной величины х. Численно Q равно абсциссе, которой
соответствует максимальная ордината кривой.
σ – среднеквадратическое отклонение х. Оно является
характеристикой рассеяния случайной величины. Следует
отметить, что σ соответствует генеральной выборке событий
(измерений). На практике закон Гаусса становится работоспособным при выборке событий более 100.
В ряде случаев характер рассеяния эмпирических
значений случайной величины подчиняется другим законам
распределения.
Закон Максвелла. Иногда случайная погрешность может
быть только положительной величиной. Например, рассеяние
эксцентриситетов, или отклонение двух плоскостей от
перпендикулярности.
Такую зависимость описывают законом
эксцентриситетов, или законом Максвелла.
Закон Вейбулла. Ему наиболее часто подчиняется
рассеяние отказов (нарушение работоспособности) машин.
Уравнение
φ(х)= bλχ
b-1
exp(-λ
b
χ
),
где b, λ –
постоянные параметры.
24
Закон Пуассона. Ему подчиняется распределение редких
!
n
NxN
2
S S x x
событий.
m
a
a
−
)(
mP
=
,
e
где n – число опытов; Р (m) – вероятность интересующего нас
события; m – частота встречаемости интересующего нас
события (число появления события).
Обработка результатов наблюдений,
содержащих случайные погрешности
Повторив несколько раз измерения, можно получить ряд
значений х1, х2, … хn, и
змеряемой величины.
Стремясь приблизиться к истинному значению
измеренной величины, проводится вычисление
среднеарифметического значения:
N
...
xxxx
++++
x
=
n∑=
i
1321
i
=
,
где x – среднеарифметическое значение или оценка
математического ожидания; N – число измерений. Между x и
истинным значением Q существует неизвестная разность.
Поэтому кроме x желательно знать интервал, в который
попадает Q. Его можно определять с заданной доверительной
вероятностью: обычно 95% или 99%.
Расчет доверительного интервала для математического
ожидания производится по формуле
Stg
⋅
x
−
x
N
xm
x
где mx – математическое ожидание; S
Stg
⋅
x
+≤≤
,
N
– оценка среднеквадра-
x
тичного отклонения х:
N
2
= = −
x x i
1
( )
∑
1
N
−
1
i
=
,
25
2
где
S – оценка дисперсий случайной величины х
x
N
1
2
S
=
∑
1
N
−
1
i
=
2
)(
xx
−
ix
или
N
1
=
S
N
∑ ∑
−
1
= =
i
1
1
22
−
x
N
2
N
i
x
;
iix
1
tg – критерий Стьюдента, который берется из таблиц, исходя из
числа степеней свободы f и q.
Здесь f=N–
1 (или f=N), а q – уровень значимости для
заданной доверительной вероятности Р.
Например, если Р=0,95, то истинное значение Q попадает
в найденный интервал с вероятностью 95 %. Уровень
значимости при этом будет равен q= 1–Р=0,05.
Для лабораторных работ принимают N=3; для
дипломных работ N=7–8 при вероятности соответственно 0,8 и
0,9.
Промахи и грубые погрешности
Грубая погрешность – погрешность измерения,
существенно превышающая ожидаемую при данных условиях
погрешность.
Причины появления грубых погрешностей – внезапные
кратковременные изменения условий измерения, оставшиеся
незамеченными неисправности в приборах.
Источники промахов – чаще всего ошибки, допущенные
во время измерения наблюдателем, например, неправильный
отсчет по шкале приборов, неверная запись результата и т.д.
чтобы не исказить результат измерения, промахи и грубые
погрешности необходимо отбросить.
26
Система стандартов прикладная статистика
В 1970 году Госстандартом создана серия ГОСТ по
прикладной статистике.
Шесть стандартов серии «Прикладная статистика»
устанавливают правила определения оценок и доверительных
границ для параметров. Стандарты содержат необходимые
таблицы функций. Расчеты могут проводиться с помощью
ЭВМ.
Описанные ранее государственные стандарты
согласуются со стандартами ИСО по рассматриваемой тематике
и в настоящее время не обязательны к исполнению.
В приложении 1 приведены табличные данные по
значениям критерия Стьюдента в зависимости от доверительной
вероятности и количества событий.
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ,
3.
ГРАФИЧЕСКИХ И РАСЧЕТНЫХ МЕТОДОВ В
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ
Графические аппроксимационные методы известны всем
исследователям, даже начинающим – дипломникам, бакалаврам.
«Сглаживание» углов на графиках зависимостей есть, ни что
иное, как графическая аппроксимация. В современном мире
исследований такие приемы уже не применимы, так как налицо
искажение результатов.
Наибольшее распространение получили аналитические
методы аппроксимаций, пришедшие с применением пакетов
программ для ПЭВМ типа «Офис 2000». Этот пакет включает в
себя программу Exel, способную производить аналитические
аппроксимации и графические построения.
27
Описание применения программы
аппроксимации диаграммы
1. Создание диаграммы.
1.1. Убедитесь, что данные на листе расположены в
соответствии с типом диаграммы, который планируется
использовать. Для гистограммы, линейчатой диаграммы,
графика, диаграммы с областями, поверхности или лепестковой
диаграммы выберите типы диаграмм.
Упорядочьте даные по столбцам, например:
Код Сумма
1 2
3 4
или по строкам:
Код 1 3
Сумма 2 4
1.2. Выполните одно из следующих действий: настройте
диаграмму при ее создании, создайте стандартную диаграмму,
которую можно изменить позже.
2. Добавление линии тренда на диаграмму.
2.1. Выберите ряд данных, т.е. набор связанных между
собой элементов данных, отображаемых на диаграмме. Каждому
ряду данных на диаграмме соответствует отдельный цвет или
способ обозначения, указанный на легенде диаграммы.
Диаграммы всех типов, кроме круговой, могут содержать
несколько рядов данных. Если к выбранному ряду данных
необходимо добавить линию тренда, то есть графическое
представление направления изменения ряда данных, или
скользящее среднее (последовательность средних значений,
вычисленных по частям рядов данных), то выберите команду
"добавить линию тренда" в меню "диаграмма".
28
2.2. На вкладке "Тип" выберите нужный тип
регрессионной линии тренда или линии скользящего среднего:
- при выборе типа " Полиномиальная" введите в поле
"Степень" наибольшую степень для независимой переменной;
- при выборе типа "Скользящее среднее" введите в поле
"Период" число периодов, используемых для расчета
скользящего среднего.
Следует учесть, что в поле "Построен на ряде"
перечислены все ряды данных диаграммы, поддерживающей
линии тренда. Для добавления линии тренда к другим рядам
выберите нужное имя в поле, а затем выберите нужные
параметры.
Если вариант «скользящее среднее» выбран для точечной
диаграммы, результат будет зависеть от порядка расположения
значений во входном диапазоне. Чтобы получить правильный
результат, необходимо отсортировать значения перед
построением линии скользящего среднего.
Прогноз и отображение линий тренда на диаграмме.
3.
3.1. Что такое линия тренда? Линии тренда позволяют
графически отображать тенденции данных и прогнозировать их
дальнейшие изменения. Подобный анализ называется также
регрессионным анализом. Используя регрессионный анализ,
можно продлить линию тренда в диаграмме за пределы
реальных данных для предсказания будущих значений.
3.2. Скользящее среднее. Можно вычислить скользящее
среднее, которое сглаживает отклонения в данных и более четко
показывает форму линии тренда.
3.3. Типы диаграмм, поддерживающие линии тренда.
Линиями тренда можно дополнить ряды данных,
представленные на ненормированных плоских диаграммах с
областями, линейчатых диаграммах, гистограммах, графиках,
биржевых, точечных и пузырьковых диаграммах. Нельзя
дополнить линиями тренда ряды данных на объемных
29
диаграммах, нормированных диаграммах, лепестковых
диаграммах, круговых и кольцевых диаграммах. При замене
типа диаграммы на один из вышеперечисленных, например при
изменении типа диаграммы на объемную диаграмму или
изменении представления отчета сводной диаграммы или
связанного отчета сводной таблицы, линии тренда, соответствующие данным, будут потеряны.
3.4. Создание линейных данных без использования
диаграммы. Чтобы создать данные, соответствующие линейным
и экспоненциальным линиям, используйте автозаполнение или
одну из статистических функций, таких как "Рост" или
"Тенденция".
Типы линий тренда: выбор наиболее подходящего типа
аппроксимации данных.
В этой программе существует шесть различных видов
линий тренда (аппроксимация и сглаживание), которые могут
быть добавлены на диаграмму Microsoft Exсel. Способ следует
выбирать в зависимости от типа данных.
3.5. Т
наибольшей степени приближается к представленной на
диаграмме зависимости, если значение "R2" равно или близко к
единице. При аппроксимации данных с помощью линии тренда
значение "R2" рассчитывается автоматически. Полученный
результат можно вывести на диаграмме.
3.6. Линейная аппроксимация – это прямая линия,
наилучшим образом описывающая набор данных. Она
применяется в самых простых случаях, когда точки данных
расположены близко к прямой. Говоря другими словами,
линейная аппроксимация хороша для величины, которая
увеличивается или убывает с постоянной скоростью.
3.7. Логарифмическая аппроксимация полезна для
описания величины, которая вначале быстро растет или
очность аппроксимации. Линия тренда в
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]