Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и средства геоконтроля. Методические указания по проведению практических занятий и самостоятельной работы студентов специальности 21.05.05 «Физ
.pdf
плотности распределения вероятностей и функции распределе-
i
i
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
нн
нн н н
lg lg 1
1 ; 0,46965 ,
lg 2 lg 2
бит
PP
HP P P HP
−
=− −− =
( )
( )
( )
( )
( )
дд
дд д
lg lg 1
1.
lg 2 lg 2
PP
HP P
−
=− −−
ния прочности и нагрузки, построенные в среде Mathcad.
0.1
0.08
pR
i
0.06
pQ
i
0.04
0.02
0
0 20 40 60
σ
а б
FR
FQ
0.8
i
0.6
0.4
i
0.2
1
0
0 20
40 60
σ
Рис. 1.1. Плотности вероятностей (а) и функции распределения (б) прочности R (сплошные линии) и нагрузки Q (точечные
линии) в соответствии с расчетным примером
1.1.4. Расчет коэффициента информационной
необходимости контроля
1. Информационная энтропия состояния при двух классах
(устойчивое и неустойчивое состояния массива пород):
где H(Pн) – информационная энтропия;
– вероятность неустойчивого состояния.
P
н
2. Допустимая информационная энтропия определяется через допустимую вероятность неустойчивого состояния, которая
из условия закона трех сигм принимается равной P
Допустимая информационная энтропия в этом случае вычисляется по формуле
≤ 0,00137.
д
В знаменателях дробей lg(2) находится потому, что энтропия
выражается в двоичных единицах информации, т.е. в битах, а в
системе Mathcad встроенная функция логарифма по основанию 2
отсутствует. В данном случае
11
( )
( )
нд
н
.
HP H
N
HP
−
=
0,968.N =
0,01501 .битH =
д
3. Расчет коэффициента информационной необходимости осу-
ществляется по формуле
Расчет по этой формуле дает
1.1.5. Контрольные вопросы и задания
1. Напишите условие устойчивого состояния конструкции,
учитывающего прочность и нагрузку.
2. По программе Вероятность исследуйте влияние средних
значений (математических ожиданий) прочности и нагрузки на
вероятность неустойчивого состояния P
мационной необходимости контроля N. Для этого рассчитайте
по этой программе и запишите значение вероятности неустойчивого состояния P
(разрушения), соответствующее вашим ис-
н
ходным данным. Скопируйте в Word графики плотностей вероятности и значения P
и N. После выполнения каждого пункта
н
следует измененные данные возвращать к исходным значениям.
3. Увеличьте среднее значение нагрузки на 20 %. Среднее
значение прочности оставьте неизменным. Сравните полученное
значение вероятности разрушения с предыдущим и сделайте вывод о влиянии нагрузки на P
и N.
н
4. Проделайте то же самое, уменьшая среднее значение прочности на 20 % при неизменной нагрузке. Сделайте вывод о влиянии прочности на P
и N.
н
5. По программе Вероятность исследуйте влияние среднего квадратического отклонения на P
и N. Для этого рассчитайте и срав-
н
ните их между собой для двух случаев по сравнению с исходным:
– для среднего квадратического отклонения нагрузки, увеличенной на 20 %, при неизменном среднем квадратическом отклонении прочности;
– для среднего квадратического отклонения прочности, уменьшенной на 20 %, при неизменном среднем квадратическом отклонении нагрузки.
12
и коэффициент инфор-
н
Всего должно быть пять вариантов исходных значений. В отчете каждый вариант должен содержать графики и соответствующие значения P
ние форм плотностей вероятностей прочности и нагрузки при
изменении их параметров. Поясните с их помощью полученные
результаты.
и N. При этом обратите внимание на измене-
н
1.2. Расчет коэффициента информационной
эффективности измеряемых параметров
контроля
1.2.1. Общая информация
Для расчета коэффициента информационной эффективности
необходимо знать плотности вероятности измеряемых параметров
в устойчивом и неустойчивом состояниях, данные для которых берутся из эксперимента. Для расчета плотности в устойчивом состоянии таких данных может быть получено достаточно большое количество. Но поскольку все сооружения проектируются так, чтобы
не допускать их разрушения, статистических данных для расчета
плотностей вероятности в неустойчивом состоянии мало. Здесь
приходится иметь дело с малой выборкой, когда объем данных находится в пределах от 3 до 10 элементов. Поэтому для построения
плотностей вероятности в обоих состояниях воспользуемся одним
из методов непараметрической статистики, а именно методом аппроксимации суммой нормальных ядер, при котором общая плотность вероятности формируется как сумма маленьких плотностей,
математическое ожидание каждой из которых равно измеряемой
величине. Например, если экспериментальных данных четыре,
то и плотностей вероятности будет четыре, математическое ожидание первой плотности будет равно первому экспериментальному
значению, второй плотности – второму и т.д. Средние квадратические значения этих распределений определяются из среднего квадратического отклонения всей выборки.
Расчет будет проведен на примере экспериментальных данных
по скоростям упругих волн в устойчивом и неустойчивом состояниях массива пород. Эти значения приведены ниже в километрах
в секунду.
13
1.2.2. Исходные данные для расчета
коэффициента информационной
эффективности параметров контроля
Коэффициент информационной эффективности рассчитывается по известным плотностям вероятности информативных параметров в устойчивом и неустойчивом состояниях, для построения
которых будут использованы по четыре измерения, приведенных
в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Данные для расчета плотностей вероятности аппроксимацией
суммой нормальных ядер
Состояние массива Скорость УЗ-волн, км/с
Неустойчивое 3,12 3,85 3,37 2,87
Устойчивое 3,75 3,12 3,87 3,62
1.2.3. Результаты расчетов
Информационная эффективность параметров контроля будет
рассчитываться при априорных вероятностях неустойчивого и устойчивого состояний P
Эти данные следует ввести в программу Эффективность и получить следующие графики (рис. 1.2, 1.3), а также среднюю
условную энтропию и коэффициент информационной эффективности параметра контроля, которые в данном случае равны
Hwxm = 0,18 бит, Э = 0,373 соответственно.
= 0,05 и Pu = 1 – Pn = 0,95 соответственно.
n
Рис. 1.2. Условные плотности вероятности информативного па-
раметра в устойчивом (пунктир) и неустойчивом (сплошная ли-
ния) состояниях
14
px()
1.5
1
0.5
0
2 3
1
4 5
x
6
Рис. 1.3. Плотность вероятности информативного параметра
1.2.4. Контрольные вопросы и задания
1. Ответьте устно, какие информативные параметры будут
обладать большим коэффициентом информационной эффективности: у которых плотности вероятностей перекрываются друг
с другом или наоборот – сильно разделены?
2. Проведите два численных эксперимента с программой Эффективность.
2.1. Измените одно из исходных значений информативных
параметров так, чтобы плотности вероятностей перекрылись бы
в большей степени. Например, последнее значение в табл. 1.2,
соответствующее неустойчивому состоянию и равное 2,87 км/с,
исправьте на 3,20 км/с. Сравните, как изменятся плотности вероятностей и коэффициент информационной эффективности Э
по сравнению с исходным случаем.
2.2. Измените одно из исходных значений информативных
параметров так, чтобы плотности вероятностей перекрылись бы
в меньшей степени. Например, значение в табл. 1.2, соответствующее неустойчивому состоянию и равное 3,85 км/с, исправьте
на 3,00 км/с. Сравните, как изменятся плотности вероятностей и
коэффициент информационной эффективности Э по сравнению с
исходным случаем.
15
1.3. Расчет напряжений в породах
; ,
уx
qqs= s=l
x
y
s
l=
s
,
1
m
l=
−m
1
11
cos2 ;
22
r
q
+l −l
s= + q
1
11
cos2 ,
22
q
q
+l −l
s= − q
вокруг выработки и коэффициента
информационной необходимости
их контроля в зависимости от глубины
1.3.1. Общая информация
Рассчитаем коэффициент необходимости контроля для случая цилиндрической выработки при упругом деформировании
массива (рис. 1.4). При этом воспользуемся методикой расчета
напряжений, приведенной в работах д-ра техн. наук, проф. Баклашова И.В. и др. [2, 3].
Для нетронутого массива
, sx – вертикальные и горизонтальные составляющие на-
где s
y
пряжений;
– коэффициент бокового распора,
где m – коэффициент Пуассона;
q = rgН – вертикальные гравитационные напряжения от
столба вышележащих пород;
r – плотность породы;
g – ускорение свободного падения;
Н – глубина контролируемого участка пород.
(1.1)
В нетронутом массиве до прохождения выработки относительные радиальные и тангенциальные деформации в полярных
координатах выражаются формулами:
где q – угол, отсчитываемый от вертикали.
(1.2)
(1.3)
16
В полярных координатах после прохождения выработки с кру-
s= − + − + q
24
rr
s= + − + q
0
R
rR=
глым сечением радиуса R
(см. рис. 1.4) напряжения в полярных
0
координатах:
1 1 1 43
+l −l
где s
, sq – радиальная и тангенциальная составляющие напря-
r
q
2
r
2
q
1 1 cos2 ;
22
1 11 3
q
2 24
r rr
+l −l
1 1 cos2 ,
22
(1.4)
(1.5)
жений; q – угол по отношению к вертикальной оси 0х;
– относительный радиус; индекс 1 относится к массиву
до проведения выработки, 2 – к массиву после ее проведения.
Рис. 1.4. Цилиндрическая горизонтальная выработка в безгра-
ничном массиве
Для напряжений, сформировавшихся в массиве пород после
прохождения выработки, следует воспользоваться формулами
(3.4) и (3.5). При этом расчет будет производиться при относительном расстоянии r от 1 до 5. Ниже и в программе Напряжения приведен пример расчета коэффициента информационной
необходимости контроля радиальных напряжений при q = p / 2.
Для расчета коэффициента информационной необходимости тангенциальных напряжений следует добавить необходимую часть
в программу Напряжения самостоятельно.
17
1.3.2. Исходные данные для расчета
Исходные данные для расчета приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Исходные данные для расчета напряжений и коэффициент
информационной необходимости контроля вокруг выработки
круглого сечения
Параметр Обозначение Значение
Плотность пород, кг/м
Коэффициент Пуассона
Глубина от поверхности, м H 400
3
r
m
2400
0,22
1.3.3. Результаты расчетов
Расчет напряжений и коэффициента информационной необходимости контроля осуществляется по программе Напряжения.
Здесь приводятся только некоторые результаты расчета.
Графики радиальных и тангенциальных напряжений представлены на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Графики радиальных Sr и тангенциальных Sq напря-
жений вокруг выработки круглого сечения в зависимости от от-
носительного расстояния r
На рис. 1.6 представлены графики зависимостей вероятностей
устойчивого P
(а) и неустойчивого Pn (б) состояний, а на рис. 1.7 –
u
коэффициента информационной необходимости контроля массива пород вокруг выработки круглого сечения. На последнем
графике метками отмечен горизонтальный уровень, соответствующий значению коэффициента информационной эффективности
Э = 0,373, полученного в предыдущем пункте 1.3.2 и введенного
18
в местозаполнитель для меток. Кроме того, здесь проведены две
вертикальные метки-линии, одна из которых a отмечает границу
выполнения условия Э > N, а вторая – точку изменения N с положительного значения на отрицательное, где контроль вести необязательно.
а б
Рис. 1.6. Графики зависимостей вероятностей устойчивого Pu (а)
и неустойчивого P
ки круглого сечения в зависимости от относительного радиуса r
(б) состояний массива пород вокруг выработ-
n
Рис. 1.7. Графики зависимости коэффициента информационной
необходимости N контроля напряжений вокруг выработки кру-
глого сечения от r, а = 1,71 м; b = 1,89 м
Как следует из графика, приведенного на рис. 1.7, область
контроля по одному информативному параметру контроля находится между линиями a и b на глубине между 1,71 и 1,89 м. При
r < 1,71 м (линия a) контроль следует вести по двум и более параметрам, что обеспечивается несколькими методами. На глубине
r > 1,89 м контроль вести необязательно, так как здесь N < 0.
19
1.3.4. Контрольные вопросы и задания
1. В каких пределах меняются коэффициенты N и Э? Какое
соотношение между ними должно выполняться для выполнения
контроля напряженного состояния с заданной максимально допустимой степенью ошибки?
2. Ответьте, исходя из смысла коэффициентов N и Э, как влияет величина коэффициента информационной эффективности Э
на границу областей контроля по одному и двум параметрам.
3. С использованием программы Напряжения исследуйте,
как влияет коэффициент информационной эффективности Э на
области контроля по одному и двум параметрам. Для этого на
графиках в соответствии с рис. 1.7 уменьшите величину коэффициента информационной эффективности в 1,5 раза, а в другом
случае увеличьте в 1,5 раза и наблюдайте, как при этом меняется граница области контроля по одному и двум параметрам.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]