Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вероятностные методы в радиотехнике. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
3 1 / ( 1 + x2 ), x ≤ 0
η = exp( )
4 (x
5 x2,
6 1 – 1/x,
7 1 + x,
8 exp( 2 · x
9 sin( π · x
10 cos( π · x
Примечание: если в формулах, приведенных выше, не учтены какие-
ибо интервалы, то это означает, что функция распределения при-
л
нимает для подобных аргументов вырожденное значение (0 или 1).
– 2)2, при 2 ≤ x ≤ 3
при 0 ≤ x ≤ 1
при 1 ≤ x < +∞
при –1 ≤ x ≤ 0
), x ≤ 0
/ 4 ), при 0 ≤ x ≤ 2
/ 4 ), при –2 ≤ x ≤ 0
η = 4 ·
η = arcsin( )
η = arctg( )
η = arccos( )
η = exp( – )
η = | – 1 |
η = ( – 1 )2
6.3. На диод с кусочно-линейной характеристикой
0, при 0
i =
u
0 при
uuS
воздействует случайное напряжение u. Плотность вероятности
этого напряжения (с точностью до неизвестной константы A)
представлена в центральной колонке, приведенной ниже таблицы. Определить константу A, плотность распределения тока
диода Wi(y) и вероятность возникновения значений тока,
принадлежащих интервалу, указанному в последней колонке
таблицы, если …
Номе
Плотность вероятности распреде-
р
1 A · cos( π · x
2 A · sin( x
3 2 · cos2(
ения напряжения u
л
/ 2 ) при –1 ≤ x ≤ 1 i > S / 2
+ π/3 ) при –π/3 ≤ x ≤ 2π/3
x ) / A при –π/2 ≤ x ≤ +π/2
14
1
Контролируемый
интервал значений
< π·S/2
i
> π·S/4
i
4 A · exp( –2 · | x| ) при –∞ < x < +∞
A/(exp(x)+exp(–x)) при –∞ < x < +∞
5
i < 1,0
i > 1,0
6 A · |x| при –2 ≤ x ≤ 2 i < +1,5
7 A · ( 1 – |x| / 2 ) при –2 ≤ x ≤ 2 | i | < 1,0
8 A · ( x + 0,5 ) при –0,5 ≤ x ≤ 1,5 i > 1,0
9 A / ( x + 2 )4 при –1 ≤ x < +∞ i > 2,0
10 A / ( 1 + x2 ) при 1 ≤ x < +∞
i < 3
6.4. Напряжение η, наблюдаемое на выходе квадратич-
ного детектора, связано со случайным сигналом , поступающим на вход, соотношением η = 2 · 2 . Определить закон
распределения и математическое ожидание величины η, если
распределение СВ …
Ном
ер
соответствует равномерному распределению с преде-
1
лами a = – 2, b = +2
W( x )
2
3
4
0
0,3+0,4·δ (x– 1) при –1≤x≤1
xsin1
прочих при
при
xx
x
0 6- при 1,0
x
Номер
соответствует нормальному распределению с пара-
6
метрами a = 0 и σ = 1,5
2 0 при 2,0
7
8
x
9
22
1/(π·(1+ x2)) при любых x
cos
4
0
W( x )
прочих при
x
при –1≤x≤1
2
x
0 2- при 2,0
x
1 0 при 6,0
x
0,5·exp(–|x|) при любых x
5
42
1
10
0,4·(1–0, 4|
x |)
при |x| ≤ 2,5
6.5. Случайная величина подчиняется нормальному
распределению с нулевым математическим ожиданием и параметром σ, представленным в центральной колонке таблицы
ниже. Определить закон распределения случайной величины η,
связанной с СВ функцией…
Номер
Параметр рас-
пределения σ
1 2
2 3
3 2
4 1
5 2
6 3
7 2
8 1
Функциональная зависимость
η = f( )
4 ξ при 2
-
0 ξ 4 при ξ5,0
0 ξ при ξ2
η =
-
η = exp( 2 )
2 ξ при ξ2
0 ξ 2 при 4
0 ξ при ξ0,54
η =
-
-
η = ξ
2
η =
2 | ξ| при ξ
2 | ξ| при 4
η = | / 3 |
2
2
0 при ) ξ exp(
x
0 при ) ξ exp(
x
η =
η = 1 – 2
9 2
10 3
1
43
η =
η = 1 + 2
2 ξ при 2 --
2 ξ 2 при 0
2 ξ при 2
6.6. Непрерывная случайная величина , имеющая равно-
–
1 1 3 5
x
y
2 3
–
2 0 2
x
y
2 3 1
0 4
x
y
–
3 5
x
y
2,5
x
y
3
–
2
2 x
y
2
–
4
y
–
4 0
x
y
y
x
y
мерное распределение при [ –5; +5 ]. Определить закон распределения и математическое ожидание СВ η, если ее значения y связаны со значениями x, принимаемыми случайной
величиной , функциональной взаимосвязью, график кото-
рой представлен в таблице…
Ном
ер
1
2
3
1
2
y = f(x)
= f(x)
= f(x)
1
–
= f(x)
Номер
6
7
8
y = f(x)
= f(x)
= f(x )
2
= f(x)
2
–
=
4
= f(x)
4x
2
1
9
44
= f(x)
=1/x
–
1 3
x
y
= f(x )
–2
–
3 1
x
y
–2
2
= f(x)
2
5
10
6.7. Случайные величины и η связаны между собой
функциональной зависимостью, показанной на рисунке.
η = f()
-2 -1 0 1 2
4,0
2,0
Определить закон распределения и дисперсию случайной
величины η, если распределение СВ …
Ном
ер
F( x )
Номер
F( x )
1 cos( π · x / 6 ), –3 ≤ x ≤ 0 6 sin( π · x / 3 ), 0 ≤ x ≤ 1,5
x
2
4 при 0
xx
2 4- при 1,0 0,4
x
2 при 1
7
x
2 при 0
x
2 при 1
xx
2 2- при 2,0 0,5
3 0,4 · x при 0 ≤ x ≤ 2,5 8 (12+4·x–x2 ) / 16, –2≤x≤2
4
5 ( 1 + x / 2 ) / 2, –2 ≤ x ≤ 2 10 0,5+arctg(x)/π, –∞<x<+∞
x
05 при 16/)5(
xx
1,60 при x/40,6
x
45
1
9
4 /
x
4 /
x
0 при e4,0
x
0 при e4,01
6.8. Две случайные величины связаны друг с другом соот-
-1 0
1 2
u,
В
ношением η = λ·||. Определить плотность распределения вероятностей случайной величины η и её математическое ожидание, если СВ …
Номер
Индивидуальный вариант условия
1 распределена равномерно в пределах от -2 до +2
2 распределена равномерно в пределах от -2 до +3
3
имеет ПРВ W(x) = 0,5·λ·exp( –λ·|x| ) при любых x
4
имеет ПРВ W(x) = λ·exp( –λ·(x+2) ) при x > –2
5 распределена нормально с параметрами a = 0, σ = 1/λ
6 распределена нормально с параметрами a = –1/λ, σ = 1/λ
7
имеет ПРВ W(x) = 1/(2·x2) при | x | > 1
8
имеет ПРВ W(x) = 1/λ – |x | / λ2 при | x | ≤ λ
9
имеет ФРВ F(x) = (1+x3) / 2 при –1 ≤ x ≤ +1
10
имеет ФРВ F(x) = (1+x3) / 9 при –1 ≤ x ≤ +2
6.9. Вольт-амперная характеристика диода аппроксими-
рована кусочно-линейной зависимостью, представленной на
рисунке
20,0
10,0
i, мА
Определить закон распределения и математическое ожидание
напряжения на выходе цепи, представленной в таблице ниже,
если на ее вход воздействует случайное воздействие с плот-
2
ностью вероятности
exp
xxW
1
u
)(
вх
1
2
46
)1(
2
1/В ,
Но-
1 В
+
1 В
+
мер
1
uвх
Цепь
400 Ом
Номер
6
u
вых
uвх
Цепь
300 Ом
u
вых
2
3
4
5
uвх
uвх
uвх
uвх
300 Ом
50 Ом
100 Ом
200 Ом
uвх
uвх
uвх
uвх
400 Ом
50 Ом
200 Ом
100 Ом
u
вых
u
вых
u
вых
u
вых
вых
7
8
9
10
u
вых
u
u
вых
u
вых
6.10. Случайные величины и η связаны между собой
1
47
2
2
,0ξ при 42)(ξ
при 2)(ξ 4
0.ξ
зависимостью η =
Определить закон распределения величины η, если СВ
подчиняется закону распределения…
Номер
W( x )
Номер
W( x )
1 1/2, –2 ≤ x ≤ 0 6 1/16 + x / 32, –2 ≤ x ≤ 6
2 1/2, 0 ≤ x ≤ 2 7 1/8 + x / 32, | x | ≤ 4
3 1/4, | x | ≤ 2 8 3/16 + x / 32, –6 ≤ x ≤ 2
4 1/6, –4 ≤ x ≤ 2 9 x / 8, 0 ≤ x ≤ 4
5 1/8, –4 ≤ x ≤ 4 10 1/4 + x / 8, | x | ≤ 2
48
1
7. СВОЙСТВА СИСТЕМ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
x0
x
x0+dx
x
dy dx
7.1. Краткое теоретическое введение
7.1.1. Вероятностные характеристики
Функцией распределения вероятностей (ФРВ) системы
случайных величин и η называют функцию F
η(x0
, y0),
определяющую вероятность одновременного выполнения
двух неравенств
F
( x0, y
η
) = P{ < x0,
0
η < y0 } (7.1)
(на месте запятой в правой части выражения следует подразумевать союз “и”). С геометрических позиций F
η(x0,y0
) опреде-
ляет вероятность того, что точка со случайными координатами
и η попадет на плоскости в нижнюю левую четверть отно-
сительно границ x = x0, y = y0.
Wη(
)
(,η)
y
y
0
x,y
y
0
y
Рис. 7.1. Геометрический
смысл функции распределе-
ния вероятностей системы СВ
Рис. 7.2. Плотность рас-
пределения вероятностей
системы СВ
Как и для отдельных случайных величин, функция распределения вероятностей системы СВ является безразмерной
неубывающей функцией всех своих аргументов и принимает
значения от нуля до единицы.
Вероятность попадания точки с координатами (, η) в
п
роизвольную прямоугольную область может быть рассчитана
по формуле
P{x1≤<x2; y1≤η<y2} = Fη(x2, y2) – Fη(x2, y1) – Fη(x1, y2) + Fη(x1, y1). (7.2)
49
1
Плотностью распределения вероятностей (ПРВ) систе-
F ( , )
x y
x y x y
мы случайных величин и η называют функцию W
(x,y),
η
характеризующую вероятность принятия в одном и том же
опыте величиной значений, близких к аргументу x, а величиной η значений, близких к аргументу y. Численно она определяется отношением вероятности попадания точек с координатами (, η) в бесконечно малый прямоугольник, лежащий окол
о точки (x, y) (см. выше рис. 7.2), к площади этого прямо-
угольника и связана с ФРВ соотношением
2
W
(x,y) =
η
{ , }
P x x x y y y
lim
x
y
0
0
ξη
. (7.3)
Эта функция неотрицательна и имеет размерность, обратную
произведению размерностей величин и η. С ее помощью
вероятность попадания точек (, η) в произвольную прямоугольную область может быть рассчитана по правилу
bad
P{ a < b, с η < d } =
dx dyyxW )
,(
ξη
c
. (7.4)
Отсюда, в частности, следует, что обратная связь между
плотностью и функцией распределения вероятностей имеет
вид
y x
0
0
F
η (x0
, y
) = P{ < x0, η < y0 } =
0
),(
ξη
dx dyyxW
. (7.5)
Свойство нормировки для плотности распределения вероятностей системы случайных величин приобретает вид
ξη
dx dyyxW ),(
= 1 (7.6)
и означает, что для любой СВ объем тела под поверхностью ее
плотности вероятности всегда равна единице (см. выше рис. 7.2).
1
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]