Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для СПО
.pdf
41
ГЛ АВА IV. СРАВНЕНИЯ ПО МОДУЛЮ p
k
И p-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
§ 18. Решение сравнений по модулю pk
Рассмотрим сравнение
1
110
... 0 mod ,
nn k
n
n
ax a x ax a p
1
k
, p – простое число. Обозна-
чим
1
110
() ...
nn
n
n
f
xaxax axa
.
Лемма 3.
1.
k
() 0mod () 0в /p ;
k
fa p fa
2. если а удовлетворяет сравнению
() 0mod
k
f
ap
, то
все числа из класса
k
aap
также удовлетворяют этому сравне-
нию (
a ).
Доказательство.
1.
1
110
() 0mod ... 0
knn
n
n
fa p aa a a aa a
1
110
... 0, где /, ()0
nn k
n
i
n
aa a a aa a a p f a
.
2.
1
110
() 0mod ... 0
knn
n
n
fa p aa a a aa a
, следователь-
но, все числа из
k
aap
удовлетворяют сравнению
() 0mod
k
f
xp
.
Лемма доказана.
Теорема
(аналог леммы Гензеля в алгебраической теории
чисел). Пусть
1
110
() ... [],
nn
n
n
f
xaxax axa x
() 0mod ,
k
f
ap
,k () 0mod .
k
f
ap
Тогда среди чисел класса вычетов
k
ap
сравнению
1
() 0mod
k
f
xp
удовлетворяют все числа некоторого
единственного класса вычетов по модулю p
k+1
.
Доказательство.
k
ap
разбивается на p классов вычетов по модулю p
k+1
:
111
(0 )(1 )(2 )
kk kk kk
app app app
1
... ( ( 1) ).
kk
ap p p
Все указанные классы различны, так как их представители не
сравнимы с нулем по модулю p
k+1
. Требуется доказать, что из этих p
классов только один удовлетворяет сравнению
() 0mod
k
f
xp
.
Рассмотрим число
k
apt
и используем формулу Тейлора:
()
2
() () ()
( ) () () ()... ()
1! 2! !
n
kkkkn
fa fa f a
f
apt fa pt pt pt
n
.
42
Все члены справа, начиная с третьего, делятся на p
k+1
.
Тогда
11
( ) 0mod () () 0mod
kk kk
f
apt p fa fapt p
. Так как
() 0mod
k
f
ap
, то
()
k
f
a
p
– целое число, следовательно, имеем сравне-
ние
()
() 0mod
k
f
a
f
at p
p
. Так как () 0mod
f
ap
, то t определяется
однозначно по модулю p.
Теорема доказана.
Следствие.
Пусть () 0mod , () 0mod .
f
ap
f
ap
Тогда суще-
ствует единственная бесконечная последовательность классов выче-
тов по модулю p, p
2
,…, pk,…:
1
в /,
x
ap
2
2
в /,...xp
в /,...
k
k
xp
, для которой
1
mod
k
kk
x
xp
для любого
1k
, и xk удо-
влетворяет сравнению
() 0mod .
k
f
xp
Доказательство.
Пусть
1
ax
. Из теоремы следует, что в
2
/ p
существует
2
x
,
удовлетворяющий сравнению
2
() 0mod ,
f
xp
21
mod .
x
xp
Для
2
x
находим
3
x
в
3
/ p
, удовлетворяющий сравнению
32
32
( ) 0 mod , mod
f
xpxxp
и т. д.
Следствие доказано.
Пример 1.
Решить сравнение
24
240mod7.xx
Рассмотрим сравнение
2
240mod7xx
в
/7
. Подбором
находим числа x
1
= 1, x2 = 4, удовлетворяющие этому сравнению.
() 2 2
f
xx
,
1
()40в /7
f
x
,
2
()30в /7
f
x
.
1) Поднимаем x
1
на высоту 2, т. е. находим решение x2′ сравне-
ния
2
() 0mod7fx
такое, что
21
mod7.xx
(1)
(1) 0mod7; 4 1 0mod7; 2 по модулю 7.
7
f
ft t t
Тогда
1
17(2) 13apt
– решение сравнения
2
() 0mod7.fx
2) Поднимаем (–13) на высоту 3, т. е. находим решение x
3
′ срав-
нения
3
() 0mod7fx
такое, при котором
32
mod49.xx
(13)147
f
(должно делиться на 72).
(13)
(1) 0mod7; 4 3 0mod7; 1по модулю 7.
49
f
ft t t
43
Тогда
2
13 49 1 36apt
– решение сравнения
3
() 0mod7.fx
(36) 1296 72 4 1372 343 4.
f
3) Поднимаем 36 на высоту 4:
(36)
(1) 0 m o d 7; 4 4 0 mo d 7; 1 по модулю 7.
343
f
ft t t
Тогда
3
36 343 ( 1) 307apt
– решение сравнения
4
() 0mod7.fx
1
307 2401 ,
x
zz
.
Аналогично для x
2
= 4.
4)
(4)
(4) 0mod 7; 3 4 0mod 7;
7
f
ft t
1 по модулю 7.t
47111apt
– решение сравнения
2
() 0mod7.fx
(11) 121 22 4 147.
f
5)
(1 1)
(4) 0mod7; 3 3 0 mod 7;
49
f
ft t
1 по модулю 7.t
2
11 49( 1) 38apt
– решение сравнения
3
() 0mod7.fx
( 38) 1444 76 4 1372 343 4
f
.
6)
(38)
(4) 0mod 7; 3 4 0 mod 7;
343
f
ft t
1 по модулю 7.t
3
38 343 1 305apt
– решение сравнения
4
() 0mod7.fx
2
305 2401 ,
x
zz
.
Ответ:
1
307 2401
x
z
,
2
305 2401 ,
x
zz
.
Пример 2.
Извлечь корни 4-й степени из (–1) в
/289
.
Решение. Заметим сначала, что 289 = 17
2
, и обозначим
4
() 1fx x
. Тогда
3
() 4
f
xx
.
Подбором находим два решения сравнения
4
10mod17
x
:
1, 2
2
x
. Чтобы найти остальные решения, поделим
4
1
x
уголком на
2
12
()( ) 4xx xx x
в
/17
. Получим
422
1( 4)( 4)xxx
. Также
подбором находим два решения сравнения
2
40mod17
x
:
1, 2
8
x
.
44
Поднимаем решение x1 = 2 исходного сравнения на высоту 2 т. е.
найдем решение
2
x
сравнения
4
1 0mod289
x
такое что
21
mod17
x
x
. Для этого решим сравнение
(2)
(2) 0 mod17,
17
f
ft
т. е.
210mod17t
. Находим подбором t = 9. Поэтому
2179155
–
решение сравнения
4
1 0mod289
x
. Тогда ясно, что (–155) – также
решение этого сравнения.
Поднимем теперь решение x
3
= 8 исходного сравнения на вы-
соту 2. Для этого решаем сравнение
(8)
(8) 0 mod17,
17
f
ft
т. е.
8 241 0mod17t
или
830mod17t
. Находим подбором t = 6. Следо-
вательно,
8176110
– решение сравнения
4
1 0mod289
x
. Тогда и
(–110) – тоже решение этого сравнения.
Ответ:
155, 110 – корни 4-й степени из (–1) в
/289
.
Задачи для самостоятельного решения
Решить сравнения:
1)
24
3430mod7xx
; 2)
24
2310mod5xx
;
3)
24
330mod7.xx
Ответы: 1)
4
1
2068 7
x
z,
4
2
1132 7 ,xzz
;
2)
4
1
15
x
z
,
4
2
312 5 ,
x
zz
;
3)
4
1
1352 7
x
z
,
4
2
1046 7 ,
x
zz
.
§ 19. p-адические числа
Определение 18.
Целым p-адическим числом называется беско-
нечная последовательность
11
...α , α , ..., α
n
n
, где
α /
n
n
np
, при-
чем
1
1
2 ααmod
n
n
n
np
, т. е.
11
1
αα
nn
n
n
pp
.
Примеры.
1)
32
...,65 7 ,16 7 , 2 7
.
2)
5432
...,43 2 ,11 2 ,11 2 , 3 2 ,1 2
.
Множество всех целых p-адических чисел обозначается как
p
Z
.
Если все
α
n
– канонические представители соответствующих
классов вычетов, т. е.
0 α
n
n
pn
, то из определения 18 следует,
45
что
1212
0 α , ααγpp
, где
2
0
γ
p
;
2
323
ααγp
, где
2
3
0 γ p
и т. д. Следовательно, p-адическое число
11
... α , α , ..., α
n
n
можно за-
писать в позиционной записи
11
... γ, γ , ..., γ
n
n
, где
0 γ ,
n
n
np
или более наглядно в виде
1
21
...
γ
...
γ
γ
n
n
pp
, где
11
γα
.
Определение 19.
Если
11
α ... α , α , ... α
n
n
и
11
β ... β , β , ... β
n
n
– два p-ади-
ческих числа, то
11 11
α + β ... αβ, αβ, ..., αβ
nn
nn
; αβ
11 11
... αβ, αβ, ..., αβ
nn
nn
.
Теорема 26.
1)
p
является коммутативным ассоциативным кольцом отно-
сительно вышеопределенных операций сложения и умножения с
кольцевой единицей в позиционной записи …0…01 и кольцевым ну-
лем …00…0.
2) Мультипликативная группа
*
p
данного кольца состоит из
всех p-адических чисел
11
...αα ...α
n
n
, где
1
α 1mod p
.
Доказательство следует из покомпонентности сложения и
умножения p-адических чисел.
Если
11
...γ ,γ ,...,γ
n
n
позиционная запись p-адического числа α, то
12 2
11111
α ...γγ ... γ ,γ ... γ ,...,γ ,
nn n
n
nn
pp p
откуда следует, что
в позиционной записи p-адические числа складываются и перемножаются столбиком (по обычным школьным правилам), однако действия над числами в отдельных позициях производятся по модулю р.
Пример.
В кольце
7
...54321
...65142 .
...152463
Здесь при сложении чисел в четвертой позиции получилось число 9 = 1·7 + 2, поэтому в этой позиции в сумме пишем 2, а единицу,
стоящую перед 7, переносим налево, т. е. при сложении чисел в пятой
позиции имеем 5 + 6 = 11 = 1·7 + 4, но в сумме вместо 4 пишем в пятой позиции 5, учитывая единицу переноса из 4-й позиции.
Далее ясно, что отображение
φ:p
такое, при котором
z
φ( ) ..., ,...,zzz
, где справа в каждой позиции стоит z , является
изоморфным вложением
в
p
, так что можно считать
p
.
46
Однако заметим, что если позиционная запись натурального
числа имеет конечный вид
11
γ
γ ...,γ
n
n
, то позиционная запись отрица-
тельного целого числа имеет бесконечный вид, например, −1 в
7
ра-
вен …6…666 (6 в периоде).
На языке p-адических чисел рассмотренная нами теория в
предыдущем параграфе говорит о том, что если а – решение уравнения f(x) = 0 в
/p
, где f(x) – многочлен с целыми коэффициентами,
причем
()0mod
f
ap
, то решение a поднимается до решения
21
... ,..., ,
n
aaa
, где
12
aa
, уравнения
() 0
f
x
в
p
.
Закончим этот параграф формулировкой знаменитой теоремы
Хассе−Минковского.
Определение 20.
Поле дробей кольца
p
называется полем
p-адических чисел. Оно обозначается
p
. Из теоремы 26 следует, что
каждое ненулевое число из
p
имеет вид
m
x
p
, где
*
,
p
mx.
Теорема Хассе−Минковского.
Невырожденная квадратичная
форма с рациональными коэффициентами представляет 0 в
(т. е. обращается в ноль при некоторых значениях переменных, причем не все эти значения равны 0) тогда и только тогда, когда эта форма представляет 0 в
p
для любого простого р.
Очень нетривиально здесь доказательство достаточности, кото-
рое можно найти, например в книге [4].
Пример 1.
Решить сравнение
3
221 289mod7x
.
Представляем числа 221 и 289 как 7-адические числа в позиционной записи:
289 = 5·49 + 6·7 + 2·7
0
= …00562, 221 = 4·49 + 3·7 + 4·70 = …00434.
В
7
равенство
562
434
x эквивалентно равенству 562 = 434·х.
Чтобы найти нужное число первых цифр в позиционной записи х для
решения данного сравнения, воспользуемся правилом умножения
p-адических чисел столбиком:
434
...354
2402
3136
1635
00562
47
Здесь
...354x
находится по первому множителю 434 и по ре-
зультату 562 умножения 434 на х. Для решения сравнения по модулю
7
3
достаточно найти первые три цифры в позиционной записи х в
7
.
И, наконец, переводим 7-адическое число 354 в десятичную запись:
354 = 3·49 + 5·7 + 4 = 147 + 39 = 186.
Ответ:
186 343 .x
Пример 2.
Решить сравнения
4
991 878mod7x
,
991
x
5
878mod7
,
6
991 878mod7x
:
878 = 2·343 + 3·49 + 6·7 + 3·7
0
= 23637,
991 = 2·343 + 6·49 + 1·7 + 4·7
0
= 26147.
2363
;
2614
x 2363=2614·х.
2614
40016
23223
2614
000
00
14362
0
02363
016
7
= 7 + 6 = 1310, тогда
4
13 7 .x
40016 = 4·2401 + 7 + 6 = 9617,
5
9617 7x ,
6
9617 7 .x
Ответ:
4
13 7x
,
5
9617 7x
,
6
9617 7 .x
Задачи для самостоятельного решения
Решить сравнения:
1)
7
57 119mod 2x
; 2)
4
1278 2279mod5x
;
3)
6
1278 2279mod5x ; 4)
4
1278 2279mod7x
;
5)
6
1278 2279mod7x
.
Ответы: 1)
7
47 2 ,xzz
; 2)
4
193 5 ,xzz
;
3)
6
2086 5 ,xzz ; 4)
4
680 7 ,xzz
;
5)
6
48700 7 , .xzz
48
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бухштаб А. А. Теория чисел / А. А. Бухштаб. – М.: Просвещение,
1966.
2. Виноградов И. М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов. – М.:
Наука
, 1972.
3.
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика / Г. Дэвенпорт. – М.: Наука
,
1965.
4.
Серр Ж.-П. Курс арифметики / Ж.-П. Серр. – М. : Мир
, 1972.
5.
Кострикин А. И. Введение в алгебру / А. И. Кострикин. – М
.:
Наука, 1977.
6.
Б
орев
ич З. И. Теория чисел / З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич. – М.:
Наука, 1972.
7.
Кудреватов Г. А. Сборник задач по теории чисел / Г. А. Куд-
реватов. – М.: Просвещение
, 1970.
8.
Александров
В. А. Задачник-практикум по теории чисел
/
В.
А. Александров, С. М. Горшенин. – М.: Просвещение
, 1972.
Учебное пособие
Веретенников
Михалева
Алгебра и теория чисел
Борис Михайлович
Марина Михайловна
Редактор О. С. Смирнова
Компьютерный набор М. М. Михалевой
Компьютерная верстка Т. С. Кринициной
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]